гипотеза abc

Произведение различных простых множителей a, b, c, где c равно a+b, редко бывает намного меньше c

Математик Джозеф Остерле

Математик Дэвид Массер

Гипотеза abc (также известная как гипотеза Эстерле–Массера ) — гипотеза в теории чисел , возникшая в результате дискуссии Джозефа Эстерле и Дэвида Массера в 1985 году. ^{[1] [2]} Она сформулирована в терминах трех положительных целых чисел и (отсюда и название), которые являются взаимно простыми и удовлетворяют . Гипотеза по сути утверждает, что произведение различных простых множителей обычно не намного меньше . Ряд известных гипотез и теорем в теории чисел немедленно вытекают из гипотезы abc или ее версий. Математик Дориан Голдфельд описал гипотезу abc как «самую важную нерешенную проблему в диофантовом анализе ». ^[3] ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a+b=c}$ ${\displaystyle abc}$ ${\displaystyle c}$

Гипотеза abc возникла как результат попыток Эстерле и Массера понять гипотезу Шпиро об эллиптических кривых , ^[4] которая включает в себя больше геометрических структур в своем утверждении, чем гипотеза abc . Было показано, что гипотеза abc эквивалентна модифицированной гипотезе Шпиро. ^[1]

Были предприняты различные попытки доказать гипотезу abc , но ни одна из них не получила широкого признания. Шиничи Мочизуки заявил, что у него есть доказательство в 2012 году, но гипотеза до сих пор считается недоказанной основным математическим сообществом. ^{[5] [6] [7]}

Формулировки

Прежде чем сформулировать гипотезу, необходимо ввести понятие радикала целого числа : для положительного целого числа радикал числа , обозначаемый , является произведением различных простых множителей числа . Например, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{rad}}(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\text{rad}}(16)={\text{rad}}(2^{4})={\text{rad}}(2)=2}$

${\displaystyle {\text{rad}}(17)=17}$

${\displaystyle {\text{rad}}(18)={\text{rad}}(2\cdot 3^{2})=2\cdot 3=6}$

${\displaystyle {\text{rad}}(1000000)={\text{rad}}(2^{6}\cdot 5^{6})=2\cdot 5=10}$

Если a , b , и c являются взаимно простыми ^{[примечания 1]} положительными целыми числами, такими что a + b = c , то оказывается, что "обычно" . Гипотеза abc имеет дело с исключениями. В частности, она утверждает, что: ${\displaystyle c<{\text{rad}}(abc)}$

Для каждого положительного действительного числа ε существует лишь конечное число троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел, причем a + b = c , таких, что ^[8]

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

Эквивалентная формулировка:

Для каждого положительного действительного числа ε существует константа K _ε такая, что для всех троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел, где a + b = c : ^[8]

${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

Эквивалентно (используя обозначение с маленькой буквой «о» ):

Для всех троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел, где a + b = c , rad( abc ) не меньше c ^{1- o (1)} .

Четвертая эквивалентная формулировка гипотезы включает качество q ( a , b , c ) тройки ( a , b , c ), которое определяется как

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log {\big (}{\textrm {rad}}(abc){\big )}}}.}$

Например:

q (4, 127, 131) = log(131) / log(рад(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0,46820...

q (3, 125, 128) = log(128) / log(рад(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1,426565...

Типичная тройка ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c будет иметь c < rad( abc ), т.е. q ( a , b , c ) < 1. Тройки с q > 1, такие как во втором примере, довольно особенные, они состоят из чисел, делящихся на высокие степени малых простых чисел . Четвертая формулировка:

Для каждого положительного действительного числа ε существует лишь конечное число троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел, где a + b = c, таких, что q ( a , b , c ) > 1 + ε .

В то время как известно, что существует бесконечно много троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c, таких что q ( a , b , c ) > 1, гипотеза предсказывает, что только конечное число из них имеет q > 1,01 или q > 1,001 или даже q > 1,0001 и т. д. В частности, если гипотеза верна, то должна существовать тройка ( a , b , c ), которая достигает максимально возможного качества q ( a , b , c ).

