Гипотеза Спиро

Гипотеза в теории чисел

В теории чисел гипотеза Спиро относится к проводнику и дискриминанту эллиптической кривой . В слегка измененной форме она эквивалентна известной гипотезе abc . Она названа в честь Люсьена Спиро , который сформулировал ее в 1980-х годах. Гипотеза Спиро и ее эквивалентные формы были описаны Дорианом Голдфельдом как «самая важная нерешенная проблема в диофантовом анализе » ^[1] отчасти из-за ее большого количества следствий в теории чисел, включая теорему Рота , гипотезу Морделла , гипотезу Ферма–Каталана и проблему Брокара . ^{[2] [3] [4] [5]}

Оригинальное заявление

Гипотеза утверждает, что: при заданном ε > 0 существует константа C (ε) такая, что для любой эллиптической кривой E, определенной над Q с минимальным дискриминантом Δ и проводником f ,

${\displaystyle \vert \Delta \vert \leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}$

Модифицированная гипотеза Шпиро

Модифицированная гипотеза Шпиро утверждает, что: при заданном ε > 0 существует константа C (ε) такая, что для любой эллиптической кривой E, определенной над Q с инвариантами c ₄ , c ₆ и проводником f (используя обозначения из алгоритма Тейта ),

${\displaystyle \max\{\vert c_{4}\vert ^{3},\vert c_{6}\vert ^{2}\}\leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}$

азбукапредположение

Гипотеза abc возникла как результат попыток Жозефа Остерле и Дэвида Массера понять гипотезу Спиро ^{[6] , а затем было показано} , что она эквивалентна модифицированной гипотезе Спиро ^{[7] .}

Последствия

Известно, что гипотеза Спиро и ее модифицированная форма подразумевают несколько важных математических результатов и гипотез, включая теорему Рота , ^[8] теорему Фальтингса , ^[9] гипотезу Ферма–Каталана , ^[10] и отрицательное решение проблемы Эрдёша–Улама . ^[11]

Заявленные доказательства

В августе 2012 года Шиничи Мочизуки заявил о доказательстве гипотезы Спиро, разработав новую теорию, названную межуниверсальной теорией Тейхмюллера (IUTT). ^[12] Однако эти статьи не были приняты математическим сообществом как предоставляющие доказательство гипотезы, ^{[13] [14] [15]} а Петер Шольце и Якоб Стикс пришли к выводу в марте 2018 года, что разрыв был «настолько серьезным, что … небольшие изменения не спасут стратегию доказательства». ^{[16] [17] [18]}

Смотрите также

• теория Аракелова

Ссылки

1. Голдфельд, Дориан (1996). «За пределами последней теоремы». Math Horizons . 4 (сентябрь): 26–34. doi :10.1080/10724117.1996.11974985. JSTOR  25678079.
2. Бомбьери, Энрико (1994). «Теорема Рота и abc-гипотеза». Препринт . ETH Zürich.
3. Элкис, НД (1991). «ABC подразумевает Морделла». Международные уведомления по математическим исследованиям . 1991 (7): 99–109. doi : 10.1155/S1073792891000144 .
4. Померанс, Карл (2008). «Вычислительная теория чисел». The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press . С. 361–362.
5. Домбровский, Анджей (1996). «О диофантовом уравнении x !+ A = y2 ^» . Новый архив Вискунде, IV . 14 : 321–324. Збл  0876.11015.
6. Фесенко, Иван (2015), «Арифметическая теория деформации через арифметические фундаментальные группы и неархимедовы тета-функции, заметки о работе Шиничи Мочизуки» (PDF) , European Journal of Mathematics , 1 (3): 405–440, doi : 10.1007/s40879-015-0066-0.
7. Остерле, Жозеф (1988), «Новые подходы к «теореме» Ферма», Asterisque , Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN  0303-1179, MR  0992208
8. Вальдшмидт, Мишель (2015). «Лекция о гипотезе abc и некоторых ее следствиях» (PDF) . Математика в 21 веке . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Том 98. С. 211–230. doi :10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN 978-3-0348-0858-3.
9. Элкис, НД (1991). «ABC подразумевает Морделла». Международные уведомления по математическим исследованиям . 1991 (7): 99–109. doi : 10.1155/S1073792891000144 .
10. Померанс, Карл (2008). «Вычислительная теория чисел». The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. С. 361–362.
11. Пастен, Гектор (2017), «Определимость орбит Фробениуса и результат для множеств рациональных расстояний», Monatshefte für Mathematik , 182 (1): 99–126, doi : 10.1007/s00605-016-0973-2, MR  3592123, S2CID  7805117
12. Болл, Питер (10 сентября 2012 г.). «Доказательство глубокой связи между простыми числами». Nature . doi : 10.1038/nature.2012.11378 . Получено 19 апреля 2020 г. .
13. Ревелл, Тимоти (7 сентября 2017 г.). «Озадачивающее доказательство математики ABC теперь имеет непостижимое 300-страничное «резюме». New Scientist .
14. Конрад, Брайан (15 декабря 2015 г.). «Заметки о семинаре Oxford IUT Брайана Конрада» . Получено 18 марта 2018 г.
15. Кастельвекки, Давиде (8 октября 2015 г.). «Самая большая загадка в математике: Шиничи Мочизуки и непроницаемое доказательство». Nature . 526 (7572): 178–181. Bibcode :2015Natur.526..178C. doi : 10.1038/526178a . PMID  26450038.
16. Шольце, Питер ; Стикс, Якоб . «Почему abc все еще является гипотезой» (PDF) . Архивировано из оригинала 8 февраля 2020 г.(обновленная версия их майского отчета|)
17. Кларрайх, Эрика (20 сентября 2018 г.). «Титаны математики сражаются за эпическое доказательство гипотезы ABC». Журнал Quanta .
18. "Обсуждения IUTeich за март 2018 г." . Получено 2 октября 2018 г.Веб-страница Мочизуки, описывающая обсуждения и дающая ссылки на последующие публикации и дополнительные материалы.

Библиография

• Ланг, С. (1997), Обзор диофантовой геометрии, Берлин: Springer-Verlag , стр. 51, ISBN 3-540-61223-8, ЗБЛ  0869.11051
• Шпиро, Л. (1981). «Числовые свойства двойного относительного изображения». Семинар по жанрам au moins deux (PDF) . Астериск. Том. 86. стр. 44–78. Збл  0517.14006.
• Шпиро, Л. (1987), «Презентация теории д'Аракелова», Contemp. Математика. , Современная математика, 67 : 279–293, номер документа : 10.1090/conm/067/902599, ISBN. 9780821850749, ЗБЛ  0634.14012