Гемикомпактное пространство

В математике , в области топологии , топологическое пространство Хаусдорфа называется полукомпактным, если оно имеет последовательность компактных подмножеств, такую, что каждое компактное подмножество пространства лежит внутри некоторого компактного множества в последовательности. ^[1] Это заставляет объединение последовательности быть всем пространством, поскольку каждая точка компактна и, следовательно, должна лежать в одном из компактных множеств.

Примеры

• Каждое компактное пространство является полукомпактным.
• Настоящая линия полукомпактна.
• Каждое локально компактное пространство Линделёфа является полукомпактным.

Характеристики

Каждое гемикомпактное пространство является σ-компактным ^[2] и если оно дополнительно удовлетворяет первой аксиоме счетности , то оно локально компактно . Если гемикомпактное пространство слабо локально компактно , то оно исчерпывается компактными множествами .

Приложения

Если — гемикомпактное пространство, то пространство всех непрерывных функций в метрическом пространстве с компактно -открытой топологией метризуемо . ^[3] Чтобы увидеть это, возьмем последовательность компактных подмножеств из , такую, что каждое компактное подмножество из лежит внутри некоторого компактного множества в этой последовательности (существование такой последовательности следует из гемикомпактности ). Определим псевдометрику ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X,M)}$ ${\displaystyle f:X\to M}$ ${\displaystyle (M,\delta )}$ ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle d_{n}(f,g)=\sup _{x\in K_{n}}\delta {\bigl (}f(x),g(x){\bigr )},\quad f,g\in C(X,M),n\in \mathbb {N} .}$

Затем

${\displaystyle d(f,g)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\frac {d_{n}(f,g)}{1+d_{n}(f,g)}}}$

определяет метрику , на которой индуцируется компактно-открытая топология. ${\displaystyle C(X,M)}$

Смотрите также

• Компактное пространство
• Исчерпывается компактными наборами
• Локально компактное пространство
• пространство Линделёфа

Примечания

1. Уиллард 2004, Проблема, поставленная в разделе 17.
2. Уиллард 2004, стр. 126
3. Конвей 1990, Пример IV.2.2.

Ссылки

• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.
• Conway, JB (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96. Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.

Внешние ссылки

• гемикомпактное пространство на nLab
• полукомпакт на π-основании