Примеры троек с малым радикалом

Условие ε > 0 необходимо, так как существует бесконечно много троек a , b , c с c > rad( abc ). Например, пусть

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{6n}-1,\quad c=2^{6n},\qquad n>1.}$

Целое число b делится на 9:

${\displaystyle b=2^{6n}-1=64^{n}-1=(64-1)(\cdots )=9\cdot 7\cdot (\cdots ).}$

Используя этот факт, производится следующий расчет:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rad} (abc)&=\operatorname {rad} (a)\operatorname {rad} (b)\operatorname {rad} (c)\\&=\operatorname {rad} (1)\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\operatorname {rad} \left(2^{6n}\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(9\cdot {\tfrac {b}{9}}\right)\\&\leqslant 2\cdot 3\cdot {\tfrac {b}{9}}\\&={\tfrac {2}{3}}b\\&<{\tfrac {2}{3}}c.\end{aligned}}}$

Заменяя показатель 6 n другими показателями, заставляющими b иметь большие квадратные множители, отношение между радикалом и c можно сделать сколь угодно малым. В частности, пусть p > 2 будет простым числом и рассмотрим

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{p(p-1)n}-1,\quad c=2^{p(p-1)n},\qquad n>1.}$

Теперь можно с полным основанием утверждать, что b делится на p ² :

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=2^{p(p-1)n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}\right)^{n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}-1\right)(\cdots )\\&=p^{2}\cdot r(\cdots ).\end{aligned}}}$

Последний шаг использует тот факт, что p ² делит 2 ^{p ( p −1)}  − 1. Это следует из малой теоремы Ферма , которая показывает, что при p  > 2, 2 ^{p −1}  =  pk  + 1 для некоторого целого числа k . Возведение обеих сторон в степень p затем показывает, что 2 ^{p ( p −1)}  =  p ² (...) + 1.

И теперь, при аналогичном расчете, как указано выше, получаем следующие результаты:

${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)<{\tfrac {2}{p}}c.}$

Список троек наивысшего качества (троек с особенно малым радикалом относительно c ) приведен ниже; наивысшее качество, 1,6299, было найдено Эриком Рейссатом (Ландо и Звонкин 2004, стр. 137) для

а = 2,

б = 3 ¹⁰ · 109 =6 436 341 ,

с = 23 ⁵ =6 436 343 ,

рад( абв ) =15 042 .

Некоторые последствия

Гипотеза abc имеет большое количество следствий. Они включают как известные результаты (некоторые из которых были доказаны отдельно только после того, как была высказана гипотеза), так и гипотезы, для которых она дает условное доказательство . Следствия включают:

• Теорема Рота о диофантовых приближениях алгебраических чисел . ^{[9] [8]}
• Гипотеза Морделла (уже доказанная в общем Гердом Фалтингсом ). ^[10]
• Как эквивалент, гипотеза Войты в размерности 1. ^[11]
• Гипотеза Эрдёша –Вудса, допускающая конечное число контрпримеров. ^[12]
• Существование бесконечного множества не- Вифериховых простых чисел в каждом основании b > 1. ^[13]
• Слабая форма гипотезы Маршалла Холла о разделении квадратов и кубов целых чисел. ^[14]
• Последняя теорема Ферма имеет известное трудное доказательство Эндрю Уайлса . Однако оно легко следует, по крайней мере для , из эффективной формы слабой версии гипотезы abc . Гипотеза abc утверждает, что предельный предел множества всех качеств (определенных выше) равен 1, что подразумевает гораздо более слабое утверждение о том, что существует конечная верхняя граница для качеств. Гипотеза о том, что 2 является такой верхней границей, достаточна для очень короткого доказательства Великой теоремы Ферма для . ^[15] ${\displaystyle n\geq 6}$ ${\displaystyle n\geq 6}$
• Гипотеза Ферма –Каталана , обобщение Великой теоремы Ферма относительно степеней, являющихся суммами степеней. ^[16]
• L -функция L ( s , χd ) , образованная с помощью символа Лежандра , не имеет нуля Зигеля , если _{принять} равномерную версию гипотезы abc в числовых полях , а не только гипотезу abc , сформулированную выше для рациональных целых чисел. ^[17]
• Многочлен P ( x ) имеет только конечное число совершенных степеней для всех целых чисел x, если P имеет по крайней мере три простых нуля . ^[18]
• Обобщение теоремы Тейдемана относительно числа решений уравнения y ^m = x ⁿ + k (теорема Тейдемана отвечает на случай k = 1) и гипотезы Пиллаи (1931) относительно числа решений уравнения Ay ^m = Bx ⁿ + k .
• Эквивалентом является гипотеза Гранвиля–Ланжевена о том, что если f — бесквадратная бинарная форма степени n > 2, то для каждого действительного β > 2 существует константа C ( f , β ) такая, что для всех взаимно простых целых чисел x , y радикал f ( x , y ) превышает C · max{| x |, | y |} ^{n − β} . ^[19]
• все многочлены (x^n-1)/(x-1) имеют бесконечное множество значений, свободных от квадратов. ^[20]
• Как эквивалент, модифицированная гипотеза Шпиро , которая дала бы оценку rad( abc ) ^{1.2+ ε} . ^[1]
• Домбровски (1996) показал, что гипотеза abc подразумевает, что диофантово уравнение n ! + A = k ² имеет лишь конечное число решений для любого заданного целого числа A.
• Существует ~ c _f N положительных целых чисел n ≤ N, для которых f ( n )/B' является свободным от квадратов, причем c _f > 0 — положительная константа, определяемая как: ^[21]
  ${\displaystyle c_{f}=\prod _{{\text{prime }}p}x_{i}\left(1-{\frac {\omega \,\!_{f}(p)}{p^{2+q_{p}}}}\right).}$
• Гипотеза Била , обобщение Великой теоремы Ферма, предполагающее, что если A , B , C , x , y и z — положительные целые числа с A ^x + B ^y = C ^z и x , y , z > 2, то A , B и C имеют общий простой множитель. Гипотеза abc подразумевала бы, что существует лишь конечное число контрпримеров.
• Гипотеза Лэнга , нижняя граница высоты некрученой рациональной точки эллиптической кривой.
• Отрицательное решение проблемы Эрдёша–Улама на плотных множествах евклидовых точек с рациональными расстояниями. ^[22]
• Эффективная версия теоремы Зигеля о целых точках на алгебраических кривых . ^[23]

