Гиперкэлерово многообразие

В дифференциальной геометрии гиперкэлерово многообразие — это риманово многообразие, наделенное тремя интегрируемыми почти комплексными структурами , которые являются кэлеровыми относительно римановой метрики и удовлетворяют кватернионным соотношениям . В частности, это гиперкомплексное многообразие . Все гиперкэлеровы многообразия являются риччи-плоскими и, таким образом, являются многообразиями Калаби–Яу . ^[a] $(М,г)$ $I,J,K$ $г$ $I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1$

Гиперкэлеровы многообразия были определены Эудженио Калаби в 1979 году. ^[1]

Ранняя история

В статье Марселя Берже 1955 года ^[2] о классификации римановых групп голономии впервые был поднят вопрос о существовании несимметричных многообразий с голономией Sp( n )·Sp(1). Интересные результаты были доказаны в середине 1960-х годов в пионерской работе Эдмонда Бонана ^[3] и Крайнеса ^[4] , которые независимо доказали, что любое такое многообразие допускает параллельную 4-форму . Долгожданный аналог сильной теоремы Лефшеца был опубликован ^[5] в 1982 году: $\Омега$ $\Omega ^{nk}\wedge \bigwedge ^{2k}T^{*}M=\bigwedge ^{4n-2k}T^{*}M.$

Эквивалентное определение в терминах голономии

Эквивалентно, гиперкэлерово многообразие — это риманово многообразие размерности , группа голономии которого содержится в компактной симплектической группе Sp( n ) . ^[1] $(М,г)$ $4n$

Действительно, если — гиперкэлерово многообразие, то касательное пространство $T$ $x$ $M$ является кватернионным векторным пространством для каждой точки $x$ из $M$ , т. е. оно изоморфно для некоторого целого числа , где — алгебра кватернионов . Компактную симплектическую группу Sp( n ) можно рассматривать как группу ортогональных преобразований которой линейны относительно $I$ , $J$ и $K$ . Из этого следует, что группа голономии риманова многообразия содержится в $Sp($ $n$ $)$ . Обратно, если группа голономии риманова многообразия размерности содержится в $Sp($ $n$ $)$ , выберем комплексные структуры $I$ $x$ , $J$ $x$ и $K$ $x$ на $T$ $x$ $M$ , которые превращают $T$ $x$ $M$ в кватернионное векторное пространство. Параллельный перенос этих комплексных структур дает требуемые комплексные структуры на $M$ , превращающие его в гиперкэлерово многообразие. $(М,г,И,Дж,К)$ $\mathbb {H} ^{n}$ $n$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {H} ^{n}$ $(М,г)$ $(М,г)$ $4n$ $I,J,K$ $(М,г,И,Дж,К)$

Две сферы сложных структур

Каждое гиперкэлерово многообразие имеет 2-сферу комплексных структур , относительно которой метрика является кэлеровой . Действительно, для любых действительных чисел таких, что $(М,г,И,Дж,К)$ $г$ $а,б,в$

а^{2}+b^{2}+c^{2}=1\,

линейная комбинация

aI+bJ+cK\,

представляет собой сложную структуру , которая является кэлеровой относительно . Если обозначает кэлеровы формы , соответственно, то кэлерова форма равна $г$ $\omega _{I},\omega _{J},\omega _{K}$ $(г,I),(г,J),(г,K)$ $aI+bJ+cK$

a\omega _{I}+b\omega _{J}+c\omega _{K}.

Голоморфная симплектическая форма

Гиперкэлерово многообразие , рассматриваемое как комплексное многообразие , является голоморфно симплектическим (снабженным голоморфной, невырожденной, замкнутой 2-формой). Точнее, если обозначает кэлеровы формы , соответственно, то $(М,г,И,Дж,К)$ $(М,Я)$ $\omega _{I},\omega _{J},\omega _{K}$ $(г,I),(г,J),(г,K)$

\Омега :=\омега _{J}+i\омега _{K}

является голоморфно-симплектическим относительно . $Я$

Наоборот, доказательство гипотезы Калаби Шинг-Тунга Яу подразумевает, что компактное , кэлерово , голоморфно симплектическое многообразие всегда снабжено совместимой гиперкэлеровой метрикой. ^[6] Такая метрика уникальна в данном классе кэлера. Компактные гиперкэлеровы многообразия широко изучались с использованием методов алгебраической геометрии , иногда под названием голоморфно симплектические многообразия . Группа голономии любой метрики Калаби–Яу на односвязном компактном голоморфно симплектическом многообразии комплексной размерности с есть в точности $Sp($ $n$ $)$ ; и если односвязное многообразие Калаби–Яу вместо этого имеет , то это просто риманово произведение гиперкэлеровых многообразий меньшей размерности. Этот факт немедленно следует из формулы Бохнера для голоморфных форм на кэлеровом многообразии, а также из классификации групп голономии Бергера ; По иронии судьбы, его часто приписывают Богомолову, который в той же статье ошибочно утверждал, что компактных гиперкэлеровых многообразий на самом деле не существует! $(М,Я,\Омега)$ $2n$ $H^{2,0}(М)=1$ $H^{2,0}(M)\geq 2$

Примеры

Для любого целого числа пространство -кортежей кватернионов , наделенное плоской евклидовой метрикой, является гиперкэлеровым многообразием. Первым нетривиальным примером является метрика Эгучи–Хансона на кокасательном расслоении двумерной сферы . Она была также независимо открыта Эухенио Калаби , который показал более общее утверждение, что кокасательное расслоение любого комплексного проективного пространства имеет полную гиперкэлерову метрику. ^[1] В более общем смысле Бирте Фейкс и Дмитрий Каледин показали, что кокасательное расслоение любого кэлерова многообразия имеет гиперкэлерову структуру в окрестности его нулевого сечения , хотя она, как правило, неполна. ^[7]^[8] $n\geq 1$ $\mathbb {H} ^{n}$ $n$ $Т^{*}С^{2}$ $T^{*}\mathbb {CP} ^{n}$

