В геометрии гексагональная мозаика или гексагональная тесселяция — это правильная мозаика евклидовой плоскости , в которой в каждой вершине сходятся ровно три шестиугольника . Она имеет символ Шлефли { 6,3} или t {3,6} (как усеченная треугольная мозаика).
Английский математик Джон Конвей назвал его гекстиллем .
Внутренний угол шестиугольника составляет 120 градусов, поэтому три шестиугольника в одной точке образуют полные 360 градусов. Это одна из трех правильных мозаик плоскости . Две другие — треугольная мозаика и квадратная мозаика .
Шестиугольная мозаика — самый плотный способ расположения кругов в двух измерениях. Гипотеза о сотах утверждает, что шестиугольная мозаика — лучший способ разделить поверхность на области равной площади с наименьшим общим периметром. Оптимальная трехмерная структура для создания сот (или, скорее, мыльных пузырей) была исследована лордом Кельвином , который считал, что структура Кельвина (или объемно-центрированная кубическая решетка) является оптимальной. Однако менее регулярная структура Уэйра–Фелана немного лучше.
Эта структура существует в природе в форме графита , где каждый слой графена напоминает проволочную сетку с сильными ковалентными углеродными связями. Были синтезированы трубчатые графеновые листы, известные как углеродные нанотрубки . Они имеют множество потенциальных применений из-за их высокой прочности на разрыв и электрических свойств. Силицен похож.
Сетчатая проволока представляет собой шестиугольную решетку (часто нерегулярную) из проволок.
Шестиугольная мозаика встречается во многих кристаллах. В трех измерениях гранецентрированная кубическая и гексагональная плотная упаковка являются обычными кристаллическими структурами. Они являются самыми плотными сферическими упаковками в трех измерениях. Структурно они состоят из параллельных слоев гексагональной мозаики, подобной структуре графита. Они отличаются тем, как слои расположены в шахматном порядке относительно друг друга, причем гранецентрированная кубическая является более регулярной из двух. Чистая медь , среди других материалов, образует гранецентрированную кубическую решетку.
Существует три различных однородных раскраски шестиугольной мозаики, все они получены из отражательной симметрии конструкций Витхоффа . ( h , k ) представляют собой периодическое повторение одной цветной плитки, считая шестиугольные расстояния как h в первую очередь и k во вторую. Тот же подсчет используется в многогранниках Голдберга с обозначением { p +,3} h , k и может быть применен к гиперболическим мозаикам для p > 6.
Трёхцветная мозаика представляет собой мозаику, созданную пермутоэдрами порядка 3 .
Скошенная шестиугольная мозаика заменяет края новыми шестиугольниками и трансформируется в другую шестиугольную мозаику. В пределе исходные грани исчезают, а новые шестиугольники вырождаются в ромбы, и она становится ромбической мозаикой .
Шестиугольники можно разбить на наборы из 6 треугольников. Этот процесс приводит к двум 2-однородным мозаикам и треугольной мозаике :
Шестиугольную мозаику можно считать удлиненной ромбической мозаикой , где каждая вершина ромбической мозаики растянута в новое ребро. Это похоже на отношение мозаик ромбического додекаэдра и ромбо-шестиугольного додекаэдра в 3 измерениях.
Также возможно подразделить протоплитки некоторых шестиугольных мозаик на два, три, четыре или девять равных пятиугольников:
Эта мозаика топологически связана как часть последовательности правильных мозаик с шестиугольными гранями, начиная с шестиугольной мозаики, с символом Шлефли {6,n} и диаграммой Коксетера 
, прогрессируя до бесконечности.
Эта мозаика топологически связана с правильными многогранниками с числом вершин n 3 , как часть последовательности, которая продолжается в гиперболическую плоскость .
Аналогично это относится к однородным усеченным многогранникам с вершинной фигурой n .6.6.
Эта мозаика также является частью последовательности усеченных ромбических многогранников и мозаик с симметрией группы Коксетера [n,3] . Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, где ромбы являются квадратами. Усеченные формы имеют правильные n-угольники в усеченных вершинах и неправильные шестиугольные грани.
Подобно однородным многогранникам, существует восемь однородных мозаик , которые могут быть основаны на правильной шестиугольной мозаике (или двойственной треугольной мозаике ).
Если нарисовать плитки, окрашенные в красный цвет на исходных гранях, в желтый цвет на исходных вершинах и в синий цвет вдоль исходных ребер, то получится 8 форм, 7 из которых топологически различны. ( Усеченная треугольная плитка топологически идентична шестиугольной плитке.)
Существует 3 типа моноэдральных выпуклых шестиугольных мозаик. [1] Все они изоэдральные . Каждая из них имеет параметрические вариации в пределах фиксированной симметрии. Тип 2 содержит скользящие отражения и является 2-изоэдральным, сохраняя хиральные пары различными.
Шестиугольные мозаики могут быть сделаны с идентичной топологией {6,3}, как и обычная мозаика (3 шестиугольника вокруг каждой вершины). С равногранными гранями существует 13 вариаций. Симметрия подразумевает, что все грани одного цвета. Цвета здесь представляют позиции решетки. [2] Одноцветные (1-плиточные) решетки являются параллелограммными шестиугольниками.
Другие топологические шестиугольные мозаики, уложенные изоэдрально, рассматриваются как четырехугольники и пятиугольники, которые не являются ребрами, а интерпретируются как коллинеарные смежные ребра:
2-однородные и 3-однородные мозаики имеют вращательную степень свободы, которая искажает 2/3 шестиугольников, включая коллинеарный случай, который также можно рассматривать как не-ребро-к-ребру мозаику шестиугольников и больших треугольников. [3]
Его также можно исказить в хиральный 4-цветный трехнаправленный тканый узор, искажая некоторые шестиугольники в параллелограммы . Тканый узор с 2 цветными гранями имеет вращательную симметрию 632 (p6) . Шевронный узор имеет симметрию pmg (22*), которая понижается до p1 (°) с 3 или 4 цветными плитками.
Шестиугольную мозаику можно использовать как упаковку кругов , размещая круги одинакового диаметра в центре каждой точки. Каждый круг соприкасается с 3 другими кругами в упаковке ( число соприкосновения ). [4] Зазор внутри каждого шестиугольника позволяет разместить один круг, создавая самую плотную упаковку из треугольной мозаики , где каждый круг соприкасается максимум с 6 кругами.
Существует 2 правильных комплексных апейрогона , разделяющих вершины шестиугольной мозаики. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и ребра, где ребра могут содержать 2 или более вершин. Правильные апейрогоны p { q } r ограничены: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Ребра имеют p вершин, а вершинные фигуры являются r -угольными. [5]
Первый состоит из 2-ребер, по три вокруг каждой вершины, второй имеет шестиугольные ребра, по три вокруг каждой вершины. Третий сложный апейрогон, разделяющий те же вершины, является квазиправильным, в котором чередуются 2-ребра и 6-ребра.
.jpg/1280px-Tile_(AM_1955.117-1).jpg)