Теоретические результаты

Гипотеза abc подразумевает, что c может быть ограничена сверху почти линейной функцией радикала abc . Известны оценки, которые являются экспоненциальными . В частности, были доказаны следующие оценки:

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}}$(Стюарт и Тейдеман, 1986),

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}}$(Стюарт и Ю, 1991) и

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}}$(Стюарт и Ю, 2001).

В этих границах K ₁ и K ₃ являются константами , не зависящими от a , b или c , а K ₂ является константой, зависящей от ε ( эффективно вычислимым образом), но не от a , b или c . Границы применимы к любой тройке, для которой c > 2.

Существуют также теоретические результаты, которые дают нижнюю границу для наилучшей возможной формы гипотезы abc . В частности, Стюарт и Тиджеман (1986) показали, что существует бесконечно много троек ( a , b , c ) взаимно простых целых чисел с a + b = c и

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)\exp {\left(k{\sqrt {\log c}}/\log \log c\right)}}$

для всех k < 4. Константа k была улучшена до k = 6,068 Ван Франкенхейзеном (2000).

Результаты вычислений

В 2006 году математический факультет Лейденского университета в Нидерландах совместно с голландским научным институтом Kennislink запустил проект ABC@Home , систему сетевых вычислений , целью которой является обнаружение дополнительных троек a , b , c с rad( abc ) < c . Хотя никакой конечный набор примеров или контрпримеров не может разрешить гипотезу abc , есть надежда, что закономерности в тройках, обнаруженные в ходе этого проекта, приведут к пониманию гипотезы и теории чисел в целом.

По состоянию на май 2014 года ABC@Home обнаружила 23,8 миллиона троек. ^[25]

Примечание: качество q ( a , b , c ) тройки ( a , b , c ) определено выше.

Уточненные формы, обобщения и связанные с ними утверждения

Гипотеза abc является целочисленным аналогом теоремы Мейсона–Стозерса для многочленов.

