Гиперболатические функции

Математические функции

Графика, описывающая функцию гиперболастика типа I с различными значениями параметров.

Графика, описывающая функцию гиперболастика типа I с различными значениями параметров.

Графика, описывающая функцию Hyperbolastic Type II с различными значениями параметров.

Графика, описывающая функцию Hyperbolastic Type II с различными значениями параметров.

Графика, описывающая функцию Hyperbolastic Type III с различными значениями параметров.

Графика, описывающая гиперболистическую кумулятивную функцию распределения типа III с различными значениями параметров.

Графика, описывающая гиперболическую функцию плотности вероятности типа III с различными значениями параметров.

Гиперболатические функции , также известные как гиперболатические модели роста , представляют собой математические функции , которые используются в медицинском статистическом моделировании . Эти модели изначально были разработаны для отражения динамики роста многоклеточных опухолевых сфер и были представлены в 2005 году Мохаммадом Табатабаи, Дэвидом Уильямсом и Зораном Бурсаком. ^[1] Точность гиперболастических функций при моделировании проблем реального мира в некоторой степени обусловлена ​​их гибкостью в точке перегиба. ^{[1] [2]} Эти функции можно использовать в самых разных задачах моделирования, таких как рост опухоли, пролиферация стволовых клеток , кинетика фармацевтических препаратов, рост рака, функция активации сигмовидной кишки в нейронных сетях , а также прогрессирование или регресс эпидемиологических заболеваний. ^{[1] [3] [4]}

Гиперболатические функции могут моделировать кривые как роста, так и спада, пока не будет достигнута несущая способность . Благодаря своей гибкости эти модели находят разнообразное применение в области медицины, поскольку позволяют отслеживать прогрессирование заболевания с помощью промежуточного лечения. Как показывают рисунки, гиперболатические функции могут соответствовать сигмоидальной кривой, что указывает на то, что наименьшая скорость наблюдается на ранних и поздних стадиях. Помимо сигмовидной формы, он также может использоваться в двухфазных ситуациях, когда медицинские вмешательства замедляют или обращают вспять прогрессирование заболевания; но когда эффект лечения исчезнет, ​​болезнь начнет вторую фазу своего прогрессирования, пока не достигнет своей горизонтальной асимптоты.

Одной из основных характеристик этих функций является то, что они не только соответствуют сигмоидальным формам, но также могут моделировать двухфазные модели роста, которые другие классические сигмоидальные кривые не могут адекватно моделировать. Эта отличительная особенность имеет выгодное применение в различных областях, включая медицину, биологию, экономику, инженерию, агрономию и теорию автоматизированных систем. ^{[5] [6] [7] [8] [9]}

Функция H1

Гиперболатическое уравнение скорости типа I , обозначаемое H1, имеет вид

$${\displaystyle {\frac {dP(x)}{dx}}={\frac {P(x)}{M}}\left(M-P\left(x\right)\right)\left(\delta +{\frac {\theta }{\sqrt {1+x^{2}}}}\right),}$$

где любое действительное число и численность населения в . Параметр представляет пропускную способность, а параметры и вместе представляют темп роста. Параметр определяет расстояние от симметричной сигмоидальной кривой. Решение гиперболического уравнения скорости I типа для дает ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P\left(x\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle P\left(x\right)}$

$${\displaystyle P(x)={\frac {M}{1+\alpha e^{-\delta x-\theta \operatorname {arsinh} (x)}}},}$$

где – обратная гиперболическая функция синуса . Если кто-то желает использовать начальное условие , то его можно выразить как ${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$ ${\displaystyle P\left(x_{0}\right)=P_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}}}e^{\delta x_{0}+\theta \operatorname {arsinh} (x_{0})}}$.

Если , то сводится к ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}}}}$.

Гиперболастическая функция типа I обобщает логистическую функцию . Если параметры , то это станет логистической функцией. Эта функция является гиперболастической функцией типа I. Стандартная гиперболатическая функция типа I равна ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle P(x)={\frac {1}{1+e^{-x-\theta \operatorname {arsinh} (x)}}}}$.

Функция H2

Гиперболатическое уравнение скорости типа II , обозначаемое H2, определяется как

${\displaystyle {\frac {dP(x)}{dx}}={\frac {\alpha \delta \gamma P^{2}(x)x^{\gamma -1}}{M}}\tanh \left({\frac {M-P(x)}{\alpha P(x)}}\right),}$

где – гиперболический тангенс , – несущая способность, и оба вместе определяют скорость роста. Кроме того, параметр представляет ускорение во времени. Решение гиперболатической функции скорости типа II для дает ${\displaystyle \tanh }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle P\left(x\right)}$

${\displaystyle P(x)={\frac {M}{1+\alpha \operatorname {arsinh} \left(e^{-\delta x^{\gamma }}\right)}}}$.

