В математике , в частности в теории категорий , семейство генераторов (или семейство сепараторов ) категории — это совокупность объектов в , такая, что для любых двух различных морфизмов в , то есть с , существует некоторый в и некоторый морфизм такой, что Если совокупность состоит из одного объекта , мы говорим, что это генератор (или сепаратор ).
Генераторы играют центральную роль в определении категорий Гротендика .
Двойственная концепция называется когенератором или косепаратором .
Примеры
- В категории абелевых групп группа целых чисел является генератором: Если f и g различны, то существует элемент , такой что . Следовательно, отображение достаточно.
- Аналогично, одноточечное множество является генератором для категории множеств . Фактически, любое непустое множество является генератором.
- В категории множеств любой набор, содержащий не менее двух элементов, является когенератором.
- В категории модулей над кольцом R генератор в конечной прямой сумме с самим собой содержит в качестве прямого слагаемого изоморфную копию R. Следовательно, модуль генератора точен, т.е. имеет нулевой аннулятор .
Ссылки
Внешние ссылки