Гипотеза Милнора (К-теория)

Теорема, описывающая К-теорию Милнора (mod 2) с помощью когомологий Галуа

В математике гипотеза Милнора была предложена Джоном Милнором  (1970) для описания K-теории Милнора (mod 2) общего поля F с характеристикой, отличной от 2, с помощью когомологий Галуа (или, что эквивалентно, этальных ) поля F с коэффициентами в Z /2 Z. Она была доказана Владимиром Воеводским  (1996, 2003a, 2003b).

Заявление

Пусть F — поле характеристики, отличной от 2. Тогда имеет место изоморфизм

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2\cong H_{{\acute {e}}t}^{n}(F,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

для всех n  ≥ 0, где K ^M обозначает кольцо Милнора .

О доказательстве

Доказательство этой теоремы Владимира Воеводского использует несколько идей, разработанных Воеводским, Александром Меркурьевым , Андреем Суслиным , Маркусом Ростом , Фабьеном Морелем , Эриком Фридлендером и другими, включая недавно созданную теорию мотивных когомологий (своего рода замену сингулярных когомологий для алгебраических многообразий ) и мотивную алгебру Стинрода .

Обобщения

Аналог этого результата для простых чисел, отличных от 2, был известен как гипотеза Блоха–Като . Работа Воеводского и Маркуса Роста дала полное доказательство этой гипотезы в 2009 году; результат теперь называется теоремой об изоморфизме норменного вычета .

Ссылки

• Мацца, Карло; Воеводский, Владимир ; Вайбель, Чарльз (2006), Конспект лекций по мотивным когомологиям, Clay Mathematics Monographs , т. 2, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3847-1, г-н  2242284
• Милнор, Джон Уиллард (1970), «Алгебраическая K-теория и квадратичные формы», Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, Bibcode : 1970InMat...9..318M, doi : 10.1007/BF01425486, ISSN  0020-9910, MR  0260844, S2CID  13549621
• Воеводский, Владимир (1996), Гипотеза Милнора, Препринт
• Воеводский, Владимир (2003a), «Операции пониженной мощности в мотивных когомологиях», Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques , 98 (98): 1–57, arXiv : math/0107109 , doi : 10.1007/s10240-003-0009-z, ISSN  0073-8301, MR  2031198, S2CID  8172797
• Воеводский, Владимир (2003b), «Мотивические когомологии с Z / 2-коэффициентами», Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques , 98 (98): 59–104, doi : 10.1007/s10240-003-0010-6, ISSN  0073-8301, MR  2031199, S2CID  54823073

Дальнейшее чтение

• Кан, Бруно (2005), «Гипотеза Милнора (после В. Воеводского)», Фридлендер, Эрик М.; Грейсон, Д.Р. (ред.), Справочник по K -теории (на французском языке), том. 2, Springer-Verlag , стр. 1105–1149, ISBN. 3-540-23019-X, ЗБЛ  1101.19001