Если кто-то желает использовать начальное условие, его можно выразить как ${\displaystyle P(x_{0})=P_{0},}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}\operatorname {arsinh} \left(e^{-\delta x_{0}^{\gamma }}\right)}}}$.

Если , то сводится к ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}\operatorname {arsinh} (1)}}}$.

Стандартная гиперболатическая функция типа II определяется как

${\displaystyle P(x)={\frac {1}{1+\operatorname {arsinh} \left(e^{-x}\right)}}}$.

Функция H3

Гиперболатическое уравнение скорости типа III обозначается H3 и имеет вид

${\displaystyle {\frac {dP(t)}{dt}}=\left(M-P\left(t\right)\right)\left(\delta \gamma t^{\gamma -1}+{\frac {\theta }{\sqrt {1+\theta ^{2}t^{2}}}}\right)}$,

где > 0. Параметр представляет собой пропускную способность, а параметры и совместно определяют скорость роста. Параметр представляет ускорение шкалы времени, а размер представляет расстояние от симметричной сигмоидальной кривой. Решение дифференциального уравнения типа III имеет вид ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \delta ,}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle P(t)=M-\alpha e^{-\delta t^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta t)}}$,

с начальным условием мы можем выразить как ${\displaystyle P\left(t_{0}\right)=P_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\left(M-P_{0}\right)e^{\delta t_{0}^{\gamma }+\operatorname {arsinh} (\theta t_{0})}}$.

Гиперболатическое распределение типа III представляет собой трехпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей с масштабными параметрами > 0 и ≥ 0 и параметром в качестве параметра формы . При параметре = 0 гиперболатическое распределение типа III сводится к распределению Вейбулла . ^[10] Гиперболатическая кумулятивная функция распределения типа III имеет вид ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle F(x;\delta ,\gamma ,\theta )={\begin{cases}1-e^{-\delta x^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta x)}&x\geq 0,\\0&x<0\end{cases}}}$,

и соответствующая ей функция плотности вероятности равна

${\displaystyle f(x;\delta ,\gamma ,\theta )={\begin{cases}e^{-\delta x^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta x)}\left(\delta \gamma x^{\gamma -1}+{\frac {\theta }{\sqrt {1+\theta ^{2}x^{2}}}}\right)&x\geq 0,\\0&x<0\end{cases}}}$.

Функция опасности (или интенсивность отказов) определяется выражением ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h\left(x;\delta ,\gamma ,\theta \right)=\delta \gamma x^{\gamma -1}+{\frac {\theta }{\sqrt {1+x^{2}\theta ^{2}}}}.}$

Функция выживания определяется выражением ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S(x;\delta ,\gamma ,\theta )=e^{-\delta x^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta x)}.}$

Стандартная гиперболатическая кумулятивная функция распределения типа III определяется как

${\displaystyle F\left(x\right)=1-e^{-x-\operatorname {arsinh} (x)}}$,

и соответствующая ей функция плотности вероятности равна

${\displaystyle f(x)=e^{-x-\operatorname {arsinh} (x)}\left(1+{\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)}$.

Характеристики

Если кто-то желает вычислить точку, в которой численность населения достигает процента от своей пропускной способности , то можно решить уравнение ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle P(x)=kM}$

ибо , где . Например, половину точки можно найти, установив . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0<k<1}$ ${\displaystyle k={\frac {1}{2}}}$

Приложения

3D-гиперболатический график биомассы фитопланктона в зависимости от концентрации питательных веществ и времени

По словам исследователей стволовых клеток из Института регенеративной медицины Макгоуэна при Питтсбургском университете, «более новая модель [называемая гиперболастикой типа III или] H3 представляет собой дифференциальное уравнение , которое также описывает рост клеток. Эта модель допускает гораздо больше вариаций и имеет было доказано, что они лучше прогнозируют рост». ^[11]

Модели гиперболатического роста H1, H2 и H3 применялись для анализа роста солидной карциномы Эрлиха с использованием различных методов лечения. ^[12]

В зоотехнике ^[13] гиперболатические функции использовались для моделирования роста цыплят-бройлеров. ^{[14] [15]} Гиперболастическая модель III типа использовалась для определения размера заживающей раны. ^[16]

