Гировекторное пространство

Математическое пространство, используемое для изучения гиперболической геометрии

Гировекторное пространство — это математическая концепция, предложенная Авраамом А. Унгаром для изучения гиперболической геометрии по аналогии с тем, как векторные пространства используются в евклидовой геометрии . ^[1] Унгар ввел концепцию гировекторов, которые имеют сложение, основанное на гироскопах, вместо векторов, которые имеют сложение, основанное на группах . Унгар разработал свою концепцию как инструмент для формулировки специальной теории относительности в качестве альтернативы использованию преобразований Лоренца для представления композиций скоростей (также называемых усилениями — «усиления» являются аспектами относительных скоростей и не должны путаться с « трансляциями »). Это достигается путем введения «гироскопических операторов»; два трехмерных вектора скорости используются для построения оператора, который действует на другую трехмерную скорость.

Имя

Гирогруппы — это слабо ассоциативные группоподобные структуры. Унгар предложил термин «гирогруппа» для того, что он назвал гирокоммутативной гирогруппой, при этом термин «гирогруппа» был зарезервирован для негирокоммутативного случая по аналогии с группами и абелевыми группами . Гирогруппы — это тип цикла Бола . Гирокоммутативные гирогруппы эквивалентны циклам К ^[2], хотя определяются по-разному. Термины цикл Брука ^[3] и диадический симсет ^[4] также используются.

Математика гировекторных пространств

Гирогруппы

Аксиомы

Гирогруппа ( G , ) состоит из базового множества G и бинарной операции, удовлетворяющей следующим аксиомам: ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

1. В G имеется по крайней мере один элемент 0, называемый левой единицей, при этом 0 a = a для всех a из G. ${\displaystyle \oplus }$
2. Для каждого элемента a в G существует элемент a в G, называемый левым обратным к a, при этом ( a ) a = 0. ${\displaystyle \ominus }$ ${\displaystyle \ominus }$ ${\displaystyle \oplus }$
3. Для любых a , b , c в G существует единственный элемент gyr[ a , b ] c в G, такой что бинарная операция подчиняется левому гироассоциативному закону: a ( b c ) = ( a b ) gyr[ a , b ] c ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$
4. Отображение gyr[ a , b ]: G → G, заданное формулой c ↦ gyr[ a , b ] c, является автоморфизмом магмы ( G , ) – то есть gyr[ a , b ] является членом Aut( G , ), а автоморфизм gyr[ a , b ] группы G называется гироавтоморфизмом группы G, порожденным a ,  b в G. Операция gyr: G  ×  G  → Aut( G ,  ) называется гиратором группы G. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$
5. Гироавтоморфизм gyr[ a , b ] имеет свойство левой петли gyr[ a , b ] = gyr[ a b , b ] ${\displaystyle \oplus }$

Первая пара аксиом подобна групповым аксиомам. Последняя пара представляет аксиомы гиратора, а средняя аксиома связывает две пары.

Поскольку гирогруппа имеет обратные элементы и тождество, она может быть квалифицирована как квазигруппа и петля .

Гирогруппы являются обобщением групп . Каждая группа является примером гирогруппы с gyr[ a , b ] , определенной как тождественное отображение для всех a и b в G.

Пример конечной гирогруппы приведен в ^[5] .

Идентичности

Вот некоторые тождества, которые выполняются в любой гирогруппе ( G , ): ${\displaystyle \oplus }$

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}$(вращение)
2. ${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }$(левая ассоциативность)
3. ${\displaystyle (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]\mathbf {w} )}$(правая ассоциативность)

Кроме того, можно доказать закон инверсии гирации, который является мотивацией для определения гирокоммутативности ниже:

1. ${\displaystyle \ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\ominus \mathbf {v} \ominus \mathbf {u} )}$(закон инверсии гирации)

Некоторые дополнительные теоремы, которым удовлетворяет группа гирации любой гирогруппы, включают:

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {0} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=I}$(изменения идентичности)
2. ${\displaystyle \mathrm {gyr} ^{-1}[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]}$(закон инверсии гироавтоморфизма)
3. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\ominus \mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}$(свойство равномерного вращения)
4. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ]}$(свойство правого цикла)
5. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,\mathbf {v} ]}$(свойство левого цикла)