Усиление, предложенное Бейкером (1998), утверждает, что в гипотезе abc можно заменить rad( abc ) на

ε ^{− ω} рад( abc ),

где ω — общее количество различных простых чисел, делящих a , b и c . ^[27]

Эндрю Грэнвилл заметил, что минимум функции над достигается, когда ${\displaystyle {\big (}\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\omega }{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.}$

Это вдохновило Бейкера (2004) предложить более точную форму гипотезы abc , а именно:

${\displaystyle c<\kappa \operatorname {rad} (abc){\frac {{\Big (}\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}{\Big )}^{\omega }}{\omega !}}}$

с κ — абсолютной константой. После некоторых вычислительных экспериментов он обнаружил, что значение было допустимым для κ . Эта версия называется «явной гипотезой abc ». ${\displaystyle 6/5}$

Бейкер (1998) также описывает родственные гипотезы Эндрю Грэнвилла , которые дали бы верхние границы для c в форме

${\displaystyle K^{\Omega (abc)}\operatorname {rad} (abc),}$

где Ω( n ) — общее количество простых множителей числа n , а

${\displaystyle O{\big (}\operatorname {rad} (abc)\Theta (abc){\big )},}$

где Θ( n ) — количество целых чисел до n, делящихся только на простые числа, делящие n .

Роберт, Стюарт и Тененбаум (2014) предложили более точное неравенство, основанное на Роберте и Тененбаум (2013). Пусть k = rad( abc ). Они предположили, что существует константа C ₁ такая, что

${\displaystyle c<k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{1}}{\log \log k}}\right)\right)}$

выполняется, тогда как существует константа C ₂ такая, что

${\displaystyle c>k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{2}}{\log \log k}}\right)\right)}$

выполняется бесконечно часто.

Браукин и Бжезинский (1994) сформулировали гипотезу n — версию гипотезы abc , включающую n > 2 целых чисел.

Заявленные доказательства

Люсьен Спиро предложил решение в 2007 году, но вскоре после этого оно было признано неверным. ^[28]

С августа 2012 года Шиничи Мочизуки заявил о доказательстве гипотезы Спиро и, следовательно, гипотезы abc . ^[5] Он выпустил серию из четырех препринтов, развивающих новую теорию, которую он назвал межуниверсальной теорией Тейхмюллера (IUTT), которая затем применяется для доказательства гипотезы abc . ^[29] Статьи не были широко приняты математическим сообществом как предоставляющие доказательство abc . ^[30] Это произошло не только из-за их длины и сложности их понимания, ^[31] но и потому, что по крайней мере один конкретный момент в аргументации был определен как пробел некоторыми другими экспертами. ^[32] Хотя несколько математиков поручились за правильность доказательства ^[33] и попытались донести свое понимание через семинары по IUTT, им не удалось убедить сообщество теории чисел в целом. ^{[34] [35]}

В марте 2018 года Питер Шольце и Якоб Стикс посетили Киото для дискуссий с Мочизуки. ^{[36] [37]} Хотя они не разрешили разногласия, они сделали их более ясными. Шольце и Стикс написали отчет, в котором утверждали и объясняли ошибку в логике доказательства и утверждали, что образовавшийся разрыв был «настолько серьезным, что ... небольшие изменения не спасут стратегию доказательства»; ^[32] Мочизуки утверждал, что они неправильно поняли важные аспекты теории и сделали недействительные упрощения. ^{[38] [39] [40]}

3 апреля 2020 года два математика из Киотского научно-исследовательского института , где работает Мочизуки, объявили, что его заявленное доказательство будет опубликовано в Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences , журнале института. Мочизуки является главным редактором журнала, но отказался от рецензирования статьи. ^[6] Это объявление было воспринято скептически Кираном Кедлайей и Эдвардом Френкелем , а также было описано журналом Nature как «маловероятное для многих исследователей, перешедших в лагерь Мочизуки». ^[6] В марте 2021 года доказательство Мочизуки было опубликовано в RIMS. ^[41]

Смотрите также

• Список нерешенных задач по математике

Примечания

1. Когда a + b = c , любой общий множитель двух значений обязательно разделяется третьим. Таким образом, взаимная простота a , b , c подразумевает попарную взаимную простоту a , b , c . Поэтому в этом случае неважно, какое понятие мы используем .