В области заживления ран гиперболатические модели точно отражают ход заживления. Такие функции использовались для исследования различий в скорости заживления различных типов ран и на разных стадиях процесса заживления с учетом содержания микроэлементов, факторов роста, диабетических ран и питания. ^{[17] [18]}

Другое применение гиперболастических функций находится в области стохастического диффузионного процесса ^[19] , средняя функция которого представляет собой гиперболастические кривые. Изучены основные характеристики процесса и рассмотрена максимально правдоподобная оценка параметров процесса. ^[20] С этой целью после ограничения параметрического пространства поэтапной процедурой применяется метаэвристический алгоритм оптимизации светлячка. Некоторые примеры, основанные на смоделированных путях отбора проб и реальных данных, иллюстрируют это развитие. Образец траектории процесса диффузии моделирует траекторию частицы, погруженной в текущую жидкость и подвергающейся случайным смещениям из-за столкновений с другими частицами, что называется броуновским движением . ^{[21] [22] [23] [24] [25]} Гиперболастическую функцию типа III использовали для моделирования пролиферации как взрослых мезенхимальных , так и эмбриональных стволовых клеток ; ^{[26] [27] [28] [29]} и гиперболатическая смешанная модель типа II использовалась при моделировании данных рака шейки матки . ^[30] Гиперболатические кривые могут быть важным инструментом при анализе клеточного роста, подборе биологических кривых, росте фитопланктона и мгновенной скорости зрелости. ^{[31] [32] [33] [34]}

В экологии и управлении лесами гиперболатические модели применялись для моделирования взаимосвязи между DBH и высотой. ^[35]

Для анализа динамики роста фитопланктона с учетом концентрации питательных веществ использована многовариантная гиперболатическая модель III типа . ^[36]

Гиперболатические регрессии

Кумулятивная функция распределения гиперболастического типа I, логистического и гиперболастического типа II

PDF-файл с отчетами H1, Логистика и H2

Гиперболастическая регрессия — это статистические модели , в которых используются стандартные гиперболатические функции для моделирования дихотомической или полиномиальной конечной переменной. Целью гиперболатической регрессии является прогнозирование результата с использованием набора объясняющих (независимых) переменных. Эти типы регрессий обычно используются во многих областях, включая медицину, общественное здравоохранение, стоматологию, биомедицину, а также социальные, поведенческие и инженерные науки. Например, бинарный регрессионный анализ использовался для прогнозирования эндоскопических поражений при железодефицитной анемии . ^[37] Кроме того, перед операцией применялась бинарная регрессия для дифференциации злокачественных и доброкачественных образований придатков . ^[38]

Бинарная гиперболатическая регрессия I типа

Пусть — двоичная переменная результата, которая может принимать одно из двух взаимоисключающих значений: успех или неудача. Если мы закодируем успех как , а неудачу как , то для параметра гиперболическая вероятность успеха типа I с выборкой размера как функция параметра и вектора параметров с учетом -мерного вектора объясняющих переменных определяется как , где , определяется выражением ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y=1}$ ${\displaystyle Y=0}$ ${\displaystyle \theta \geq -1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{p})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}=(x_{i1},\ x_{i2},\ldots ,\ x_{ip})^{T}}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})-\theta \operatorname {arsinh} (\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}}}}$.

Шансы на успех – это отношение вероятности успеха к вероятности неудачи. Для бинарной гиперболатической регрессии типа I шансы на успех обозначаются и выражаются уравнением ${\displaystyle Odds_{H1}}$

${\displaystyle Odds_{H1}=e^{\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}+\theta \operatorname {arsinh} (\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}}$.

Логарифм называется логитом бинарной гиперболатической регрессии типа I. Логит-преобразование обозначается и может быть записано как ${\displaystyle Odds_{H1}}$ ${\displaystyle L_{H1}}$

${\displaystyle L_{H1}=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}+\theta \operatorname {arsinh} [\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}]}$.

