гипотеза Бореля

В геометрической топологии гипотеза Бореля (названная в честь Армана Бореля ) утверждает, что асферическое замкнутое многообразие определяется своей фундаментальной группой с точностью до гомеоморфизма . Это гипотеза жёсткости , утверждающая, что слабое алгебраическое понятие эквивалентности (а именно, гомотопическая эквивалентность ) должно подразумевать более сильное топологическое понятие (а именно, гомеоморфизм).

Точная формулировка гипотезы

Пусть и — замкнутые и асферические топологические многообразия , и пусть ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle f\colon M\to N}$

быть гомотопической эквивалентностью . Гипотеза Бореля утверждает, что отображение гомотопно гомеоморфизму . Поскольку асферические многообразия с изоморфными фундаментальными группами гомотопически эквивалентны, гипотеза Бореля подразумевает, что асферические замкнутые многообразия определяются, с точностью до гомеоморфизма, своими фундаментальными группами. ${\displaystyle f}$

Эта гипотеза ложна, если топологические многообразия и гомеоморфизмы заменить гладкими многообразиями и диффеоморфизмами ; контрпримеры можно построить, взяв связную сумму с экзотической сферой .

Происхождение гипотезы

В мае 1953 года в письме Жану-Пьеру Серру [ ^1] Арман Борель поднял вопрос, являются ли два асферических многообразия с изоморфными фундаментальными группами гомеоморфными. Положительный ответ на вопрос « Всякая ли гомотопическая эквивалентность между замкнутыми асферическими многообразиями гомотопна гомеоморфизму? » упоминается как «так называемая гипотеза Бореля» в статье Джонатана Розенберга 1986 года . ^[2]

Мотивация предположения

Основной вопрос заключается в следующем: если два замкнутых многообразия гомотопически эквивалентны, являются ли они гомеоморфными? В общем случае это неверно: существуют гомотопически эквивалентные линзовые пространства , которые не являются гомеоморфными.

Тем не менее, существуют классы многообразий, для которых гомотопические эквивалентности между ними могут быть гомотопированы в гомеоморфизмы. Например, теорема о жесткости Мостова утверждает, что гомотопическая эквивалентность между замкнутыми гиперболическими многообразиями гомотопна изометрии — в частности, гомеоморфизму. Гипотеза Бореля является топологической переформулировкой жесткости Мостова, ослабляя гипотезу от гиперболических многообразий до асферических многообразий и аналогично ослабляя вывод от изометрии до гомеоморфизма.

Связь с другими предположениями

• Гипотеза Бореля влечет гипотезу Новикова для частного случая, в котором референтное отображение является гомотопической эквивалентностью. ${\displaystyle f\colon M\to BG}$
• Гипотеза Пуанкаре утверждает, что замкнутое многообразие, гомотопически эквивалентное , 3-сфере , гомеоморфно . Это не частный случай гипотезы Бореля, поскольку не является асферичным. Тем не менее, гипотеза Бореля для 3-тора влечет гипотезу Пуанкаре для . ^[3] ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle T^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Ссылки

1. Отрывок из письма Армана Бореля Жану -Пьеру Серру (2 мая 1953 г.). «Рождение гипотезы Бореля» (PDF) .
2. Розенберг, Джонатан (1986). "C∗-алгебры, положительная скалярная кривизна и гипотеза Новикова. III". Топология . 25 (3): 319–336. doi : 10.1016/0040-9383(86)90047-9 . MR  0842428.
3. Farrell, FT (2002). "Гипотеза Бореля". В Farrell, FT; Goettshe, L.; Lueck, W. (ред.). Топология многообразий высокой размерности, № 1, 2 (Триест, 2001) (PDF) . ICTP Lecture Notes. Том 9. Триест: Международный центр теоретической физики имени Абдуса Салама . С. 225–298. ISBN 92-95003-12-8. МР  1937017.См. примечание, стр. 233–234.

Дальнейшее чтение

• Маттиас Крек и Вольфганг Люк , Гипотеза Новикова. Геометрия и алгебра. Семинары в Обервольфахе, 33. Birkhäuser Verlag, Базель, 2005.