stringtranslate.com

Теорема о душе

В математике теорема о душе — это теорема римановой геометрии , которая в значительной степени сводит изучение полных многообразий неотрицательной секционной кривизны к изучению компактного случая. Джефф Чигер и Детлеф Громолл доказали теорему в 1972 году, обобщив результат 1969 года Громолла и Вольфганга Мейера. Связанная с ней гипотеза о душе , сформулированная Чигером и Громоллом в то время, была доказана двадцать лет спустя Григорием Перельманом .

Теорема о душе

Теорема о душе Чигера и Громолла гласит: [1]

Если ( M , g ) -- полное связное риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной , то существует замкнутое вполне выпуклое , вполне геодезическое вложенное подмногообразие , нормальное расслоение которого диффеоморфно M .

Такое подмногообразие называется душой ( M , g ) . По уравнению Гаусса и полной геодезичности, индуцированная риманова метрика на душе автоматически имеет неотрицательную секционную кривизну. Громолл и Мейер ранее изучали случай положительной секционной кривизны, где они показали, что душа задается одной точкой, и, следовательно, что M диффеоморфно евклидову пространству . [2]

Очень простые примеры, как показано ниже, показывают, что душа не определяется однозначно ( M , g ) в общем случае. Однако Владимир Шарафутдинов построил 1-липшицеву ретракцию от M к любой из ее душ, тем самым показав, что любые две души изометричны . Это отображение известно как ретракция Шарафутдинова . [3]

Чигер и Громолл также поставили обратный вопрос о том, существует ли полная риманова метрика неотрицательной секционной кривизны на общем пространстве любого векторного расслоения над замкнутым многообразием положительной секционной кривизны. [4] Сейчас известно, что ответ отрицательный, хотя теория существования до конца не изучена. [5]

Примеры.

Догадка о душе

Как упоминалось выше, Громолл и Мейер доказали, что если g имеет положительную секционную кривизну, то душа является точкой. Чигер и Громолл предположили, что это будет справедливо даже если g имеет неотрицательную секционную кривизну, причем положительность требуется только для всех секционных кривизн в одной точке. [8] Эта гипотеза о душе была доказана Григорием Перельманом , который установил более весомый факт, что ретракция Шарафутдинова является римановой субмерсией и даже субметрией . [5]

Ссылки

  1. ^ Чигер и Эбин, 2008, глава 8; Петерсен 2016, Теорема 12.4.1; Сакаи 1996, Теорема V.3.4.
  2. ^ Петерсен 2016, стр. 462; Сакаи 1996, Следствие V.3.5.
  3. ^ Чоу и др. 2010, Теорема I.25.
  4. ^ Яу 1982, Задача 6.
  5. ^ ab Petersen 2016, стр. 469.
  6. ^ Петерсен 2016, Пример 12.4.4; Сакаи 1996, стр. 217.
  7. ^ Петерсен 2016, Пример 12.4.3; Сакаи 1996, стр. 217.
  8. ^ Сакаи 1996, с. 217; Яу 1982, Задача 18.

Источники.