Гипоциклоида

Кривая, образованная точкой окружности, катящейся внутри другой окружности

Красный путь — это гипоциклоида, полученная при вращении меньшего черного круга внутри большего черного круга (параметры: R=4,0, r=1,0, и, следовательно, k=4, что дает астроиду ) .

В геометрии гипоциклоида — это специальная плоская кривая, образованная следом фиксированной точки на малой окружности , которая катится внутри большей окружности. По мере увеличения радиуса большей окружности гипоциклоида становится более похожей на циклоиду, образованную качением окружности по прямой.

История

Двузубчатая гипоциклоида, называемая парой Туси, была впервые описана персидским астрономом и математиком XIII века Насиром ад-Дином ат-Туси в «Тахрир аль-Маджисти» («Комментарии к Альмагесту») . ^{[1] [2]} Немецкий художник и немецкий теоретик эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер описал эпитрохоиды в 1525 году, а позднее Ремер и Бернулли сосредоточились на некоторых конкретных гипоциклоидах, таких как астроида, в 1674 и 1691 годах соответственно. ^[3]

Характеристики

Если меньший круг имеет радиус r , а больший круг имеет радиус R = kr , то параметрические уравнения для кривой можно задать либо: либо: $${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left((k-1)\theta \right)\end{aligned}}}$$

Если k — целое число, то кривая замкнута и имеет k точек возврата (т. е. острых углов, где кривая не дифференцируема ). Специально для k = 2 кривая представляет собой прямую линию, а окружности называются парой Туси. Насир ад-Дин ат-Туси был первым, кто описал эти гипоциклоиды и их применение в высокоскоростной печати . ^{​​[4] [5]}

Если k — рациональное число , скажем, k = p / q, выраженное простейшими словами, то кривая имеет p точек возврата.

Если k — иррациональное число , то кривая никогда не замыкается и заполняет пространство между большим кругом и кругом радиусом R − 2 r .

Каждая гипоциклоида (для любого значения r ) является брахистохроной для гравитационного потенциала внутри однородной сферы радиуса R . ^[6]

Площадь, ограниченная гипоциклоидой, определяется по формуле: ^{[3] [7]}

$${\displaystyle A={\frac {(k-1)(k-2)}{k^{2}}}\pi R^{2}=(k-1)(k-2)\pi r^{2}}$$

Длина дуги гипоциклоиды определяется по формуле: ^[7]

$${\displaystyle s={\frac {8(k-1)}{k}}R=8(k-1)r}$$

Примеры

• Примеры гипоциклоиды
• 
  k=3 → дельтовидная мышца
• 
  k=4 → астроида
• 
  k=5 → пентоид
• 
  k=6 → экзоид
• 
  к=2,1 = 21/10
• 
  к=3,8 = 19/5
• 
  к=5,5 = 11/2
• 
  к=7,2 = 36/5

Гипоциклоида — это особый вид гипотрохоиды , которая представляет собой особый вид рулетки .

Гипоциклоида с тремя выступами называется дельтовидной .

Гипоциклоидальная кривая с четырьмя вершинами называется астроидой .

Гипоциклоида с двумя «заострениями» — это вырожденный, но все еще очень интересный случай, известный как пара Туси .

Связь с теорией групп

Гипоциклоиды «катятся» друг в друге. Выступы каждой из меньших кривых поддерживают непрерывный контакт со следующей по размеру гипоциклоидой.

Любая гипоциклоида с целым значением k и, следовательно, k куспидами может плотно перемещаться внутри другой гипоциклоиды с k +1 куспидами, так что точки меньшей гипоциклоиды всегда будут соприкасаться с большей. Это движение выглядит как «качение», хотя технически это не качение в смысле классической механики, поскольку оно включает в себя проскальзывание.

Гипоциклоидные формы могут быть связаны со специальными унитарными группами , обозначаемыми SU( k ), которые состоят из k × k унитарных матриц с определителем 1. Например, допустимые значения суммы диагональных элементов для матрицы в SU(3) — это в точности точки в комплексной плоскости, лежащие внутри гипоциклоиды с тремя каспами (дельтоида). Аналогично, суммирование диагональных элементов матриц SU(4) дает точки внутри астроиды и т. д.

Благодаря этому результату можно использовать тот факт, что SU( k ) вписывается в SU( k+1 ) как подгруппа , чтобы доказать, что эпициклоида с k остриями плотно движется внутри эпициклоиды с k +1 остриями. ^{[8] [9]}

Производные кривые

Эволюта гипоциклоиды представляет собой увеличенную версию самой гипоциклоиды, тогда как инволюта гипоциклоиды представляет собой уменьшенную копию самой себя. ^[10]

Педаль гипоциклоиды с полюсом в центре гипоциклоиды представляет собой розовую кривую .

