Гипотеза парной корреляции Монтгомери

Хью Монтгомери в Обервольфахе в 2008 году

В математике гипотеза парной корреляции Монтгомери — это гипотеза , выдвинутая Хью Монтгомери  (1973), согласно которой парная корреляция между парами нулей дзета- функции Римана (нормализованная так, чтобы иметь единичный средний интервал) равна

${\displaystyle 1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{\!2},}$

что, как указал ему Фримен Дайсон , совпадает с функцией парной корреляции случайных эрмитовых матриц .

Догадка

При условии, что гипотеза Римана верна.

Пусть будет зафиксировано, тогда гипотеза утверждает ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {\#\{(\gamma ,\gamma '):0<\gamma ,\gamma '\leq T{\text{ and }}2\pi \alpha /\log(T)\leq \gamma -\gamma '\leq 2\pi \beta /\log(T)\}}{{\frac {T}{2\pi }}\log {T}}}=\int \limits _{\alpha }^{\beta }1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}\mathrm {d} u}$

и где каждый является мнимой частью нетривиальных нулей дзета-функции Римана , то есть . ${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma }$

Объяснение

Неформально это означает, что вероятность нахождения нуля в очень коротком интервале длины 2π L /log( T ) на расстоянии 2π u /log( T ) от нуля 1/2+ iT примерно в L раз больше, чем выражение выше. (Множитель 2π/log( T ) является нормировочным множителем, который неформально можно рассматривать как среднее расстояние между нулями с мнимой частью около T .) Эндрю Одлыжко  (1987) показал, что гипотеза подтверждается крупномасштабными компьютерными вычислениями нулей. Гипотеза была распространена на корреляции более двух нулей, а также на дзета-функции автоморфных представлений (Rudnick & Sarnak 1996). В 1982 году ученик Монтгомери, Али Эрхан Озлюк, доказал гипотезу парной корреляции для некоторых L-функций Дирихле.AE Ozluk (1982)

Связь со случайными унитарными матрицами может привести к доказательству гипотезы Римана (RH). Гипотеза Гильберта–Полиа утверждает, что нули дзета-функции Римана соответствуют собственным значениям линейного оператора , и подразумевает RH. Некоторые считают, что это многообещающий подход ( Andrew Odlyzko  (1987)).

Монтгомери изучал преобразование Фурье F ( x ) парной корреляционной функции и показал (предполагая гипотезу Римана), что оно равно | x | для | x | < 1. Его методы не смогли определить его для | x | ≥ 1, но он предположил, что оно равно 1 для этих x , что подразумевает, что парная корреляционная функция такая, как указано выше. Он также был мотивирован представлением о том, что гипотеза Римана не является кирпичной стеной, и можно смело делать более сильные предположения.

Гипотеза F(α) или гипотеза сильной парной корреляции

Пусть снова и обозначают нетривиальные нули дзета-функции Римана. Монтгомери ввел функцию ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma '}$

${\displaystyle F(\alpha ):=F_{T}(\alpha )=\left({\frac {T}{2\pi }}\log(T)\right)^{-1}\sum \limits _{0<\gamma ,\gamma '\leq T}T^{i\alpha (\gamma -\gamma ')}w(\gamma -\gamma ')}$

для и некоторой весовой функции . ${\displaystyle T>2,\;\alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle w(u):={\tfrac {4}{(4+u^{2})}}}$

Монтгомери и Голдстон ^[1] доказали в рамках гипотезы Римана, что для этой функции сходимость равномерна ${\displaystyle |\alpha |\leq 1}$

${\displaystyle F(\alpha )=T^{-2|\alpha |}\log(T)(1+{\mathcal {o}}(1))+|\alpha |+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty .}$

Монтгомери выдвинул гипотезу, которая теперь известна как гипотеза F(α) или гипотеза сильной парной корреляции , что для мы имеем равномерную сходимость ^[2] ${\displaystyle |\alpha |>1}$

${\displaystyle F(\alpha )=1+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty }$

для в ограниченном интервале. ${\displaystyle \alpha }$

Численный расчет Одлыжко

Действительная линия описывает двухточечную корреляционную функцию случайной матрицы типа GUE. Синие точки описывают нормализованные интервалы нетривиальных нулей дзета-функции Римана, первые 10 ⁵ нулей.

