Геодезическое отклонение

В общей теории относительности , если два объекта движутся по двум изначально параллельным траекториям, наличие приливной гравитационной силы заставит траектории изгибаться навстречу друг другу или от них, создавая относительное ускорение между объектами. ^[1]

Математически приливная сила в общей теории относительности описывается тензором кривизны Римана ^[1] , а траектория объекта исключительно под действием силы тяжести называется геодезической . Уравнение геодезического отклонения связывает тензор кривизны Римана с относительным ускорением двух соседних геодезических. В дифференциальной геометрии уравнение геодезического отклонения более известно как уравнение Якоби .

Математическое определение

Чтобы количественно оценить геодезическое отклонение, нужно начать с создания семейства близко расположенных геодезических, индексированных непрерывной переменной s и параметризованных аффинным параметром τ. То есть для каждого фиксированного s кривая, выметаемая γ _s (τ) при изменении τ, является геодезической. При рассмотрении геодезической массивного объекта часто бывает удобно выбрать τ в качестве собственного времени объекта . Если x ^µ ( s , τ) — координаты геодезической γ _s (τ), то касательный вектор к этой геодезической равен

${\displaystyle T^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial \tau }}.}$

Если τ — собственное время, то T ^µ — четырехскорость объекта, движущегося по геодезической.

Можно также определить вектор отклонения , который представляет собой смещение двух объектов, движущихся по двум бесконечно малым расстояниям друг от друга геодезических:

${\displaystyle X^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial s}}.}$

Относительное ускорение A ^µ двух объектов грубо определяется как вторая производная вектора разделения X ^µ по мере продвижения объектов по соответствующим геодезическим линиям. В частности, A ^μ находится путем двукратного взятия ковариантной производной X по направлению вдоль T :

${\displaystyle A^{\mu }=T^{\alpha }\nabla _{\alpha }\left(T^{\beta }\nabla _{\beta }X^{\mu }\right).}$

Уравнение геодезического отклонения связывает A ^µ , T ^µ , X ^µ и тензор Римана R ^µ _νρσ : ^{[2] [3]}

${\displaystyle A^{\mu }={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

Альтернативное обозначение ковариантной производной по направлению — , поэтому уравнение геодезического отклонения также можно записать как ${\displaystyle T^{\alpha }\nabla _{\alpha }}$ ${\displaystyle D/d\tau }$

${\displaystyle {\frac {D^{2}X^{\mu }}{d\tau ^{2}}}={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

Уравнение геодезического отклонения может быть получено из второй вариации лагранжиана точечной частицы вдоль геодезических или из первой вариации комбинированного лагранжиана. ^{[ нужны разъяснения ]} Лагранжев подход имеет два преимущества. Во-первых, это позволяет применять различные формальные подходы к квантованию к системе геодезических отклонений. Во-вторых, это позволяет формулировать отклонение для гораздо более общих объектов, чем геодезические (любая динамическая система , имеющая один индексированный в пространстве-времени импульс, по-видимому, имеет соответствующее обобщение геодезического отклонения). ^{[ нужна цитата ]}

Предел слабого поля

Связь между геодезическим отклонением и приливным ускорением можно увидеть более явно, исследуя геодезическое отклонение в пределе слабого поля , где метрика приблизительно равна Минковскому, а скорости пробных частиц предполагаются намного меньшими, чем c . Тогда касательный вектор T ^µ приблизительно равен (1, 0, 0, 0); т. е. только времяподобная компонента отлична от нуля.

Пространственные компоненты относительного ускорения тогда определяются выражением

${\displaystyle A^{i}={R^{i}}_{0j0}X^{j},}$

где i и j пробегают только пространственные индексы 1, 2 и 3.

В частном случае метрики, соответствующей ньютоновскому потенциалу Φ( x , y , z ) массивного объекта в точке x = y = z = 0, мы имеем

${\displaystyle {R^{i}}_{0j0}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{i}\partial x^{j}}},}$

который является приливным тензором ньютоновского потенциала.

Смотрите также

• Бернхард Риман
• Кривизна
• Глоссарий римановой и метрической геометрии

Рекомендации

1. Оганян, Ганс (1976). Гравитация и пространство-время (1-е изд.). стр. 271–6.
2. Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия . стр. 144–6.
3. Уолд, Роберт (1984). Общая теория относительности . стр. 46–47.

• Стефани, Ганс (1982), Общая теория относительности - введение в теорию гравитационного поля , Cambridge University Press, ISBN 0-521-37066-3.
• Уолд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности , Издательство Чикагского университета, ISBN 978-0-226-87033-5.

Внешние ссылки

• Общая теория относительности и квантовая космология
• Тензоры и относительность: геодезическое отклонение. Архивировано 16 ноября 2011 г. в Wayback Machine.