В геометрии группа изометрий гиперболического пространства называется геометрически конечной, если она имеет хорошо ведущую себя фундаментальную область . Гиперболическое многообразие называется геометрически конечным, если его можно описать в терминах геометрически конечных групп .
Выпуклый многогранник C в гиперболическом пространстве называется геометрически конечным, если его замыкание C в конформной компактификации гиперболического пространства обладает следующим свойством:
Например, каждый многогранник с конечным числом граней геометрически конечен. В гиперболическом пространстве размерности не более 2 каждый геометрически конечный многогранник имеет конечное число сторон, но существуют геометрически конечные многогранники в размерности 3 и выше с бесконечным числом сторон. Например, в евклидовом пространстве R n размерности n ≥2 существует многогранник P с бесконечным числом сторон. Верхняя полуплоскость модели n +1-мерного гиперболического пространства в R n +1 проецируется в R n , и обратный образ P при этой проекции является геометрически конечным многогранником с бесконечным числом сторон.
Геометрически конечный многогранник имеет лишь конечное число вершин, и все стороны, за исключением конечного числа, встречаются с одной из вершин.
Дискретная группа G изометрий гиперболического пространства называется геометрически конечной, если она имеет фундаментальную область C, которая является выпуклой, геометрически конечной и точной (каждая грань является пересечением C и gC для некоторого g ∈ G ) (Ratcliffe 1994, 12.4).
В гиперболических пространствах размерности не более 3 каждый точный выпуклый фундаментальный многогранник для геометрически конечной группы имеет только конечное число сторон, но в размерностях 4 и выше существуют примеры с бесконечным числом сторон (Ратклифф, 1994, теорема 12.4.6).
В гиперболических пространствах размерности не более 2 конечно порожденные дискретные группы геометрически конечны, но Гринберг (1966) показал, что существуют примеры конечно порожденных дискретных групп в размерности 3, которые геометрически не конечны.
Гиперболическое многообразие называется геометрически конечным , если оно имеет конечное число компонент, каждая из которых является фактором гиперболического пространства по геометрически конечной дискретной группе изометрий (Ратклифф, 1994, 12.7).