гипотеза Рэгсдейла

Гипотеза Рэгсдейла — математическая гипотеза , которая касается возможных расположений действительных алгебраических кривых, вложенных в проективную плоскость . Она была предложена Вирджинией Рэгсдейл в ее диссертации в 1906 году и опровергнута в 1979 году. Ее называют «старейшей и самой известной гипотезой о топологии действительных алгебраических кривых». ^[1]

Формулировка гипотезы

Диссертация Рэгсдейла «О расположении вещественных ветвей плоских алгебраических кривых» была опубликована в Американском журнале математики в 1906 году. Диссертация была трактовкой шестнадцатой проблемы Гильберта , предложенной Гильбертом в 1900 году вместе с 22 другими нерешенными проблемами 19 века ; это одна из немногих проблем Гильберта, которая остается полностью нерешенной. Рэгсдейл сформулировал гипотезу, которая предоставила верхнюю границу для числа топологических окружностей определенного типа, ^[2] вместе с основанием доказательств.

Догадка

Основная гипотеза Рэгсдейла заключается в следующем.

Предположим, что алгебраическая кривая степени 2k содержит p четных и n нечетных овалов. Рэгсдейл предположил, что

${\displaystyle p\leq {\tfrac {3}{2}}k(k-1)+1\quad {\text{and}}\quad n\leq {\tfrac {3}{2}}k(k-1).}$

Она также сформулировала неравенство

${\displaystyle |2(p-n)-1|\leq 3k^{2}-3k+1,}$

и показал, что неравенство не может быть улучшено дальше. Это неравенство было позже доказано Петровским .

Опровержение гипотезы

Гипотеза считалась очень важной в области реальной алгебраической геометрии большую часть двадцатого века. Позже, в 1980 году, Олег Виро ^[3] представил технику, известную как «лоскутное алгебраическое моделирование» ^[1] , и использовал ее для создания контрпримера к гипотезе.

В 1993 году Илья Итенберг ^[4] представил дополнительные контрпримеры к гипотезе Рэгсдейла, поэтому Виро и Итенберг в 1996 году написали статью, в которой обсуждали свою работу по опровержению гипотезы с использованием техники «лоскутного шитья». ^[1]

Проблема нахождения точной верхней границы остается нерешенной.

Ссылки

1. Итенберг, Илья; Олег, Виро (1996). «Пэчворк алгебраических кривых опровергает гипотезу Рэгсдейла». The Mathematical Intelligencer . 18 (4). Springer-Verlag: 19–28. doi :10.1007/BF03026748.
2. Де Лоэра, Хесус ; Виклин, Фредерик Дж. «Биографии женщин в математике: Вирджиния Рэгсдейл». Anges Scott College . Получено 22 марта 2019 г.
3. Виро, Олег Я. (1980). «Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотеза Рэгсдейла». Доклады Академии наук СССР . 254 (6): 1306–1309.Переведено в «Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотеза Рэгсдейл». Советская математика — Доклады . 22 : 566–570. 1980. Збл  0422.14032.
4. Итенберг, Илья; Михалкин, Григорий; Шустин, Евгений (2007). Тропическая алгебраическая геометрия . Oberwolfach Seminars. Т. 35. Базель: Birkhäuser. С. 34–35. ISBN 978-3-7643-8309-1. Збл  1162.14300.