Информация Шеннона для бинарной гиперболастики типа I (H1)

Информация Шеннона для случайной величины определяется как ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle I(y)=-{log}_{b}P(y)}$

где основание логарифма и . Для двоичного результата равно . ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2}$

Для бинарной гиперболической регрессии типа I информация имеет вид ${\displaystyle I(y)}$

${\displaystyle I(y)={\begin{cases}-log_{b}{\frac {1}{1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}}&y=1,\\-log_{b}{\frac {e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}{1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}}&y=0\end{cases}}}$,

где , и – входные данные. Для случайной выборки бинарных результатов размером , средняя эмпирическая информация для гиперболатического H1 может быть оценена по формуле ${\displaystyle Z=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{s}}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\overline {I(y)}}={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{log_{b}{\frac {1}{1+e^{-Z_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}}}&y=1,\\-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{log_{b}{\frac {e^{-Z_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}{1+e^{-Z_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}}}&y=0\end{cases}}}$,

где , и – входные данные для наблюдения. ${\displaystyle Z_{i}=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{is}}$ ${\displaystyle x_{is}}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle i^{th}}$

Информационная энтропия для гиперболастичной H1

Информационная энтропия измеряет потерю информации в передаваемом сообщении или сигнале. В приложениях машинного обучения это количество битов, необходимое для передачи случайно выбранного события из распределения вероятностей. Для дискретной случайной величины информационная энтропия определяется как ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=-\sum _{y\in Y}{P(y)\ {log}_{b}P(y)}}$

где – функция массы вероятности для случайной величины . ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle Y}$

Информационная энтропия — это математическое ожидание относительно функции массы вероятности . Информационная энтропия имеет множество применений в машинном обучении и искусственном интеллекте, таких как классификационное моделирование и деревья решений. Для гиперболастичной H1 энтропия равна ${\displaystyle I(y)}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=-\sum _{y\in \{0,1\}}{P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }}))}\\&=-[\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})\ log_{b}(\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})+(1-\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))log_{b}(1-\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))]\\&={log}_{b}(1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)})-{\frac {e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}{log}_{b}(e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)})}{1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}}\end{aligned}}}$

Расчетная средняя энтропия для гиперболатического H1 обозначается и определяется как ${\displaystyle {\bar {H}}}$

${\displaystyle {\bar {H}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})})-}{\frac {e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}\ {log}_{b}(e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} ((Z_{i})})}{1+e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}}]}$

Бинарная кросс-энтропия для гиперболатического H1

Двоичная кросс-энтропия сравнивает наблюдаемую и предсказанную вероятности. Средняя бинарная кросс-энтропия для гиперболастичной H1 обозначается и равна ${\displaystyle y\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle {\overline {C}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {C}}&=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{{[y}_{i}log_{b}(\pi (x_{i};{\boldsymbol {\beta }}))+}{(1-y}_{i})log_{b}(1-\pi (x_{i};{\boldsymbol {\beta }}))]\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})})-}{(1-y}_{i})log_{b}(e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})})]\end{aligned}}}$

Бинарная гиперболатическая регрессия II типа.

Гиперболатическая регрессия типа II — альтернативный метод анализа двоичных данных с устойчивыми свойствами. Для двоичной переменной результата гиперболатическая вероятность успеха типа II является функцией -мерного вектора объясняющих переменных, определяемого формулой ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}]}}}$,

Для бинарной гиперболатической регрессии типа II шансы на успех обозначаются и определяются как ${\displaystyle Odds_{H2}}$

${\displaystyle Odds_{H2}={\frac {1}{\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}]}}.}$

Логит-преобразование определяется выражением ${\displaystyle L_{H2}}$

${\displaystyle L_{H2}=-\log {(\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}])}}$

Информация Шеннона для бинарной гиперболастики типа II (H2)

Для бинарной гиперболатической регрессии H2 информация Шеннона определяется выражением ${\displaystyle I(y)}$

${\displaystyle I(y)={\begin{cases}-log_{b}{\frac {1}{1+arsinh(e^{-Z})}}&y=1\\-log_{b}{\frac {arsinh(e^{-Z})}{1+arsinh(e^{-Z})}}&y=0\end{cases}}}$

где , и – входные данные. Для случайной выборки бинарных исходов размером средняя эмпирическая информация для гиперболатического H2 оценивается как ${\displaystyle Z=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{s}}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\overline {I(y)}}={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}log_{b}{\frac {1}{1+arsinh(e^{-Z_{i}})}}&y=1\\-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}log_{b}{\frac {arsinh(e^{-Z_{i}})}{1+arsinh(e^{-Z_{i}})}}&y=0\end{cases}}}$

где , и – входные данные для наблюдения. ${\displaystyle Z_{i}=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{is}}$ ${\displaystyle x_{is}}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle i^{th}}$

Информационная энтропия для гиперболастичной H2

Для гиперболастичной H2 информационная энтропия равна ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=-\sum _{y\in \{0,1\}}{P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }}))}\\&=-[\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})\ log_{b}(\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))+(1-\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))log_{b}(1-\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))]\\&=log_{b}(1+arsinh(e^{-Z}))-{\frac {arsinh(e^{-Z})log_{b}(arsinh(e^{-Z}))}{1+arsinh(e^{-Z})}}\end{aligned}}}$

