В теории чисел гипотеза Бейтмана –Хорна — утверждение о частоте простых чисел среди значений системы многочленов , названное в честь математиков Пола Т. Бейтмана и Роджера А. Хорна, которые предложили её в 1962 году. Она представляет собой обширное обобщение таких гипотез, как гипотеза Харди и Литтлвуда о плотности простых чисел-близнецов или их гипотеза о простых числах вида n2 +1; она также является усилением гипотезы Шинцеля H.
Гипотеза Бейтмана–Хорна дает предполагаемую плотность для положительных целых чисел, при которой заданный набор многочленов все имеют простые значения. Для набора из m различных неприводимых многочленов ƒ 1 , ..., ƒ m с целыми коэффициентами очевидным необходимым условием для того, чтобы многочлены одновременно генерировали простые значения бесконечно часто, является то, что они удовлетворяют свойству Буняковского , что не существует простого числа p , которое делит их произведение f ( n ) для каждого положительного целого числа n . Ибо, если бы существовало такое простое число p , то наличие всех значений многочленов одновременно простыми для заданного n означало бы, что по крайней мере одно из них должно быть равно p , что может произойти только для конечного числа значений n , или был бы многочлен с бесконечным числом корней, тогда как гипотеза заключается в том, как дать условия, при которых значения одновременно являются простыми для бесконечного числа n .
Целое число n является порождающим простые числа для данной системы многочленов, если каждый многочлен ƒ i ( n ) порождает простое число, когда в качестве его аргумента задано n . Если P ( x ) — это число целых чисел, порождающих простые числа среди положительных целых чисел, меньших x , то гипотеза Бейтмана–Хорна утверждает, что
где D — произведение степеней многочленов, а C — произведение простых чисел p
с количеством решений
Свойство Буняковского подразумевает для всех простых чисел p , поэтому каждый множитель в бесконечном произведении C положителен. Интуитивно тогда естественно ожидать, что константа C сама по себе положительна, и с некоторой работой это можно доказать. (Работа нужна, поскольку некоторые бесконечные произведения положительных чисел равны нулю.)
Как указано выше, гипотеза неверна: один многочлен ƒ 1 ( x ) = − x производит только отрицательные числа, когда ему дан положительный аргумент, поэтому доля простых чисел среди его значений всегда равна нулю. Есть два одинаково допустимых способа уточнения гипотезы, чтобы избежать этой трудности:
Разумно разрешить отрицательным числам считаться простыми числами в качестве шага к формулированию более общих гипотез, применимых к другим системам чисел, нежели целые числа, но в то же время легко просто отрицать многочлены, если это необходимо, чтобы свести ситуацию к случаю, когда старшие коэффициенты положительны.
Если система многочленов состоит из одного многочлена ƒ 1 ( x ) = x , то значения n , для которых ƒ 1 ( n ) является простым числом, сами являются простыми числами, и гипотеза становится переформулировкой теоремы о простых числах .
Если система многочленов состоит из двух многочленов ƒ 1 ( x ) = x и ƒ 2 ( x ) = x + 2, то значения n, для которых оба ƒ 1 ( n ) и ƒ 2 ( n ) являются простыми, являются просто меньшим из двух простых чисел в каждой паре простых чисел-близнецов . В этом случае гипотеза Бейтмана–Хорна сводится к гипотезе Харди–Литтлвуда о плотности простых чисел-близнецов, согласно которой число пар простых чисел-близнецов, меньших x , равно
Когда целые числа заменяются кольцом многочленов F [ u ] для конечного поля F , можно спросить, как часто конечный набор многочленов f i ( x ) в F [ u ][ x ] одновременно принимает неприводимые значения в F [ u ], когда мы заменяем x элементами F [ u ]. Хорошо известные аналогии между целыми числами и F [ u ] предполагают аналог гипотезы Бейтмана–Хорна над F [ u ], но аналог неверен. Например, данные предполагают, что многочлен
в F 3 [ u ][ x ] принимает (асимптотически) ожидаемое число неприводимых значений, когда x пробегает многочлены в F 3 [ u ] нечетной степени, но, по-видимому, принимает (асимптотически) вдвое больше неприводимых значений, чем ожидалось, когда x пробегает многочлены степени, которая равна 2 mod 4, в то время как (доказуемо) не принимает вообще никаких неприводимых значений, когда x пробегает непостоянные многочлены со степенью, кратной 4. Аналог гипотезы Бейтмана–Хорна над F [ u ], который соответствует числовым данным, использует дополнительный множитель в асимптотике, который зависит от значения d mod 4, где d — степень многочленов в F [ u ], по которым производится выборка x .