Изоптика гипоциклоиды — гипоциклоида .

Гипоциклоиды в популярной культуре

Логотип Steelmark с тремя гипоциклоидами

Кривые, похожие на гипоциклоиды, можно рисовать с помощью игрушки Спирограф . В частности, Спирограф может рисовать гипотрохоиды и эпитрохоиды .

Логотип Pittsburgh Steelers , основанный на Steelmark , включает три астроиды (гипоциклоиды с четырьмя куспидами ). В своей еженедельной колонке NFL.com «Tuesday Morning Quarterback» Грегг Истербрук часто называет Steelers «Гипоциклоидами». Чилийская футбольная команда CD Huachipato создала свой герб на основе логотипа Steelers, и поэтому имеет гипоциклоиды.

В первом сезоне Дрю Кэри «Цена верна » есть астроиды на трех главных дверях, гигантский ценник и зона проигрывателя. Астроиды на дверях и проигрывателе были удалены, когда шоу перешло на вещание в высоком разрешении в 2008 году, и только гигантский ценник до сих пор их показывает. ^[11]

Смотрите также

• Рулетка (кривая)
• Особые случаи: пара Туси , Астроид , Дельтовидная
• Список периодических функций
• Циклогон
• Эпициклоида
• Гипотрохоидный
• Эпитрохоид
• Спирограф
• Флаг Портленда, штат Орегон , с изображением гипоциклоиды ^[12]
• Гипоциклоидальный двигатель Мюррея , использующий пару Туси в качестве замены кривошипа

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Tusi Couple". mathworld.wolfram.com . Получено 27.02.2023 .
2. Блейк, Стивен П. (2016-04-08). Астрономия и астрология в исламском мире. Издательство Эдинбургского университета. ISBN 978-0-7486-4911-2.
3. "Площадь, ограниченная общей гипоциклоидой" (PDF) . Выражения геометрии . Получено 12 января 2019 г. .
4. White, G. (1988), "Epicyclic gears applied to early steam machines", Mechanism and Machine Theory , 23 (1): 25–37, doi :10.1016/0094-114X(88)90006-7, Ранний опыт показал, что гипоциклоидальный механизм конструктивно не подходит для передачи больших сил, развиваемых поршнем парового двигателя. Но механизм показал свою способность преобразовывать линейное движение во вращательное и поэтому нашел альтернативные применения с низкой нагрузкой, такие как привод для печатных машин и швейных машин.
5. Шир, Збинек; Бастл, Богумир; Лавичка, Мирослав (2010), «Интерполяция Эрмита гипоциклоидами и эпициклоидами с рациональными смещениями», Computer Aided Geometric Design , 27 (5): 405–417, doi :10.1016/j.cagd.2010.02.001, Дж. Кардано был первым, кто описал применение гипоциклоид в технологии высокоскоростной печатной машины (1570).
6. Рана, Нараян Чандра; Джоаг, Прамод Шарадчандра (2001), «7.5 Бархистохроны и таутохроны внутри гравитирующей однородной сферы», Классическая механика , Тата Макгроу-Хилл, стр. 230–2, ISBN 0-07-460315-9
7. "Гипоциклоида". Wolfram Mathworld . Получено 16 января 2019 г. .
8. Баез, Джон. «Дельтоид, катящийся внутри астроиды». Блоги AMS . Американское математическое общество . Получено 22 декабря 2013 г.
9. Баез, Джон (3 декабря 2013 г.). "Rolling hypocycloids". Блог Azimuth . Получено 22 декабря 2013 г.
10. Вайсштейн, Эрик В. «Гипоциклоидная эволюция». Математический мир . Вольфрам Исследования.
11. Келлер, Джоэл (21 августа 2007 г.). «Взгляд на «Цену Дрю Кэри»». TV Squad . Архивировано из оригинала 27 мая 2010 г.
12. Тромболд, Джон; Донахью, Питер, ред. (2006), Читая Портленд: Город в прозе , Издательство Орегонского исторического общества, стр. xvi, ISBN 9780295986777В центре флага находится звезда — технически гипоциклоида — которая символизирует город у слияния двух рек.

Дальнейшее чтение

• J. Dennis Lawrence (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. стр. 168, 171–173. ISBN 0-486-60288-5.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипоциклоида». Математический мир .
• «Гипоциклоида», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Гипоциклоида», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• Бесплатный инструмент Javascript для создания гипоцилоидных кривых
• Анимация эпициклоид, перициклоид и гипоциклоид
• Участок Гипциклоида — GeoFun
• Снайдер, Джон. "Сфера с туннельной брахистохроной". Проект демонстраций Вольфрама .Итерационная демонстрация, демонстрирующая свойство брахистохроны гипоциклоиды