Гипонепрерывная билинейная карта

В математике гипонепрерывность — это условие на билинейных отображениях топологических векторных пространств , которое слабее, чем непрерывность, но сильнее, чем отдельная непрерывность . Многие важные билинейные отображения, которые не являются непрерывными, на самом деле являются гипонепрерывными.

Определение

Если и являются топологическими векторными пространствами , то билинейное отображение называется гипонепрерывным, если выполняются следующие два условия: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \beta :X\times Y\to Z}$

• для каждого ограниченного множества множество линейных отображений является равнонепрерывным подмножеством , и ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \{\beta (x,\cdot )\mid x\in A\}}$ ${\displaystyle Hom(Y,Z)}$
• для каждого ограниченного множества множество линейных отображений является равностепенно непрерывным подмножеством . ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle \{\beta (\cdot ,y)\mid y\in B\}}$ ${\displaystyle Hom(X,Z)}$

Достаточные условия

Теорема : ^[1] Пусть X и Y — бочечные пространства , а Z — локально выпуклое пространство. Тогда каждое отдельно непрерывное билинейное отображение в Z гипонепрерывно. ${\displaystyle X\times Y}$

Примеры

• Если X — хаусдорфово локально выпуклое бочкообразное пространство над полем , то билинейное отображение, определенное как, является гипонепрерывным. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X\times X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \left(x,x^{\prime }\right)\mapsto \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }\left(x\right)}$

Смотрите также

• Билинейная карта  - функция двух векторов, линейных по каждому аргументу.
• Двойная система

Рекомендации

1. Treves 2006, стр. 424–426.

Библиография

• Бурбаки, Николя (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13627-9
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.