а предполагаемая средняя энтропия для гиперболатического H2 равна ${\displaystyle {\bar {H}}}$

${\displaystyle {\bar {H}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+{arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))-}{\frac {{arsinh(e}^{{-Z}_{i}})\ {log}_{b}{(arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))}{1+{arsinh(e}^{{-Z}_{i}})}}]}$

Бинарная кросс-энтропия для гиперболатического H2

Средняя бинарная кросс-энтропия для гиперболатического H2 равна ${\displaystyle {\overline {C}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {C}}&=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{{[y}_{i}log_{b}(\pi (x_{i};\beta ))+}{(1-y}_{i})log_{b}(1-\pi (x_{i};\beta ))]\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+{arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))-}{(1-y}_{i})log_{b}({arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))]\end{aligned}}}$

Оценка параметров бинарной гиперболатической регрессии I и II типов

Оценку вектора параметров можно получить путем максимизации логарифмической функции правдоподобия ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\underset {\boldsymbol {\beta }}{\operatorname {argmax} }}{\sum _{i=1}^{n}[y_{i}ln(\pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }}))+(1-y_{i})ln(1-\pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }}))]}}$

где определяется в соответствии с одним из двух типов используемых гиперболических функций. ${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}$

Полиномиальная гиперболатическая регрессия I и II типа.

Обобщение бинарной гиперболатической регрессии до полиномиальной гиперболатической регрессии имеет переменную отклика для человека с категориями (т. е .). Когда эта модель сводится к бинарной гиперболастической регрессии. Для каждого формируем индикаторные переменные где ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle y_{i}\in \{1,2,\ldots ,k\}}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle y_{ij}}$

${\displaystyle y_{ij}={\begin{cases}1&{\text{if }}y_{i}=j,\\0&{\text{if }}y_{i}\neq j\end{cases}}}$,

это означает, что всякий раз, когда ответ находится в категории и в противном случае. ${\displaystyle y_{ij}=1}$ ${\displaystyle i^{th}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 0}$

Определим вектор параметров в -мерном евклидовом пространстве и . ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}=(\beta _{j0},\beta _{j1},\ldots ,\beta _{jp})}$ ${\displaystyle p+1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=({\boldsymbol {\beta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\beta }}_{k-1})^{T}}$

Используя категорию 1 в качестве эталона и соответствующую ей функцию вероятности, полиномиальная гиперболастическая регрессия вероятностей типа I определяется как ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}$

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\sum _{s=2}^{k}e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-\theta \operatorname {arsinh} [\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}}}$

и для , ${\displaystyle j=2,\ldots ,k}$

${\displaystyle \pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=j|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {e^{-\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-\theta \operatorname {arsinh} [\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}{1+\sum _{s=2}^{k}e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-\theta \operatorname {arsinh} [\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}}}$

Аналогично для полиномиальной гиперболатической регрессии типа II имеем

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\sum _{s=2}^{k}arsinh[e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}}}$

и для , ${\displaystyle j=2,\ldots ,k}$

${\displaystyle \pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=j|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {arsinh[e^{-\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}{1+\sum _{s=2}^{k}arsinh[e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}}}$

где с и . ${\displaystyle \eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=\beta _{s0}+\sum _{l=1}^{p}\beta _{sl}x_{il}}$ ${\displaystyle s=2,\dots ,k}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

Выбор зависит от выбора гиперболастика H1 или H2. ${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }})}$

Информация Шеннона для многоклассового гиперболастика H1 или H2

Для мультикласса информация Шеннона равна ${\displaystyle (j=1,2,\dots ,k)}$ ${\displaystyle I_{j}}$

${\displaystyle I_{j}=-log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))}$.

Для случайной выборки размером эмпирическую информацию о мультиклассах можно оценить по формуле ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\overline {I_{j}}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }}))}}$.

