Гиперсвязанное пространство

В математической области топологии гиперсвязное пространство ^{[1] [2]} или неприводимое пространство ^[2] — это топологическое пространство X , которое не может быть записано как объединение двух собственных замкнутых подмножеств (независимо от того, являются ли они непересекающимися или непересекающимися). Название неприводимое пространство предпочтительнее в алгебраической геометрии .

Для топологического пространства X следующие условия эквивалентны:

• Никакие два непустых открытых множества не являются непересекающимися .
• X не может быть записано как объединение двух собственных замкнутых подмножеств .
• Каждое непустое открытое множество плотно в X.
• Внутренность каждого собственного замкнутого подмножества X пуста.
• Каждое подмножество плотно или нигде не плотно в X.
• Никакие две точки не могут быть разделены непересекающимися окрестностями.

Пространство, удовлетворяющее любому из этих условий, называется гиперсвязным или неприводимым . Из-за того, что условие окрестностей различных точек в некотором смысле противоположно свойству Хаусдорфа , некоторые авторы называют такие пространства антихаусдорфовыми . ^[3]

Пустое множество является бессодержательно гиперсвязным или неприводимым пространством согласно определению выше (потому что оно не содержит непустых открытых множеств). Однако некоторые авторы, ^[4] особенно те, кто интересуется приложениями к алгебраической геометрии , добавляют явное условие, что неприводимое пространство должно быть непустым.

Неприводимое множество — это подмножество топологического пространства, для которого топология подпространства неприводима.

Примеры

Двумя примерами гиперсвязных пространств из топологии точечных множеств являются кофинитная топология на любом бесконечном множестве и топология правого порядка на . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

В алгебраической геометрии, взяв спектр кольца , редуцированное кольцо которого является областью целостности, есть неприводимое топологическое пространство — применяя теорему о решетке к нильрадикалу , который находится внутри каждого простого числа, чтобы показать, что спектр фактор-отображения является гомеоморфизмом, это сводится к неприводимости спектра области целостности. Например, схемы

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)}$, ${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-2z))}}\right)}$

являются неприводимыми, поскольку в обоих случаях многочлены, определяющие идеал, являются неприводимыми многочленами (то есть они не имеют нетривиальной факторизации). Непримером является нормальный пересекающийся делитель

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xyz)}}\right)}$

поскольку лежащее в основе пространство является объединением аффинных плоскостей , , и . Другой не-пример дается схемой ${\displaystyle \mathbb {A} _{x,y}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{x,z}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{y,z}^{2}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,f_{4})}}\right)}$

где — неприводимый однородный многочлен степени 4. Это объединение двух кривых рода 3 (по формуле род–степень ) ${\displaystyle f_{4}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w))}}\right),{\text{ }}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w))}}\right)}$

Гиперсвязанность против связанности

Каждое гиперсвязное пространство является как связным , так и локально связным (хотя не обязательно линейно связным или локально линейно связным ).

Обратите внимание, что в определении гиперсвязности замкнутые множества не обязательно должны быть непересекающимися. Это контрастирует с определением связности, в котором открытые множества непересекающиеся.

Например, пространство действительных чисел со стандартной топологией связно, но не гиперсвязно. Это происходит потому, что его нельзя записать как объединение двух непересекающихся открытых множеств, но можно записать как объединение двух (непересекающихся) замкнутых множеств.

Характеристики

• Непустые открытые подмножества гиперсвязного пространства являются «большими» в том смысле, что каждое из них плотно в X и любая пара из них пересекается. Таким образом, гиперсвязное пространство не может быть хаусдорфовым, если оно не содержит только одну точку.
• Каждое гиперсвязное пространство является как связным , так и локально связным (хотя не обязательно линейно связным или локально линейно связным ).
• Поскольку замыканием каждого непустого открытого множества в гиперсвязном пространстве является все пространство, которое является открытым множеством, каждое гиперсвязное пространство является экстремально несвязным .
• Непрерывный образ гиперсвязного пространства гиперсвязен. ^{[5] В} частности , любая непрерывная функция из гиперсвязного пространства в хаусдорфово пространство должна быть константой. Отсюда следует, что каждое гиперсвязное пространство псевдокомпактно .
• Каждое открытое подпространство гиперсвязного пространства гиперсвязно. ^[6]

Доказательство: Пусть будет открытым подмножеством. Любые два непересекающихся открытых подмножества из сами будут непересекающимися открытыми подмножествами из . Поэтому по крайней мере одно из них должно быть пустым. ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

• В более общем смысле каждое плотное подмножество гиперсвязного пространства является гиперсвязным.