В 1980-х годах, вдохновленный гипотезой Монтгомери, Одлыжко начал интенсивное численное исследование статистики нулей ζ( s ). Он подтвердил распределение расстояний между нетривиальными нулями, используя подробные численные вычисления, и продемонстрировал, что гипотеза Монтгомери будет верна и что распределение будет согласовываться с распределением расстояний собственных значений случайной матрицы GUE с использованием Cray X-MP . В 1987 году он сообщил о вычислениях в статье Andrew Odlyzko  (1987).

Для нетривиального нуля, 1/2 + iγ _n , пусть нормализованные интервалы будут

${\displaystyle \delta _{n}={\frac {\gamma _{n+1}-\gamma _{n}}{2\pi }}\,{\log {\frac {\gamma _{n}}{2\pi }}}.}$

Тогда мы могли бы ожидать следующую формулу в качестве предела для : ${\displaystyle M,N\to \infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{M}}\{(n,k)\mid N\leq n\leq N+M,\,k\geq 0,\,\delta _{n}+\delta _{n+1}+\cdots +\delta _{n+k}\in [\alpha ,\beta ]\}\sim \int _{\alpha }^{\beta }\left(1-{\biggl (}{\frac {\sin {\pi u}}{\pi u}}{\biggr )}^{2}\right)du}$

На основе нового алгоритма, разработанного Одлыжко и Арнольдом Шёнхаге , который позволил им вычислить значение ζ(1/2 + i t ) за среднее время t ^ε шагов, Одлыжко вычислил миллионы нулей на высотах около 10 ²⁰ и предоставил некоторые доказательства гипотезы GUE. ^{[3] [4]}

Рисунок содержит первые 10 ⁵ нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Чем больше нулей выбирается, тем ближе их распределение приближается к форме случайной матрицы GUE.

Смотрите также

• пара Лемера

Ссылки

1. Голдстон, ДА; Монтгомери, HL (1987). «Парная корреляция нулей и простых чисел в коротких интервалах». В Адольфсон, А.С.; Конрей, Дж.Б.; Гош, А.; Ягер, Р.И. (ред.). Аналитическая теория чисел и диофантовы задачи . Прогресс в математике. Т. 70. Birkhäuser Boston. стр. 183–203. doi :10.1007/978-1-4612-4816-3_10. ISBN 978-1-4612-9173-2.
2. Карнейро, Эмануэль; Чанди, Форрапан; Чирр, Андрес; Милинович, Мика Б. (февраль 2022 г.). «О гипотезе парной корреляции Монтгомери: рассказ о трех интегралах». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Крелля) (786). Вальтер де Грюйтер (ГмбХ): 205–243. arXiv : 2108.09258 . doi : 10.1515/crelle-2021-0084.
3. AM Odlyzko, «10 ²⁰ -й ноль дзета-функции Римана и 70 миллионов его соседей», AT&T Bell Lab. препринт (1989)
4. М. Мехта (1990), гл.1

• Озлюк, А.Е. (1982), Парная корреляция нулей L-функций Дирихле , докторская диссертация, Энн-Арбор: Мичиганский университет, MR  2632180
• Katz, Nicholas M. ; Sarnak, Peter (1999), «Нули дзета-функций и симметрия», Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 36 (1): 1–26, doi : 10.1090/S0273-0979-99-00766-1 , ISSN  0002-9904, MR  1640151
• Монтгомери, Хью Л. (1973), «Парная корреляция нулей дзета-функции», Аналитическая теория чисел , Труды Симпозиума по чистой математике, т. XXIV, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 181–193, MR  0337821
• Одлыжко, AM (1987), «О распределении расстояний между нулями дзета-функции», Mathematics of Computation , 48 (177): 273–308, doi : 10.2307/2007890 , ISSN  0025-5718, JSTOR  2007890, MR  0866115
• Рудник, Зеев; Сарнак, Питер (1996), «Нули главных L-функций и теория случайных матриц», Duke Mathematical Journal , 81 (2): 269–322, doi :10.1215/S0012-7094-96-08115-6, ISSN  0012-7094, MR  1395406