Благодаря классификации комплексных поверхностей Кунихико Кодаира мы знаем, что любое компактное гиперкэлерово 4-многообразие является либо поверхностью K3 , либо компактным тором . (Каждое многообразие Калаби–Яу в 4 (действительных) измерениях является гиперкэлеровым многообразием, поскольку $SU(2)$ изоморфно $Sp(1)$ .) $Т^{4}$

Как обнаружил Бовилл, ^[6] схема Гильберта k точек на компактном гиперкэлеровом 4-многообразии является гиперкэлеровым многообразием размерности $4k$ . Это приводит к двум сериям компактных примеров: схемы Гильберта точек на поверхности K3 и $обобщенные$ многообразия Куммера .

Некомпактные, полные, гиперкэлеровы 4-многообразия, которые являются асимптотическими к $H / G$ , где $H$ обозначает кватернионы , а $G$ является конечной подгруппой Sp $(1)$ , известны как асимптотически локально евклидовы , или ALE, пространства. Эти пространства и различные обобщения, включающие различные асимптотические поведения, изучаются в физике под названием гравитационные инстантоны . Анзац Гиббонса–Хокинга дает примеры, инвариантные относительно действия окружности.

Многие примеры некомпактных гиперкэлеровых многообразий возникают как пространства модулей решений некоторых уравнений калибровочной теории, которые возникают из размерной редукции антисамодвойственных уравнений Янга–Миллса : пространства модулей инстантонов, ^[9] пространства модулей монополей , ^[10] пространства решений уравнений самодуальности Найджела Хитчина на римановых поверхностях , ^[11] пространства решений уравнений Нама . Другой класс примеров — это многообразия колчанов Накаджимы , ^[12] которые имеют большое значение в теории представлений.

Когомологии

Курносов, Солдатенков и Вербицкий (2019) показывают, что когомологии любого компактного гиперкэлерова многообразия вкладываютс в когомологии тора таким образом, что сохраняет структуру Ходжа .

Примечания

^ Это легко увидеть, заметив, что $Sp(n)$ является подгруппой специальной унитарной группы $SU(2 n)$ .

Смотрите также

Ссылки

^ abc Калаби, Эухенио (1979). «Métriques kahliriennes et fibrés голоморфы». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Quatrième Série, 12 (2): 269–294. дои : 10.24033/asens.1367 .
^ Бергер, Марсель (1955). «Sur les groups d'holonomie des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes» (PDF) . Бык. Соц. Математика. Франция . 83 : 279–330. дои : 10.24033/bsmf.1464 .
^ Бонан, Эдмонд (1965). «Структура presque quaternale sur une variété дифференцируемого». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 261 : 5445–8.
^ Kraines, Vivian Yoh (1966). «Топология кватернионных многообразий» (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 122 (2): 357–367. doi : 10.1090/S0002-9947-1966-0192513-X . JSTOR 1994553.
^ Бонан, Эдмонд (1982). «Sur l'algèbre extérieure d'une variété presque Hermitienne quaternionique». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 295 : 115–118.
^ ab Beauville, A. Variétés Kahleriennes dont la première classe de Chern est nulle. Дж. Дифференциальная геометрия. 18 (1983), вып. 4, 755–782 (1984).
^ Фейкс, Б. Гиперкэлеровы метрики на кокасательных расслоениях. J. Reine Angew. Math. 532 (2001), 33–46.
^ Каледин, Д. Каноническая гиперкэлерова метрика на тотальном пространстве кокасательного расслоения. Кватернионные структуры в математике и физике (Рим, 1999), 195–230, Univ. Studi Roma "La Sapienza", Рим, 1999.
^ Maciocia, A. Метрики на пространствах модулей инстантонов над евклидовым 4-пространством. Comm. Math. Phys. 135 (1991), № 3, 467–482.
^ Атья, М.; Хитчин, Н. Геометрия и динамика магнитных монополей. Лекции М. Б. Портера. Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, 1988.
^ Хитчин, Н. Уравнения самодуальности на римановой поверхности. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), № 1, 59–126.
^ Накадзима, Х. Инстантоны на пространствах ALE, колчанных многообразиях и алгебрах Каца-Муди. Duke Math. J. 76 (1994), № 2, 365–416.

Dunajski, Maciej; Mason, Lionel J. (2000), "Гиперкэлеровы иерархии и их твисторная теория", Communications in Mathematical Physics , 213 (3): 641–672, arXiv : math/0001008 , Bibcode : 2000CMaPh.213..641D, doi : 10.1007/PL00005532, MR 1785432, S2CID 17884816
Киран Г. О'Грейди, (2011) «Многомерные аналоги поверхностей K3». MR2931873
Хитчин, Найджел (1991–1992), «Гиперкелеровые многообразия», Семинар Н. Бурбаки , 34 (Доклад № 748): 137–166, MR 1206066
Курносов, Никон; Солдатенков Андрей; Вербицкий, Миша (2019), «Конструкция Куга-Сатаке и когомологии гиперкелеровых многообразий», Успехи в математике , 351 : 275–295, arXiv : 1703.07477 , doi :10.1016/j.aim.2019.04.060, MR 3952121, S2CID 119124485