stringtranslate.com

Строгие догадки

В теории чисел гипотезы Штарка , введенные Штарком  (1971, 1975, 1976, 1980) и позднее расширенные Тейтом (  1984), дают предположительную информацию о коэффициенте главного члена в разложении Тейлора L-функции Артина, связанной с расширением Галуа K / k алгебраических числовых полей . Гипотезы обобщают аналитическую формулу числа классов, выражающую главный коэффициент ряда Тейлора для дзета-функции Дедекинда числового поля как произведение регулятора , связанного с S-единицами поля, и рационального числа .

Когда K / k является абелевым расширением и порядок исчезновения L-функции при s  = 0 равен единице, Штарк дал уточнение своей гипотезы, предсказав существование определенных S-единиц, называемых единицами Штарка , которые порождают абелевы расширения числовых полей.

Формулировка

Общий случай

Гипотезы Штарка в наиболее общей форме предсказывают, что старший коэффициент L-функции Артина является произведением определенного типа регулятора, регулятора Штарка , на алгебраическое число .

Абелев случай ранга один

Когда расширение абелево и порядок исчезновения L-функции при s  = 0 равен единице, уточненная гипотеза Штарка предсказывает существование единиц Штарка , корни которых порождают расширения Куммера для K , которые абелевы над базовым полем k (а не просто абелевы над K , как предполагает теория Куммера). Таким образом, это уточнение его гипотезы имеет теоретические последствия для решения двенадцатой проблемы Гильберта .

Вычисление

Единицы Старка в абелевом случае ранга один были вычислены в конкретных примерах, что позволило проверить достоверность его уточненной гипотезы. Они также предоставляют важный вычислительный инструмент для генерации абелевых расширений числовых полей, формируя основу для некоторых стандартных алгоритмов вычисления абелевых расширений числовых полей.

Первые случаи ранга ноль используются в последних версиях системы компьютерной алгебры PARI/GP для вычисления полей классов Гильберта полностью вещественных числовых полей, а гипотезы предоставляют одно из решений двенадцатой проблемы Гильберта, которая поставила перед математиками задачу показать, как поля классов могут быть построены над любым числовым полем методами комплексного анализа .

Прогресс

Основная гипотеза Штарка была доказана в нескольких особых случаях, например, когда характер, определяющий L -функцию, принимает только рациональные значения. За исключением случаев, когда базовое поле является полем рациональных чисел или мнимым квадратичным полем , которые были рассмотрены в работе Штарка, [1] абелевы гипотезы Штарка все еще не доказаны для числовых полей. Больший прогресс был достигнут в функциональных полях алгебраического многообразия .

Манин  (2004) связал гипотезы Штарка с некоммутативной геометрией Алена Конна . [2] Это обеспечивает концептуальную основу для изучения гипотез, хотя на данный момент неясно, дадут ли методы Манина фактическое доказательство.

Вариации

В 1980 году Бенедикт Гросс сформулировал гипотезу Гросса–Штарка , p -адический аналог гипотез Штарка, связывающий производные p -адических L -функций Делиня–Рибета (для вполне четных характеров вполне вещественных числовых полей ) с p -единицами. [3] Это было условно доказано Анри Дармоном , Самитом Дасгуптой и Робертом Поллаком в 2011 году. [4] Доказательство было завершено и сделано безусловным Дасгуптой, Махешем Какде и Кевином Вентулло в 2018 году. [5] Дальнейшее уточнение p -адической гипотезы было предложено Гроссом в 1988 году. [6]

В 1984 году Джон Тейт сформулировал гипотезу Брумера–Штарка , которая дает уточнение абелевой гипотезы Штарка ранга один для полностью расщепляемых конечных простых чисел (для полностью комплексных расширений полностью вещественных базовых полей). Аналог функционального поля гипотезы Брумера–Штарка был доказан Джоном Тейтом и Пьером Делинем в 1984 году . [7] [8] В 2023 году Дасгупта и Какде доказали гипотезу Брумера–Штарка вдали от простого числа 2. [9]

В 1996 году Карл Рубин предложил интегральное уточнение гипотезы Штарка в абелевом случае. [10] В 1999 году Кристиан Думитру Попеску предложил аналог гипотезы Рубина для функционального поля и доказал его в некоторых случаях. [11]

Примечания

  1. ^ Старк, Гарольд М. (1980), «L-функции при s  = 1. IV. Первые производные при s  = 0», Успехи в математике , 35 (3): 197–235, doi : 10.1016/0001-8708(80)90049-3 , ISSN  0001-8708, MR  0563924
  2. ^ Манин, Ю. И. ; Панчишкин, А. А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Т. 49 (Второе изд.). С. 171. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Збл  1079.11002.
  3. ^ Гросс, Бенедикт Х. (1982). " p -адический L -ряд при s = 0". Журнал факультета естественных наук Токийского университета . 28 : 979–994.
  4. ^ Дармон, Анри; Дасгупта, Самит; Поллак, Роберт (2011). «Модулярные формы Гильберта и гипотеза Гросса-Штарка». Annals of Mathematics . 174 (1): 439–484. doi : 10.4007/annals.2011.174.1.12 .
  5. ^ Дасгупта, Самит; Какде, Махеш; Вентулло, Кевин (2018). «О гипотезе Гросса-Штарка» (PDF) . Annals of Mathematics . 188 (3): 833–870. doi :10.4007/annals.2018.188.3.3.
  6. ^ Гросс, Бенедикт Х. (1988). «О значениях абелевых L-функций при s = 0». Журнал факультета естественных наук Токийского университета . 35 : 177–197.
  7. ^ Тейт, Джон (1984). Гипотезы Штарка о функциях L d'Artin en s = 0 . Прогресс в математике. Том. 47. Бостон, Массачусетс: Биркхойзер .
  8. ^ Розен, Майкл (2002), "15. Гипотеза Брумера-Старка", Теория чисел в функциональных полях , Graduate Texts in Mathematics , т. 210, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-95335-3, Збл  1043.11079
  9. ^ Дасгупта, Самит; Какде, Махеш (2023). «О гипотезе Брумера-Старка и ее уточнениях». Annals of Mathematics . 197 (1): 289–388. doi :10.4007/annals.2023.197.1.5. S2CID  219557526.
  10. ^ Рубин, Карл (1996). «Гипотеза Штарка «над Z» для абелевых L-функций с несколькими нулями». Annales de l'Institut Fourier . 46 : 33–62. doi : 10.5802/aif.1505 .
  11. ^ Попеску, Кристиан Д. (1999). «Об уточненной гипотезе Штарка для функциональных полей». Compositio Mathematica . 116 (3): 321–367. doi : 10.1023/A:1000833610462 . S2CID  15198245.

Ссылки

Внешние ссылки