Мультиклассовая энтропия в теории информации

Для дискретной случайной величины энтропия мультиклассовой информации определяется как ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle H=-\sum _{y\in Y}{P(y)\ {log}_{b}P(y)}}$

где – функция массы вероятности для многоклассовой случайной величины . ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle Y}$

Для гиперболатических H1 или H2 мультиклассовая энтропия равна ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=-\sum _{j=1}^{k}{[\pi _{j}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))]}}$

Предполагаемая средняя мультиклассовая энтропия равна ${\displaystyle {\overline {H}}}$

${\displaystyle {\overline {H}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{k}{[\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }}))]}}}$

Мультиклассовая кросс-энтропия для гиперболастичных H1 или H2

Кросс-энтропия мультиклассов сравнивает наблюдаемые выходные данные мультикласса с прогнозируемыми вероятностями. Для случайной выборки результатов мультикласса размером , средняя перекрестная энтропия мультикласса для гиперболатических H1 или H2 может быть оценена по формуле ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\overline {C}}}$

${\displaystyle {\overline {C}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{k}{[y_{ij}log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }}))]}}}$

Лог-шанс принадлежности к категории по сравнению с эталонной категорией 1, обозначаемой , равен ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle o_{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}$

${\displaystyle o_{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=ln[{\frac {\pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}{\pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}}]}$

где и . Предполагаемая матрица параметров полиномиальной гиперболастической регрессии получается путем максимизации логарифмической функции правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия матрицы параметров равны ${\displaystyle j=2,\ldots ,k}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}={\underset {\boldsymbol {\beta }}{\operatorname {argmax} }}{\sum _{i=1}^{n}(y_{i1}ln[\pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]+y_{i2}ln[\pi _{2}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]+\ldots +y_{ik}ln[\pi _{k}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})])}}$