Больше тождеств приведено на странице 50 ^[6] . Одним из особенно полезных следствий приведенных выше тождеств является то, что гирогруппы удовлетворяют левому свойству Бола

1. ${\displaystyle (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ))\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} ))}$

Гирокоммутативность

Гирогруппа (G, ) является гирокоммутативной , если ее бинарная операция подчиняется гирокоммутативному закону: a b = gyr[ a , b ]( b a ). Для релятивистского сложения скоростей эта формула, показывающая роль вращения, связывающего a  +  b и b  +  a, была опубликована в 1914 году Людвиком Зильберштейном . ^{[7] [8]} ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

Коприсоединение

В каждой гирогруппе можно определить вторую операцию, называемую косложением : a b = a gyr[ a , b ] b для всех a , b  ∈  G. Косложение коммутативно, если сложение гирогруппы гирокоммутативно. ${\displaystyle \boxplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \ominus }$

Модель диска/шара Бельтрами–Клейна и дополнение Эйнштейна

Релятивистские скорости можно рассматривать как точки в модели Бельтрами–Клейна гиперболической геометрии, и поэтому сложение векторов в модели Бельтрами–Клейна можно задать с помощью формулы сложения скоростей . Для того чтобы формула обобщалась на сложение векторов в гиперболическом пространстве размерностей больше 3, формула должна быть записана в форме, которая избегает использования перекрестного произведения в пользу скалярного произведения .

В общем случае сложение скоростей Эйнштейна двух скоростей задается в координатно-независимой форме как: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right\}}$

где — гамма-фактор, определяемый уравнением . ${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }}$ ${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Используя координаты, это становится:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})\right]{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}}$

где . ${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Сложение скоростей Эйнштейна коммутативно и ассоциативно только тогда, когда и параллельны . Фактически ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

и

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }$

где «gyr» — это математическая абстракция прецессии Томаса в оператор, называемый гирацией Томаса и заданный как

${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}$

для всех w . Прецессия Томаса имеет интерпретацию в гиперболической геометрии как отрицательный дефект гиперболического треугольника .

Состав преобразования Лоренца

Если матричная форма вращения 3 × 3, примененная к 3-координатам, задается как gyr[ u , v ], то матричное вращение 4 × 4, примененное к 4-координатам, задается как:

${\displaystyle \mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}}$. ^[9]

Композиция двух Лоренцевых усилений B( u ) и B( v ) скоростей u и v определяется по формуле: ^{[9] [10]}

${\displaystyle B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]B(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

Тот факт, что можно использовать либо B( u v ), либо B( v u ) в зависимости от того, записываете ли вы вращение до или после, объясняет парадокс композиции скоростей . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

Композиция двух преобразований Лоренца L( u ,U) и L( v ,V), включающая вращения U и V, задается формулой: ^[11]

${\displaystyle L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {v} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)}$

В приведенном выше примере усиление можно представить в виде матрицы 4 × 4. Матрица усиления B( v ) означает усиление B, которое использует компоненты v , то есть v ₁ , v ₂ , v ₃ в записях матрицы, или, скорее, компоненты v / c в представлении, которое используется в разделе Преобразование Лоренца#Формы матриц . Записи матрицы зависят от компонентов 3-скорости v , и именно это означает обозначение B( v ). Можно утверждать, что записи зависят от компонентов 4-скорости, потому что 3 из записей 4-скорости совпадают с записями 3-скорости, но полезность параметризации усиления 3-скоростью заключается в том, что результирующее усиление, которое вы получаете из композиции двух усилений, использует компоненты композиции 3-скорости u v в матрице 4 × 4 B( u v ). Но полученный буст также необходимо умножить на матрицу поворота, поскольку композиция буста (т. е. умножение двух матриц 4 × 4) приводит не к чистому бусту, а к бусту и повороту, т. е. к матрице 4 × 4, которая соответствует повороту Gyr[ u , v ], чтобы получить B( u )B( v ) = B( u v )Gyr[ u , v ] = Gyr[ u , v ]B( v u ). ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

