Догадки Капланского

Математик Ирвинг Капланский известен тем, что выдвинул множество гипотез в различных областях математики, включая список из десяти гипотез об алгебрах Хопфа . Обычно их называют гипотезами Капланского .

Групповые кольца

Пусть $K$ — поле , а $G$ — группа без кручения . Гипотеза Капланского о делителях нуля гласит:

Групповое кольцо $K [G]$ не содержит нетривиальных делителей нуля , то есть является областью .

Две связанные гипотезы известны как гипотеза Капланского об идемпотентности :

$K [G]$ не содержит нетривиальных идемпотентов , т. е. если $a 2 = a$ , то $a = 1$ или $a = 0$ .

и гипотеза Капланского о единице (первоначально выдвинутая Грэмом Хигманом и популяризированная Капланским):

$K [G]$ не содержит нетривиальных единиц , т. е. если $ab = 1$ в $K [G]$ , то $a = kg$ для некоторых $k$ из $K$ и $g$ из $G$ .

Гипотеза о делителях нуля подразумевает гипотезу об идемпотенте и подразумевается гипотезой о единице. По состоянию на 2021 год гипотезы о делителях нуля и идемпотенте открыты. Однако гипотеза о единице была опровергнута в характеристике 2 Джайлсом Гардамом, представив явный контрпример в кристаллографической группе , а именно фундаментальной группе многообразия Ганцше –Вендта ; см. также группу Фибоначчи . ^[1]^[2]^[3] В более позднем препринте Гардама утверждается, что по сути тот же элемент также дает контрпример в характеристике 0 (нахождение обратного элемента в этом случае вычислительно гораздо сложнее, отсюда и задержка между первым результатом и вторым). ^[4]

Существуют доказательства как гипотезы об идемпотентности, так и гипотезы о делителях нуля для больших классов групп. Например, гипотеза о делителях нуля известна для всех элементарных аменабельных групп без кручения (класс, включающий все виртуально разрешимые группы), поскольку их групповые алгебры, как известно, являются областями Оре . ^[5] Из этого следует, что гипотеза верна в более общем случае для всех аппроксимируемых элементарных аменабельных групп без кручения. Заметим, что когда — поле характеристики ноль, то гипотеза о делителях нуля следует из гипотезы Атьи , которая также была установлена для больших классов групп. $К$

Гипотеза об идемпотенте имеет обобщение, гипотезу об идемпотенте Кадисона , также известную как гипотеза Кадисона–Капланского, для элементов в редуцированной групповой C*-алгебре . В этой ситуации известно, что если гипотеза Фаррелла–Джонса верна для $K [G]$ , то верна и гипотеза об идемпотенте. Последняя была положительно решена для чрезвычайно большого класса групп, включая, например, все гиперболические группы .

Известно также, что гипотеза о единице верна во многих группах, но ее частичные решения гораздо менее надежны, чем два других (о чем свидетельствует упомянутый ранее контрпример). Известно, что эта гипотеза не следует из какого-либо аналитического утверждения, подобного двум другим, и поэтому все случаи, в которых она верна, были установлены с помощью прямого комбинаторного подхода, включающего так называемое свойство уникальных произведений. Благодаря упомянутой выше работе Гардама теперь известно, что в общем случае это неверно.

Банаховы алгебры

Эта гипотеза утверждает, что всякий гомоморфизм алгебры из банаховой алгебры C ( X ) (непрерывные комплекснозначные функции на X , где X — компактное хаусдорфово пространство ) в любую другую банахову алгебру обязательно непрерывен . Гипотеза эквивалентна утверждению, что всякая норма алгебры на C ( X ) эквивалентна обычной равномерной норме . (Сам Капланский ранее показал, что всякая полная норма алгебры на C ( X ) эквивалентна равномерной норме.)

В середине 1970-х годов Х. Гарт Дейлс и Дж. Эстерле независимо друг от друга доказали, что если дополнительно предположить справедливость континуум -гипотезы , то существуют компактные хаусдорфовы пространства X и разрывные гомоморфизмы из C ( X ) в некоторую банахову алгебру, что дало контрпримеры к этой гипотезе.