Рекомендации

1. Табатабай, Мохаммед; Уильямс, Дэвид; Бурсак, Зоран (2005). «Модели гиперболического роста: теория и применение». Теоретическая биология и медицинское моделирование . 2:14 . дои : 10.1186/1742-4682-2-14 . ПМЦ  1084364 . ПМИД  15799781.
2. Химали, LP; Ся, Чжимин (2022). «Эффективность моделей выживания в социально-экономических явлениях». Научный журнал Вавуния . 1 (2): 9–19. ISSN  2950-7154.
3. Эктон, К. Эштон (2012). Клетки крови. Достижения в области исследований и применения: издание 2012 г. . Научные издания. ISBN 978-1-4649-9316-9.^{[ нужна страница ]}
4. Уодкин, Ле; Ороско-Фуэнтес, С.; Неганова И.; Лако, М.; Паркер, штат Нью-Йорк; Шукуров, А. (2020). «Введение в математическое моделирование ИПСК». Последние достижения в технологии IPSC . 5 . arXiv : 2010.15493 .
5. Нейсенс, Патрисия; Мессенс, Вини; Геверс, Дирк; Качели, Жан; Де Вюйст, Люк (2003). «Двухфазная кинетика роста и продукции бактериоцинов Lactobacillus amylovorus DCE 471 происходит в условиях стресса». Микробиология . 149 (4): 1073–1082. дои : 10.1099/mic.0.25880-0 . ПМИД  12686649.
6. Чу, Шарлин; Хан, Кристина; Симидзу, Хироми; Вонг, Бонни (2002). «Влияние фруктозы, галактозы и глюкозы на индукцию β-галактозидазы в Escherichia coli» (PDF) . Журнал экспериментальной микробиологии и иммунологии . 2 : 1–5.
7. Табатабай, Массачусетс; Эби, ВМ; Сингх, КП; Бэ, С. (2013). «Т-модель роста и ее применение в системах опухолевой иммунодинамики». Математические биологические науки и инженерия . 10 (3): 925–938. дои : 10.3934/mbe.2013.10.925. ПМЦ 4476034 . ПМИД  23906156. 
8. Пармун, Гасем; Мусави, Сейед; Поштдар, Адель; Сиадат, Сейед (2020). «Влияние токсичности кадмия на прорастание семян кунжута, объясненное различными моделями нелинейного роста». Маслично-жировые культуры и липиды . 27 (57): 57. doi : 10.1051/ocl/2020053 .
9. Кронбергер, Габриэль; Каммерер, Лукас; Комменда, Майкл (2020). Теория компьютерных систем – EUROCAST 2019 . Конспекты лекций по информатике. Том. 12013. arXiv : 2107.06131 . дои : 10.1007/978-3-030-45093-9. ISBN 978-3-030-45092-2. S2CID  215791712.
10. Камар Ш., Мсаллам Б.С. Сравнительное исследование методов обобщенной максимальной энтропии и Байеса для оценки четырехпараметрической модели роста Вейбулла. Журнал вероятности и статистики. 2020, 14 января; 2020: 1–7.
11. Рёрс Т., Богдан П., Гарайбе Б. и др. (без даты). «Пролиферативная гетерогенность в популяциях стволовых клеток». Лаборатория визуализации живых клеток Института регенеративной медицины Макгоуэна.
12. Эби, Уэйн М.; Табатабай, Мохаммад А.; Бурсак, Зоран (2010). «Гиперболатическое моделирование опухолевого роста при комбинированном воздействии йодоацетата и диметилсульфоксида». БМК Рак . 10 :509. дои : 10.1186/1471-2407-10-509 . ПМК 2955040 . ПМИД  20863400. 
13. Франция, Джеймс; Кебреаб, Эрмиас, ред. (2008). Математическое моделирование в питании животных. Уоллингфорд: CABI. ISBN 9781845933548.
14. Ахмади, Х.; Моттагиталаб, М. (2007). «Гиперболастичные модели как новый мощный инструмент для описания кинетики роста бройлеров». Птицеводство . 86 (11): 2461–2465. дои : 10.3382/ps.2007-00086 . ПМИД  17954598.
15. Ткачук, С.А.; Пасниченко О.С.; Савчок, Л.Б. (2021). «Аппроксимация показателей роста и анализ индивидуальных кривых роста по линейным размерам трубчатых костей кур мясного направления в постнатальном периоде онтогенеза». Украинский журнал ветеринарных наук . 12 (4). дои : 10.31548/ujvs2021.04.002 . S2CID  245487460.
16. Чхве, Тэён; Чин, Сонга (2014). «Новый синтез восстановления лицевых ран в реальном времени с использованием подповерхностного рассеяния». Научный мировой журнал . 2014 : 1–8. дои : 10.1155/2014/965036 . ПМЦ 4146479 . ПМИД  25197721. 
17. Табатабай, Массачусетс; Эби, ВМ; Сингх, КП (2011). «Гиперболатическое моделирование заживления ран». Математическое и компьютерное моделирование . 53 (5–6): 755–768. дои : 10.1016/j.mcm.2010.10.013 .
18. Ко, Унг Хён; Чхве, Чонджин; Чунг, Джинсын; Мун, Сунхван; Шин, Дженнифер Х. (2019). «Физико-химически настроенные миофибробласты для стратегии заживления ран». Научные отчеты . 9 (1): 16070. Бибкод : 2019NatSR...916070K. дои : 10.1038/s41598-019-52523-9. ПМЦ 6831678 . ПМИД  31690789. 
19. Баррера, Антонио; Роман-Роман, Патрисия; Торрес-Руис, Франциско (2021). «Гиперболатические модели с точки зрения стохастических дифференциальных уравнений». Математика . 9 (16): 1835. doi : 10.3390/math9161835 .
20. Баррера, Антонио; Роман-Роман, Патрисия; Торрес-Руис, Франциско (2020). «Диффузионные процессы для моделей Вейбулла». Теория компьютерных систем – EUROCAST 2019 . Конспекты лекций по информатике. Том. 12013. С. 204–210. дои : 10.1007/978-3-030-45093-9_25. ISBN 978-3-030-45092-2. S2CID  215792096.
