Геометрия чисел

Геометрия чисел — раздел теории чисел , использующий геометрию для изучения алгебраических чисел . Обычно кольцо целых алгебраических чисел рассматривается как решетка , и изучение этих решеток дает фундаментальную информацию об алгебраических числах. ^[1] Геометрию чисел положил начало Герману Минковскому (1910). $\mathbb {R} ^{n},$

Геометрия чисел имеет тесную связь с другими областями математики, особенно с функциональным анализом и диофантовой аппроксимацией , проблемой поиска рациональных чисел , аппроксимирующих иррациональную величину . ^[2]

Результаты Минковского

Предположим, что — решетка в -мерном евклидовом пространстве и выпуклое центрально-симметричное тело. Теорема Минковского , иногда называемая первой теоремой Минковского, утверждает, что если , то содержит ненулевой вектор в . $\Гамма$ $п$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K$ $\operatorname {vol} (K)>2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma)$ $K$ $\Гамма$

Последовательный минимум определяется как inf чисел , содержащих линейно независимые векторы . Теорема Минковского о последовательных минимумах , иногда называемая второй теоремой Минковского , является усилением его первой теоремы и утверждает, что ^[3] $\lambda _{k}$ $\lambda$ $\lambda K$ $k$ $\Гамма$

\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).

Более поздние исследования в геометрии чисел

В 1930–1960 годах исследования по геометрии чисел проводились многими теоретиками чисел (в том числе Луи Морделлом , Гарольдом Дэвенпортом и Карлом Людвигом Сигелем ). В последние годы Ленстра, Брион и Барвинок разработали комбинаторные теории, перечисляющие точки решетки в некоторых выпуклых телах. ^[4]

Теорема о подпространстве В.М. Шмидта

В геометрии чисел теорема о подпространстве была получена Вольфгангом М. Шмидтом в 1972 году. ^[5] Она гласит, что если n — положительное целое число, а L ₁ ,..., L _n — линейно независимые линейные формы от n переменных. с алгебраическими коэффициентами, и если ε>0 — любое заданное действительное число, то ненулевые целые точки x в n координатах с

|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }

лежат в конечном числе собственных подпространств Qn ^.

Влияние на функциональный анализ

Геометрия чисел Минковского оказала глубокое влияние на функциональный анализ . Минковский доказал, что симметричные выпуклые тела индуцируют нормы в конечномерных векторных пространствах. Теорема Минковского была обобщена на топологические векторные пространства Колмогоровым , чья теорема утверждает, что симметричные выпуклые множества, которые замкнуты и ограничены , порождают топологию банахового пространства . ^[6]

Исследователи продолжают изучать обобщения для звездных множеств и других невыпуклых множеств . ^[7]

Библиография