Ссылки

1. Oesterlé 1988.
2. Массер 1985.
3. Голдфельд 1996.
4. Фесенко, Иван (сентябрь 2015 г.). «Арифметическая теория деформаций через арифметические фундаментальные группы и неархимедовы тета-функции, заметки о работе Шиничи Мочизуки». European Journal of Mathematics . 1 (3): 405–440. doi : 10.1007/s40879-015-0066-0 .
5. Ball, Peter (10 сентября 2012 г.). «Доказательство глубокой связи между простыми числами». Nature . doi : 10.1038/nature.2012.11378 . Получено 19 марта 2018 г. .
6. Castelvecchi, Davide (9 апреля 2020 г.). «Математическое доказательство, которое потрясло теорию чисел, будет опубликовано». Nature . 580 (7802): 177. Bibcode :2020Natur.580..177C. doi :10.1038/d41586-020-00998-2. PMID  32246118. S2CID  214786566.
7. Дополнительный комментарий П. Шольце на сайте Not Even Wrong math.columbia.edu ^{[ самостоятельно опубликованный источник? ]}
8. Вальдшмидт 2015.
9. Бомбьери (1994), стр.  ^{[ нужна страница ]} .
10. Элки (1991).
11. Ван Франкенхейсен (2002).
12. Ланжевен (1993).
13. Сильверман (1988).
14. Нитадж (1996).
15. Грэнвилл, Эндрю; Такер, Томас (2002). «Это так просто, как abc» (PDF) . Уведомления AMS . 49 (10): 1224–1231.
16. Померанс (2008).
17. Грэнвилл и Старк (2000).
18. Гипотеза ABC, Фриц Бойкерс, ABC-DAY, Лейден, Утрехтский университет, 9 сентября 2005 г.
19. Моллин (2009); Моллин (2010, стр. 297)
20. Браукин (2000, стр. 10)
21. Грэнвилл (1998).
22. Пастен, Гектор (2017), «Определимость орбит Фробениуса и результат на рациональных множествах расстояний», Monatshefte für Mathematik , 182 (1): 99–126, doi : 10.1007/s00605-016-0973-2, MR  3592123, S2CID  7805117
23. arXiv :math/0408168 Андреа Суррока, Теорема Зигеля и гипотеза abc, Riv. Mat. Univ. Parma (7) 3, 2004, S. 323–332
24. "Synthese resultaten", RekenMeeMetABC.nl (на голландском), заархивировано из оригинала 22 декабря 2008 г. , извлечено 3 октября 2012 г..
25. "Данные, собранные sofar", ABC@Home , архивировано из оригинала 15 мая 2014 г. , извлечено 30 апреля 2014 г.
26. «100 непобедимых троек». Рекен Ми встретил ABC . 07.11.2010.
27. Бомбьери и Гублер (2006), с. 404.
28. "Теоремы конечности для динамических систем", Люсьен Спиро, доклад на конференции по L-функциям и автоморфным формам (по случаю 60-летия Дориана Голдфельда), Колумбийский университет, май 2007 г. См. Woit, Peter (26 мая 2007 г.), "Доказательство гипотезы abc?", Not Even Wrong.
29. Mochizuki, Shinichi (4 марта 2021 г.). «Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations». Публикации Научно-исследовательского института математических наук . 57 (1): 627–723. doi :10.4171/PRIMS/57-1-4. S2CID  3135393.
30. Калегари, Фрэнк (17 декабря 2017 г.). «Гипотеза ABC (все еще) не доказана» . Получено 17 марта 2018 г.
31. Ревелл, Тимоти (7 сентября 2017 г.). «Озадачивающее доказательство математики ABC теперь имеет непостижимое 300-страничное «резюме». New Scientist .
32. Шольце, Питер ; Стикс, Якоб . «Почему abc все еще является гипотезой» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 8 февраля 2020 г. Получено 23 сентября 2018 г.(обновленная версия их майского отчета, архив 2020-02-08 на Wayback Machine )
33. Фесенко, Иван (28 сентября 2016 г.). «Фукуген». Вывод . 2 (3) . Проверено 30 октября 2021 г.
34. Конрад, Брайан (15 декабря 2015 г.). «Заметки о семинаре Oxford IUT Брайана Конрада» . Получено 18 марта 2018 г.
35. Кастельвекки, Давиде (8 октября 2015 г.). «Самая большая загадка в математике: Шиничи Мочизуки и непроницаемое доказательство». Nature . 526 (7572): 178–181. Bibcode :2015Natur.526..178C. doi : 10.1038/526178a . PMID  26450038.
36. Кларрайх, Эрика (20 сентября 2018 г.). «Титаны математики сражаются за эпическое доказательство гипотезы ABC». Журнал Quanta .
37. "Обсуждения IUTeich за март 2018 г." . Получено 2 октября 2018 г.Веб-страница Мочизуки, описывающая обсуждения и дающая ссылки на последующие публикации и дополнительные материалы.
38. Мочизуки, Шиничи . «Отчет о дискуссиях, состоявшихся в период с 15 по 20 марта 2018 г. относительно межуниверсумной теории Тейхмюллера» (PDF) . Получено 1 февраля 2019 г. ... дискуссии ... представляют собой первые подробные, ... содержательные дискуссии, касающиеся отрицательных позиций ... IUTch.
39. Mochizuki, Shinichi (июль 2018 г.). «Комментарии к рукописи Шольце-Стикса относительно межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . S2CID  174791744 . Получено 2 октября 2018 г. .
40. Мочизуки, Шиничи . «Комментарии к рукописи (версия 2018-08) Шольце-Стикса относительно межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . Получено 2 октября 2018 г.
41. Мочизуки, Шиничи . «Доказательство Мочизуки гипотезы ABC» . Получено 13 июля 2021 г.