21. Баррера, Антонио; Роман-Роман, Патрисия; Торрес-Руис, Франциско (2018). «Гиперболатический процесс диффузии типа I: оценка параметров с помощью алгоритма светлячка». Биосистемы . 163 : 11–22. doi :10.1016/j.biosystems.2017.11.001. ПМИД  29129822.
22. Баррера, Антонио; Роман-Роан, Патрисия; Торрес-Руис, Франциско (2020). «Гиперболатический диффузионный процесс типа III: получение из обобщенного диффузионного процесса Вейбулла». Математические биологические науки и инженерия . 17 (1): 814–833. дои : 10.3934/mbe.2020043 . hdl : 10481/58209 . ПМИД  31731379.
23. Баррера, Антонио; Роман-Роман, Патрисия; Торрес-Руис, Франциско (2020). «Два стохастических дифференциальных уравнения для моделирования поведения осцилляболатического типа». Математика . 8 (2): 155. дои : 10.3390/math8020155 . hdl : 10481/61054 .
24. Стохастические процессы с приложениями. 2019. doi : 10.3390/books978-3-03921-729-8 . ISBN 978-3-03921-729-8.
25. Баррера, Антонио; Роман-Роман, Патрисия; Торрес-Руис, Франциско (2021). «Стохастическая модель T-роста: моделирование и вывод с помощью метаэвристических алгоритмов». Математика . 9 (9): 959. дои : 10.3390/math9090959 . hdl : 10481/68288 .
26. Табатабай, Мохаммад А.; Бурсак, Зоран; Эби, Уэйн М.; Сингх, Каран П. (2011). «Математическое моделирование пролиферации стволовых клеток». Медицинская и биологическая инженерия и вычислительная техника . 49 (3): 253–262. doi : 10.1007/s11517-010-0686-y. PMID  20953843. S2CID  33828764.
27. Эби, Уэйн М.; Табатабай, Мохаммад А. (2014). «Методы математического моделирования стволовых клеток». Стволовые клетки и раковые стволовые клетки, Том 12 . Том. 12. С. 201–217. дои : 10.1007/978-94-017-8032-2_18. ISBN 978-94-017-8031-5.
28. Уодкин, Ле; Ороско-Фуэнтес, С.; Неганова И.; Лако, М.; Шукуров А.; Паркер, Нью-Йорк (2020). «Последние достижения в математическом моделировании плюрипотентных стволовых клеток человека». С.Н. Прикладные науки . 2 (2): 276. дои : 10.1007/s42452-020-2070-3 . ПМК 7391994 . ПМИД  32803125. 
29. Стволовые клетки и раковые стволовые клетки, Том 12 . Том. 12. 2014. doi : 10.1007/978-94-017-8032-2. ISBN 978-94-017-8031-5. S2CID  34446642.
30. Табатабай, Мохаммад А.; Кенгвунг-Кеумо, Жан-Жак; Эби, Уэйн М.; Бэ, Седжон; Геммень, Жюльет Т.; Манн, Апендер; Фуад, Мона; Партридж, Эдвард Э.; Сингх, Каран П. (2014). «Различия в показателях смертности от рака шейки матки, определенные с помощью модели продольных гиперболастических смешанных эффектов типа II». ПЛОС ОДИН . 9 (9): e107242. Бибкод : 2014PLoSO...9j7242T. дои : 10.1371/journal.pone.0107242 . ПМК 4167327 . ПМИД  25226583. 
31. Вериссимо, Андре; Пайшао, Лаура; Невес, Ана; Винга, Сусана (2013). «BGFit: Управление и автоматическая настройка кривых биологического роста». БМК Биоинформатика . 14 :283. дои : 10.1186/1471-2105-14-283 . ПМЦ 3848918 . ПМИД  24067087. 
32. Табатабай, Массачусетс; Эби, ВМ; Бэ, С.; Сингх, КП (2013). «Гибкая многовариантная модель роста фитопланктона». Математические биологические науки и инженерия . 10 (3): 913–923. дои : 10.3934/mbe.2013.10.913 . ПМИД  23906155.
33. Йасмин, Фархана; Доу, Ранадип; Чакраборти, Братати (2021). «Новый показатель скорости роста в определении расширенной кривой роста Гомпертца и разработке теста согласия». Бюллетень Калькуттской статистической ассоциации . 73 (2): 127–145. дои : 10.1177/00080683211037203 .
34. Ариф, Самиур (2014). Моделирование динамики популяции стволовых клеток (Диссертация). Университет Олд Доминион. doi : 10.25777/thnx-6q07.
35. Эби, Уэйн М.; Оямакин, Сэмюэл О.; Чукву, Анджела У. (2017). «Новая нелинейная модель, примененная к взаимосвязи высоты и DBH в Gmelina arborea». Лесная экология и управление . 397 : 139–149. doi :10.1016/j.foreco.2017.04.015.
36. Табатабай, Массачусетс; Эби, ВМ; Бэ, С.; Сингх, КП (2013). «Гибкая многовариантная модель роста фитопланктона». Математические биологические науки и инженерия . 10 (3): 913–923. дои : 10.3934/mbe.2013.10.913 . ПМИД  23906155.
37. Маджид, Шахид; Салих, Мохаммед; Васая, Розина; Джафри, Васим (2008). «Прогностические показатели поражения желудочно-кишечного тракта при эндоскопии при железодефицитной анемии без желудочно-кишечных симптомов». БМК Гастроэнтерология . 8:52 . дои : 10.1186/1471-230X-8-52 . ПМЦ 2613391 . ПМИД  18992171. 
38. Тиммерман, Дирк; Теста, Антония К.; Борн, Том; Феррацци, Энрико; Амейе, Лиевеке; Константинович, Майя Л.; Ван Калстер, Бен; Коллинз, Уильям П.; Верготе, Игнас; Ван Хаффель, Сабина; Валентин, Лил (2005). «Модель логистической регрессии для различия доброкачественных и злокачественных образований придатков перед операцией: многоцентровое исследование Международной группы анализа опухолей яичников». Журнал клинической онкологии . 23 (34): 8794–8801. дои : 10.1200/JCO.2005.01.7632 . ПМИД  16314639.