Гипотеза Воота — гипотеза в математической области теории моделей, первоначально предложенная Робертом Лоусоном Воотом в 1961 году. Она утверждает, что число счетных моделей полной теории первого порядка в счетном языке конечно или ℵ 0 или 2 ℵ 0 . Морли показал, что число счетных моделей конечно или ℵ 0 или ℵ 1 или 2 ℵ 0 , что решает гипотезу, за исключением случая моделей ℵ 1 , когда гипотеза континуума неверна. Для этого оставшегося случая Робин Найт (2002, 2007) объявил о контрпримере к гипотезе Воота и топологической гипотезе Воота. По состоянию на 2021 год контрпример не был проверен.
Пусть будет счетной, полной теорией первого порядка с бесконечными моделями. Пусть обозначает число моделей T мощности с точностью до изоморфизма — спектр теории . Морли доказал , что если I ( T , ℵ 0 ) бесконечно, то оно должно быть ℵ 0 или ℵ 1 или мощностью континуума . Гипотеза Воота — это утверждение, что невозможно для . Гипотеза является тривиальным следствием гипотезы континуума ; поэтому эта аксиома часто исключается в работе над гипотезой. В качестве альтернативы существует более точная форма гипотезы, которая утверждает, что любое счетное полное T с несчетным числом счетных моделей будет иметь совершенный набор несчетных моделей (как указал Джон Стил в «О гипотезе Воота». Cabal Seminar 76–77 (Proc. Caltech-UCLA Logic Sem., 1976–77), стр. 193–208, Lecture Notes in Math., 689, Springer, Berlin, 1978, эта форма гипотезы Воота равнодоказуема с оригиналом).
Первоначальная формулировка Воота была сформулирована не как гипотеза, а как проблема: можно ли доказать без использования континуум-гипотезы, что существует полная теория, имеющая ровно ℵ 1 неизоморфных счетных моделей? Согласно результату Морли, упомянутому в начале, положительное решение гипотезы по сути соответствует отрицательному ответу на проблему Воота, как она была изначально сформулирована.
Воот доказал, что число счетных моделей полной теории не может быть равно 2. Это может быть любое конечное число, отличное от 2, например:
Идея доказательства теоремы Воота заключается в следующем. Если существует не более счетного числа счетных моделей, то существует наименьшая из них: атомарная модель , и наибольшая — насыщенная модель , которые различны, если имеется более одной модели. Если они различны, насыщенная модель должна реализовывать некоторый n -тип, опущенный атомарной моделью. Тогда можно показать, что атомарная модель теории структур, реализующая этот n -тип (на языке, расширенном конечным числом констант), является третьей моделью, не изоморфной ни атомарной, ни насыщенной модели. В приведенном выше примере с 3 моделями атомарная модель — это та, где последовательность неограничена, насыщенная модель — та, где последовательность сходится, а примером типа, не реализуемого атомарной моделью, является элемент, больший, чем все элементы последовательности.
Топологическая гипотеза Воота — это утверждение, что всякий раз, когда польская группа непрерывно действует на польском пространстве , существует либо счетное множество орбит , либо континуальное множество орбит. Топологическая гипотеза Воота более общая, чем исходная гипотеза Воота: имея счетный язык, мы можем образовать пространство всех структур на натуральных числах для этого языка. Если мы снабдим это топологией, порожденной формулами первого порядка, то известно из A. Gregorczyk , A. Mostowski , C. Ryll-Nardzewski , "Definability of sets of models of axiomatic theories" ( Bulletin of the Polish Academy of Sciences (series Mathematics, Astronomy, Physics) , vol. 9 (1961), pp. 163–7), что полученное пространство является польским. Существует непрерывное действие бесконечной симметрической группы (совокупность всех перестановок натуральных чисел с топологией поточечной сходимости), которая порождает отношение эквивалентности изоморфизма. При наличии полной теории первого порядка T множество структур, удовлетворяющих T, является минимальным, замкнутым инвариантным множеством и, следовательно, польским само по себе.