В 1976 году Р. М. Соловей (основываясь на работе Х. Вудина) представил модель ZFC ( теория множеств Цермело–Френкеля + аксиома выбора ), в которой гипотеза Капланского верна. Таким образом, гипотеза Капланского является примером утверждения, неразрешимого в ZFC .

Квадратичные формы

В 1953 году Капланский выдвинул гипотезу, что конечные значения u -инвариантов могут быть только степенями 2. [ ^6]^[7]

В 1989 году гипотеза была опровергнута Александром Меркурьевым , который продемонстрировал поля с u -инвариантами любого четного m . ^[6] В 1999 году Олег Ижболдин построил поле с u -инвариантом m = 9, что стало первым примером нечетного u -инварианта. ^[8] В 2006 году Александр Вишик продемонстрировал поля с u -инвариантом для любого целого k, начиная с 3. ^[9] $m=2^{k}+1$

Ссылки

^ Гардам, Джайлс (2021-02-23). «Контрпример к гипотезе единицы для групповых колец». Annals of Mathematics . 194 (3): 967–979. arXiv : 2102.11818 . doi : 10.4007/annals.2021.194.3.9. S2CID 232013430.
^ "Интервью с Джайлсом Гардамом". Математика Мюнстера, Университет Мюнстера . Получено 10.03.2021 .
^ Эрика Кларрайх (12 апреля 2021 г.). «Математик опровергает 80-летнюю гипотезу алгебры». Журнал Quanta . Получено 13 апреля 2021 г.
^ Гардам, Джайлс (11 декабря 2023 г.). «Нетривиальные единицы комплексных групповых колец». arXiv : 2312.05240 [math.GR].
^ Kropholler, PH; Linnell, PA; Moody, JA (1988). «Применение новой теоремы $K$-теории к разрешимым групповым кольцам». Труды Американского математического общества . 104 (3): 675–684. doi :10.2307/2046771. ISSN 0002-9939. JSTOR 2046771.
^ ab Меркурьев, АС (1991). "Гипотеза Капланского в теории квадратичных форм". J Math Sci . 57 (6): 3489. doi :10.1007/BF01100118. S2CID 122865942.
^ Капланский, И. (1951). «Квадратичные формы». J. Math. Soc. Jpn . 5 (2): 200–207. doi : 10.2969/jmsj/00520200 .
^ Ижболдин, Олег Т. (2001). «Поля u-инварианта 9». Анналы математики . Вторая серия. 154 (3): 529–587. doi :10.2307/3062141. JSTOR 3062141. Zbl 0998.11015.
^ Вишик, Александр (2009). "Поля u-инварианта 2 r + 1". Алгебра, арифметика и геометрия, том II: В честь Ю. И. Манина . Успехи математики. Т. 270. С. 661. doi :10.1007/978-0-8176-4747-6_22. ISBN 978-0-8176-4746-9.

Дальнейшее чтение

Dales, HG (июль 1978). «Автоматическая непрерывность: обзор». Бюллетень Лондонского математического общества . 10 (2): 129–183. doi :10.1112/blms/10.2.129.
Люк, Вольфганг (2002). L²-инварианты: теория и приложения к геометрии и K-теории . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Берлин ; Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-3-540-43566-2.
Пассман, Дональд С. (1977). Алгебраическая структура групповых колец . Чистая и прикладная математика. Нью-Йорк: Wiley. ISBN 978-0-471-02272-5.
Puschnigg, Michael (июль 2002 г.). «Гипотеза Кадисона-Капланского для гиперболических групп». Inventiones Mathematicae . 149 (1): 153–194. Bibcode :2002InMat.149..153P. doi :10.1007/s002220200216. ISSN 0020-9910.
Dales, HG; Woodin, WH (1987). Введение в независимость для аналитиков (1-е изд.). Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511662256. ISBN 978-0-521-33996-4.