Гиперцелое число

Гипердействительное число, равное своей целой части.

В нестандартном анализе гиперцелое число n — это гипердействительное число , равное своей собственной целой части . Гиперцелое число может быть конечным или бесконечным. Конечное гиперцелое число — это обычное целое число . Примером бесконечного гиперцелого числа является класс последовательности ( 1, 2, 3, ...) в сверхстепенной конструкции гиперреальности.

Обсуждение

Стандартная функция целочисленной части :

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

определяется для всех действительных x и равно наибольшему целому числу, не превышающему x . Согласно принципу переноса нестандартного анализа существует естественное расширение:

${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor }$

определено для всех гипервещественных чисел x , и мы говорим, что x является гиперцелым числом, если Таким образом, гиперцелые числа являются образом функции целой части в гипервещественных числах. ${\displaystyle x={}^{*}\!\lfloor x\rfloor .}$

Внутренние наборы

Множество всех гиперцелых чисел является внутренним подмножеством гипердействительной прямой . Множество всех конечных гиперцелых чисел (то есть само по себе) не является внутренним подмножеством. Элементы дополнения называются, в зависимости от автора, нестандартными , неограниченными или бесконечными гиперцелыми числами. Обратная величина бесконечного гиперцелого числа всегда является бесконечно малым . ${\displaystyle ^{*}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z} }$

Неотрицательные гиперцелые числа иногда называют сверхнатуральными числами. Аналогичные замечания относятся и к множествам и . Заметим, что последняя дает нестандартную модель арифметики в смысле Скулема . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {N} }$

Рекомендации

• Говард Джером Кейслер : Элементарное исчисление: бесконечно малый подход . Первое издание 1976 г.; 2-е издание 1986 г. Эта книга больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил второе издание в формате PDF для скачивания по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.