Источники

• Бейкер, Алан (1998). «Логарифмические формы и abc -гипотеза». В Дьёри, Кальман (ред.). Теория чисел. Диофантовы, вычислительные и алгебраические аспекты. Труды международной конференции, Эгер, Венгрия, 29 июля – 2 августа 1996 г. Берлин: de Gruyter. стр. 37–44. ISBN 3-11-015364-5. Збл  0973.11047.
• Бейкер, Алан (2004). «Опыты по abc-гипотезе». Публикации Mathematicae Дебрецен . 65 (3–4): 253–260. дои : 10.5486/PMD.2004.3348 . S2CID  253834357.
• Бомбьери, Энрико (1994). «Теорема Рота и abc-гипотеза» (Препринт). ETH Zürich.^{[ ненадежный источник? ]}
• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том 4. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-71229-3. Збл  1130.11034.
• Browkin, Jerzy ; Brzeziński, Juliusz (1994). "Некоторые замечания по поводу abc -гипотезы". Math. Comp . 62 (206): 931–939. Bibcode :1994MaCom..62..931B. doi :10.2307/2153551. JSTOR  2153551.
• Browkin, Jerzy (2000). " ABC -гипотеза". В Bambah, RP; Dumir, VC; Hans-Gill, RJ (ред.). Теория чисел . Тенденции в математике. Базель: Birkhäuser. стр. 75–106. ISBN 3-7643-6259-6.
• Домбровский, Анджей (1996). «О диофантовом уравнении x !+ A = y2 ^» . Новый архив Вискунде, IV . 14 : 321–324. Збл  0876.11015.
• Elkies, ND (1991). «ABC подразумевает Морделла». International Mathematics Research Notices . 1991 (7): 99–109. doi : 10.1155/S1073792891000144 .
• Фрей, Герхард (1997). «О тернарных уравнениях типа Ферма и их связи с эллиптическими кривыми». Модулярные формы и Великая теорема Ферма . Нью-Йорк: Springer. С. 527–548. ISBN 0-387-94609-8.
• Голдфельд, Дориан (1996). «За пределами последней теоремы». Math Horizons . 4 (сентябрь): 26–34. doi :10.1080/10724117.1996.11974985. JSTOR  25678079.
• Goldfeld, Dorian (2002). «Modular forms, elliptic curves and the abc-conjecture». В Wüstholz, Gisbert (ed.). A panorama in number theory or The view from Baker's garden. Основано на конференции в честь 60-летия Алана Бейкера, Цюрих, Швейцария, 1999. Кембридж: Cambridge University Press . стр. 128–147. ISBN 0-521-80799-9. Збл  1046.11035.
• Gowers, Timothy ; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ред. (2008). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton: Princeton University Press. стр. 361–362, 681. ISBN 978-0-691-11880-2.
• Granville, A. (1998). «ABC позволяет нам подсчитывать квадратные элементы» (PDF) . Международные уведомления по математическим исследованиям . 1998 (19): 991–1009. doi : 10.1155/S1073792898000592 .
• Грэнвилл, Эндрю ; Старк, Х. (2000). «ABC не подразумевает «нулей Зигеля» для L-функций символов с отрицательной экспонентой» (PDF) . Inventiones Mathematicae . 139 (3): 509–523. Bibcode :2000InMat.139..509G. doi :10.1007/s002229900036. S2CID  6901166.
• Грэнвилл, Эндрю ; Такер, Томас (2002). «Это так просто, как abc» (PDF) . Уведомления AMS . 49 (10): 1224–1231. CiteSeerX  10.1.1.146.610 .
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 0-387-20860-7.
• Ландо, Сергей К.; Звонкин, Александр К. (2004). "Графы на поверхностях и их приложения". Энциклопедия математических наук: топология нижней размерности II . Т. 141. Springer-Verlag. ISBN 3-540-00203-0.
• Ланжевен, М. (1993). «Cas d'égalité pour le theorème de Mason etapplications de la abgrowth abc ». Comptes rendus de l'Académie des Sciences (на французском языке). 317 (5): 441–444.
