Гипотрохоид

Кривая, очерченная точкой вне круга, катящейся внутри другого круга

Красная кривая представляет собой гипотрохоиду, нарисованную, когда меньший черный круг вращается внутри большего синего круга (параметры: R = 5, r = 3, d = 5 ).

В геометрии гипотрохоид — это рулетка , очерченная точкой, прикрепленной к кругу радиуса r , катящемуся по внутренней части фиксированного круга радиуса R , где точка находится на расстоянии d от центра внутреннего круга.

Параметрические уравнения гипотрохоиды: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)\\&y(\theta )=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)\end{aligned}}}$

где θ — угол, образованный горизонталью и центром катящегося круга (это не полярные уравнения, поскольку θ не является полярным углом). При измерении в радианах θ принимает значения от 0 до (где LCM — наименьшее общее кратное ). ${\displaystyle 2\pi \times {\tfrac {\operatorname {LCM} (r,R)}{R}}}$

Особые случаи включают гипоциклоиду с d = r и эллипс с R = 2 r и d ≠ r . ^[2] Эксцентриситет эллипса равен

${\displaystyle e={\frac {2{\sqrt {d/r}}}{1+(d/r)}}}$

становится 1, когда (см. пару Туси ). ${\displaystyle d=r}$

Эллипс ( нарисованный красным) может быть выражен как частный случай гипотрохоида с R = 2 r ( пара Туси ); здесь R = 10, r = 5, d = 1 .

Классическая игрушка Спирограф отслеживает кривые гипотрохоиды и эпитрохоиды .

Гипотрохоиды описывают поддержку собственных значений некоторых случайных матриц с циклическими корреляциями. ^[3]

Смотрите также

• циклоида
• Циклогон
• Эпициклоида
• Розетта (орбита)
• Апсидальная прецессия
• Спирограф

Рекомендации

1. Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. стр. 165–168. ISBN 0-486-60288-5.
2. Грей, Альфред (29 декабря 1997 г.). Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica (второе изд.). ЦРК Пресс. п. 906. ИСБН 9780849371646.
3. Асейтуно, Пау Вилимелис; Роджерс, Тим; Шомерус, Хеннинг (16 июля 2019 г.). «Универсальный гипотрохоидный закон для случайных матриц с циклическими корреляциями». Физический обзор E . 100 (1): 010302. arXiv : 1812.07055 . Бибкод : 2019PhRvE.100a0302A. doi : 10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID  31499759. S2CID  119325369.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотрохоид». Математический мир .
• Флеш-анимация гипоциклоиды
• Гипотрохоид из Визуального словаря специальных плоских кривых, Кса Ли
• Интерактивная гипотрохоидная анимация
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Гипотрохоид», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс