В математике гипонепрерывность — это условие на билинейных отображениях топологических векторных пространств , которое слабее, чем непрерывность, но сильнее, чем отдельная непрерывность . Многие важные билинейные отображения, которые не являются непрерывными, на самом деле являются гипонепрерывными.
Определение
Если и являются топологическими векторными пространствами , то билинейное отображение называется гипонепрерывным, если выполняются следующие два условия:![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beta:X\times Y\to Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- для каждого ограниченного множества множество линейных отображений является равнонепрерывным подмножеством , и
![{\displaystyle A\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\beta (x,\cdot)\mid x\in A\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Hom(Y,Z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- для каждого ограниченного множества множество линейных отображений является равностепенно непрерывным подмножеством .
![{\displaystyle B\subseteq Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\beta (\cdot,y)\mid y\in B\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Hom(X,Z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Достаточные условия
Теорема : Пусть X и Y — бочечные пространства , а Z — локально выпуклое пространство. Тогда каждое отдельно непрерывное билинейное отображение в Z гипонепрерывно.![{\displaystyle X\times Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры
- Если X — хаусдорфово локально выпуклое бочкообразное пространство над полем , то билинейное отображение, определенное как, является гипонепрерывным.
![{\displaystyle \mathbb {F}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X\times X^{\prime }\to \mathbb {F} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(x,x^{\prime}\right)\mapsto \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle:=x^{\prime }\left(x\right) }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
Библиография
- Бурбаки, Николя (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13627-9
- Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК 840278135.
- Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК 853623322.