Гипотрохоидный

Кривая, образованная точкой вне окружности, катящейся внутри другой окружности

Красная кривая — это гипотрохоида, нарисованная при вращении меньшего черного круга внутри большего синего круга (параметры: R = 5, r = 3, d = 5 ).

В геометрии гипотрохоидой называется рулетка , описываемая точкой, прикрепленной к окружности радиуса r, катящейся внутри фиксированной окружности радиуса R , где точка находится на расстоянии d от центра внутренней окружности.

Параметрические уравнения для гипотрохоиды следующие: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)\\&y(\theta )=(R-r)\sin \theta +d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)\end{aligned}}}$

где θ — угол, образованный горизонталью и центром катящейся окружности (это не полярные уравнения, поскольку θ — не полярный угол). При измерении в радианах θ принимает значения от 0 до (где НОК — наименьшее общее кратное ). ${\displaystyle 2\pi \times {\tfrac {\operatorname {LCM} (r,R)}{R}}}$

Особые случаи включают гипоциклоиду с d = r и эллипс с R = 2 r и d ≠ r . ^[2] Эксцентриситет эллипса равен

${\displaystyle e={\frac {2{\sqrt {d/r}}}{1+(d/r)}}}$

становится 1, когда (см. пару Туси ). ${\displaystyle d=r}$

Эллипс (нарисованный красным) можно представить как частный случай гипотрохоиды с R = 2r ( пара Туси ) ; здесь R = 10, r = 5, d = 1 .

Классический спирограф чертит гипотрохоидные и эпитрохоидные кривые.

Гипотрохоиды описывают поддержку собственных значений некоторых случайных матриц с циклическими корреляциями. ^[3]

Смотрите также

• Циклоида
• Циклогон
• Эпициклоида
• Розетта (орбита)
• Апсидальная прецессия
• Спирограф

Ссылки

1. J. Dennis Lawrence (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. стр. 165–168. ISBN 0-486-60288-5.
2. Грей, Альфред (29 декабря 1997 г.). Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica (второе изд.). CRC Press. стр. 906. ISBN 9780849371646.
3. Асейтуно, Пау Вилимелис; Роджерс, Тим; Шомерус, Хеннинг (2019-07-16). "Универсальный гипотрохоидальный закон для случайных матриц с циклическими корреляциями". Physical Review E. 100 ( 1): 010302. arXiv : 1812.07055 . Bibcode : 2019PhRvE.100a0302A. doi : 10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID  31499759. S2CID  119325369.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотрохоид». Математический мир .
• Флэш-анимация гипоциклоиды
• Гипотрохоид из «Визуального словаря специальных плоских кривых», Xah Lee
• Интерактивная анимация гипотрохоидеи
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Гипотрохоид», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс