В геометрии полумногогранник — это однородный звездчатый многогранник, некоторые грани которого проходят через его центр. Эти « полуграни » лежат параллельно граням некоторого другого симметричного многогранника, и их число равно половине числа граней этого другого многогранника — отсюда и префикс «полугранник». [1]
Префикс «геми» также используется для обозначения некоторых проективных многогранников , таких как полукуб , которые являются изображением 2-к-1 карты сферического многогранника с центральной симметрией .
Их символы Витхоффа имеют вид p / ( p − q ) p / q | r ; их вершинные фигуры — скрещенные четырехугольники . Таким образом, они связаны с многогранниками с косыми углами , которые имеют аналогичные символы Витхоффа. Конфигурация вершин — p / q .2 r . p / ( p − q ) .2 r . Грани 2 r -угольника проходят через центр модели: если их представить как грани сферических многогранников , они покрывают всю полусферу, а их ребра и вершины лежат вдоль большого круга . Обозначение p / ( p − q) подразумевает грань { p / q } , поворачивающуюся в обратном направлении вокруг вершинной фигуры.
Ниже перечислены девять форм, вместе с их символами Витхоффа и конфигурациями вершин:
Обратите внимание, что калейдоскопическая конструкция Витхоффа генерирует неориентируемые полумногогранники (все, кроме октагемиоктаэдра) как двойные покрытия (два совпадающих полумногогранника).
На евклидовой плоскости последовательность полумногогранников продолжается следующими четырьмя звездными мозаиками, где апейрогоны появляются как вышеупомянутые экваториальные многоугольники: [ необходима ссылка ]
Из этих четырех мозаик только 6/5 6 | ∞ генерируется как двойное покрытие по конструкции Витхоффа.
Только октагемиоктаэдр представляет собой ориентируемую поверхность; остальные полумногогранники имеют неориентируемые или односторонние поверхности. Это происходит потому, что, двигаясь вокруг экваториального 2 r -угольника, p / q -угольные грани попеременно указывают «вверх» и «вниз», так что любые две последовательные грани имеют противоположные направления. Это эквивалентно требованию, чтобы p / q -угольники в соответствующих квазиправильных многогранниках ниже могли быть поочередно заданы положительной и отрицательной ориентацией. Но это возможно только для треугольников кубооктаэдра (соответствующих треугольникам октаэдра, единственного правильного многогранника с четным числом граней, сходящихся в вершине), которые являются в точности неполугранями октагемиоктаэдра. [2]
Поскольку грани полумногогранников проходят через центр, двойственные фигуры имеют соответствующие вершины на бесконечности; правильно, на действительной проективной плоскости на бесконечности. [3] В «Двойственных моделях » Магнуса Веннингера они представлены пересекающимися призмами , каждая из которых простирается в обоих направлениях к одной и той же вершине на бесконечности, чтобы сохранить симметрию. На практике модельные призмы обрезаются в определенной точке, которая удобна для создателя. Веннингер предположил, что эти фигуры являются членами нового класса фигур звездчатости , называемых звездчатостью в бесконечность . Однако он также предположил, что, строго говоря, они не являются многогранниками, потому что их конструкция не соответствует обычным определениям.
Существует 9 таких дуалов, имеющих только 5 различных внешних форм, четыре из которых существуют во внешне идентичных парах. Члены данной визуально идентичной пары различаются по расположению истинных и ложных вершин (ложная вершина — это место, где два ребра пересекаются, но не соединяются). Внешние формы:
Гемиполиэдры встречаются парами как огранки квазиправильных многогранников с четырьмя гранями в вершине. Эти квазиправильные многогранники имеют конфигурацию вершин m . n . m . n и их ребра, в дополнение к образованию m - и n -угольных граней, также образуют полуграни полуполиэдров. Таким образом, полуполиэдры могут быть получены из квазиправильных многогранников путем отбрасывания либо m -угольников, либо n -угольников (чтобы сохранить две грани на ребре), а затем вставки полуграней. Поскольку можно отбросить либо m -угольники, либо n -угольники, любой из двух полуполиэдров может быть получен из каждого квазиправильного многогранника, за исключением октаэдра как тетратетраэдра , где m = n = 3 и две огранки конгруэнтны. (Эта конструкция не работает для квазиправильных многогранников с шестью гранями в вершине, также известных как дитригональные многогранники , поскольку их ребра не образуют правильных полуграней.) [1]
Поскольку полумногогранники, как и квазиправильные многогранники, также имеют два типа граней, чередующихся вокруг каждой вершины, их иногда также считают квазиправильными. [1]
Здесь m и n соответствуют p / q выше, а h соответствует 2 r выше.