Доказательство: Предположим, что является плотным подмножеством и с , замкнутым в . Тогда . Поскольку является гиперсвязным, одно из двух замыканий — это все пространство , скажем . Это означает, что является плотным в , и поскольку оно замкнуто в , оно должно быть равно . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X={\overline {S}}={\overline {S_{1}}}\cup {\overline {S_{2}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}}}=X}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• Замкнутое подпространство гиперсвязного пространства не обязательно должно быть гиперсвязным.

Контрпример: с алгебраически замкнутым полем (следовательно, бесконечным) является гиперсвязным ^[7] в топологии Зариского , в то время как является замкнутым и не является гиперсвязным. ${\displaystyle \Bbbk ^{2}}$ ${\displaystyle \Bbbk }$ ${\displaystyle V=Z(XY)=Z(X)\cup Z(Y)\subset \Bbbk ^{2}}$

• Замыкание любого неприводимого множества неприводимо. ^[8 ]

Доказательство: Предположим, что , где неприводимо, и запишем для двух замкнутых подмножеств (и, следовательно, в ). замкнуты в и , что влечет или , но тогда или по определению замкнутости . ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F\cup G}$ ${\displaystyle F,G\subseteq \operatorname {Cl} _{X}(S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F':=F\cap S,\,G':=G\cap S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=F'\cup G'}$ ${\displaystyle S\subseteq F}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=G}$

• Пространство , которое можно записать как открытое и неприводимое, такое, что является неприводимым. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2}\subset X}$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$

Доказательство: Во-первых, мы замечаем, что если — непустое открытое множество в , то оно пересекает и ; действительно, предположим , тогда плотно в , таким образом , и является точкой замыкания , из которой следует и a fortiori . Теперь и беря замыкание, следовательно, является непустым открытым и плотным подмножеством . Поскольку это верно для любого непустого открытого подмножества, является неприводимым. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}:=U_{1}\cap V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle \exists x\in \operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})\cap U_{2}=U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle x\in U_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle V_{2}:=V\cap U_{2}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle V=V\cap (U_{1}\cup U_{2})=V_{1}\cup V_{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(V)\supseteq {\operatorname {Cl} }_{U_{1}}(V_{1})\cup {\operatorname {Cl} }_{U_{2}}(V_{2})=U_{1}\cup U_{2}=X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Неприводимые компоненты

Неприводимая компонента ^[10] в топологическом пространстве — это максимальное неприводимое подмножество (т. е. неприводимое множество, которое не содержится ни в каком большем неприводимом множестве). Неприводимые компоненты всегда замкнуты.

Каждое неприводимое подмножество пространства X содержится в (не обязательно единственном) неприводимом компоненте X. [ ^11] В частности, каждая точка X содержится в некотором неприводимом компоненте X. В отличие от связных компонент пространства, неприводимые компоненты не обязательно должны быть непересекающимися (т. е. они не обязательно должны образовывать раздел ). В общем случае неприводимые компоненты будут перекрываться.

Неприводимые компоненты хаусдорфова пространства — это просто одноэлементные множества .

Поскольку каждое неприводимое пространство связно, неприводимые компоненты всегда будут лежать в связных компонентах.

Каждое нётерово топологическое пространство имеет конечное число неприводимых компонент. ^[12]

Смотрите также

• Ультрасвязанное пространство
• Трезвый космос
• Геометрически неприводимый

Примечания

1. Стин и Зеебах, стр. 29
2. Харт, Нагата и Воган 2004, стр. 9.
3. Ван Даувен, Эрик К. (1993). «Антихаусдорфово пространство Фреше, в котором сходящиеся последовательности имеют уникальные пределы». Топология и ее приложения . 51 (2): 147–158. doi : 10.1016/0166-8641(93)90147-6 .
4. «Раздел 5.8 (004U): Неприводимые компоненты — проект Stacks».
5. Бурбаки, Николя (1989). Коммутативная алгебра: главы 1-7 . Спрингер. п. 95. ИСБН 978-3-540-64239-8.
6. Бурбаки, Николя (1989). Коммутативная алгебра: главы 1-7 . Спрингер. п. 95. ИСБН 978-3-540-64239-8.
7. Перрен, Дэниел (2008). Алгебраическая геометрия. Введение . Springer. стр. 14. ISBN 978-1-84800-055-1.
8. «Лемма 5.8.3 (004W) — Проект Stacks».
9. Бурбаки, Николя (1989). Коммутативная алгебра: главы 1-7 . Спрингер. п. 95. ИСБН 978-3-540-64239-8.
10. «Определение 5.8.1 (004V) — Проект Stacks».
11. «Лемма 5.8.3 (004W) — Проект Stacks».
12. «Раздел 5.9 (0050): Нётеровы топологические пространства — проект Stacks».

Ссылки

• Харт, Клаас Питер; Нагата, Джун-ити; Воан, Джерри Э. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир/Северная Голландия. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446
• «Гиперсвязанное пространство». PlanetMath .