• Masser, DW (1985). «Открытые проблемы». В Chen, WWL (ред.). Труды симпозиума по аналитической теории чисел . Лондон: Имперский колледж.
• Mollin, RA (2009). "Заметка о гипотезе ABC" (PDF) . Far East Journal of Mathematical Sciences . 33 (3): 267–275. ISSN  0972-0871. Zbl  1241.11034. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 . Получено 2013-06-14 .
• Mollin, Richard A. (2010). Расширенная теория чисел с приложениями . Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4200-8328-6. Збл  1200.11002.
• Нитадж, Абдеррахман (1996). «Гипотеза abc ». Энсен. Математика. (на французском языке). 42 (1–2): 3–24.
• Остерле, Жозеф (1988), «Новые подходы к «теореме» Ферма», Asterisque , Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN  0303-1179, MR  0992208
• Померанс, Карл (2008). «Вычислительная теория чисел». The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. С. 361–362.
• Сильверман, Джозеф Х. (1988). «Критерий Вифериха и abc-гипотеза». Журнал теории чисел . 30 (2): 226–237. doi : 10.1016/0022-314X(88)90019-4 . Zbl  0654.10019.
• Роберт, Оливье; Стюарт, Кэмерон Л.; Тененбаум , Джеральд (2014). «Уточнение гипотезы abc» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 46 (6): 1156–1166. doi :10.1112/blms/bdu069. S2CID  123460044.
• Роберт, Оливье; Тененбаум, Жеральд (ноябрь 2013 г.). «Sur la répartition du noyau d'un entier» [О распределении ядра целого числа]. Indagationes Mathematicae (на французском языке). 24 (4): 802–914. дои : 10.1016/j.indag.2013.07.007 .
• Стюарт, CL ; Тайдеман, Р. (1986). «О гипотезе Эстерле-Массера». Монашефте по математике . 102 (3): 251–257. дои : 10.1007/BF01294603. S2CID  123621917.
• Стюарт, CL ; Ю, Кунруи (1991). «О гипотезе abc ». Математические Аннален . 291 (1): 225–230. дои : 10.1007/BF01445201. S2CID  123894587.
• Стюарт, CL ; Ю, Кунруй (2001). «О гипотезе abc , II». Duke Mathematical Journal . 108 (1): 169–181. doi :10.1215/S0012-7094-01-10815-6.
• van Frankenhuysen, Machiel (2000). «Нижняя граница в гипотезе abc». J. Number Theory . 82 (1): 91–95. doi : 10.1006/jnth.1999.2484 . MR  1755155.
• Van Frankenhuijsen, Machiel (2002). «ABC-гипотеза подразумевает неравенство высоты Войты для кривых». J. Number Theory . 95 (2): 289–302. doi : 10.1006/jnth.2001.2769 . MR  1924103.
• Вальдшмидт, Мишель (2015). «Лекция о гипотезе abc и некоторых ее следствиях» (PDF) . Математика в 21 веке . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Том 98. С. 211–230. doi :10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN 978-3-0348-0858-3.

Внешние ссылки

• ABC@home Проект распределенных вычислений под названием ABC@Home .
• Просто как дважды два: просто и понятно, подробные объяснения Брайана Хейса.
• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза abc". MathWorld .
• Домашняя страница гипотезы ABC Абдеррахмана Нитажа
• Веб-страница ABC Triples Барта де Смита
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
• Азбука теории чисел Ноама Д. Элкиса
• Вопросы о цифрах Барри Мазура
• Философия работы Мочизуки над гипотезой ABC на MathOverflow
• Вики-страница проекта ABC Conjecture Polymath, ссылающаяся на различные источники комментариев к работам Мотидзуки.
• abc Гипотеза Номерфил видео
• Новости о IUT от Mochizuki