Гировекторные пространства Эйнштейна

Пусть s — любая положительная константа, пусть (V,+,.) — любое действительное пространство скалярного произведения и пусть V _s = { v  ∈ V :| v |<s}. Гировекторное пространство Эйнштейна ( V _s ,  ,  ) — это гирогруппа Эйнштейна ( V _s ,  ) со скалярным умножением, заданным формулой r v  =  s  tanh( r  tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v |, где r — любое действительное число, v  ∈  V _s , v  ≠  0 и r 0  =  0 с обозначением v r  =  r v . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$   ${\displaystyle \otimes }$   ${\displaystyle \otimes }$ 

_{Скалярное умножение Эйнштейна не распространяется относительно сложения Эйнштейна , за исключением случая} , когда гировекторы коллинеарны (монодистрибутивность), но оно обладает другими свойствами векторных пространств: для любого положительного целого числа n и для всех действительных чисел r , r1 , r2 и v  ∈  Vs _:

Модель диска/шара Пуанкаре и сложение Мёбиуса

Преобразование Мёбиуса открытого единичного круга в комплексной плоскости задается полярным разложением

${\displaystyle z\to {e^{i\theta }}{\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}}$^{[ требуется ссылка ] [ требуется пояснение ]} что можно записать как что определяет сложение Мёбиуса . ${\displaystyle e^{i\theta }{(a\oplus _{M}{z})}}$ ${\displaystyle {a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}}$

Для обобщения этого на более высокие измерения комплексные числа рассматриваются как векторы на плоскости , а сложение Мёбиуса переписывается в векторной форме следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {\mathrm {R} } ^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {(1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {v} |^{2})\mathbf {u} +(1-{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {u} |^{2})\mathbf {v} }{1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {u} |^{2}|\mathbf {v} |^{2}}}}$

Это дает векторное сложение точек в модели шара Пуанкаре гиперболической геометрии, где радиус s=1 для комплексного единичного круга теперь становится любым s>0.

Гировекторные пространства Мёбиуса

Пусть s — любая положительная константа, пусть (V,+,.) — любое действительное пространство скалярного произведения и пусть V _s = { v  ∈ V :| v |<s}. Гировекторное пространство Мёбиуса ( V _s ,  ,  ) — это гирогруппа Мёбиуса ( V _s ,  ) со скалярным умножением, заданным формулой r v  =  s  tanh( r  tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v |, где r — любое действительное число, v  ∈  V _s , v  ≠  0 и r 0  =  0 с обозначением v r  =  r v . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \oplus }$  ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$   ${\displaystyle \otimes }$   ${\displaystyle \otimes }$ 

Скалярное умножение Мёбиуса совпадает со скалярным умножением Эйнштейна (см. раздел выше), и это вытекает из совпадения сложения Мёбиуса и сложения Эйнштейна для векторов, которые параллельны.

Правильная модель пространства скоростей и правильное сложение скоростей

Правильная модель пространства скоростей гиперболической геометрии задается правильными скоростями с векторным сложением, заданным формулой правильного сложения скоростей: ^{[6] [12] [13]}

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{U}\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {v} +\left\{{\frac {\beta _{\mathbf {u} }}{1+\beta _{\mathbf {u} }}}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {1-\beta _{\mathbf {v} }}{\beta _{\mathbf {v} }}}\right\}\mathbf {u} }$

где бета-фактор определяется выражением . ${\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }}$ ${\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {|\mathbf {w} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Эта формула дает модель, которая использует целое пространство по сравнению с другими моделями гиперболической геометрии, которые используют диски или полуплоскости.

Собственное пространство гировекторов скоростей — это действительное пространство скалярного произведения V с собственным сложением гировекторов скоростей и скалярным умножением, определяемым как r v  =  s  sinh( r  sinh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v |, где r — любое действительное число, v  ∈  V , v  ≠  0 и r 0  =  0 с обозначением v r  =  r v . ${\displaystyle \oplus _{U}}$  ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$   ${\displaystyle \otimes }$   ${\displaystyle \otimes }$ 

Изоморфизмы

Изоморфизм гировекторного пространства сохраняет сложение гирогрупп, скалярное умножение и скалярное произведение.

Три гировекторных пространства Мёбиуса, Эйнштейна и собственной скорости изоморфны.

Если M, E и U являются гировекторными пространствами Мёбиуса, Эйнштейна и собственной скорости соответственно с элементами v _m , v _e и v _{u ,} то изоморфизмы задаются следующим образом:

Из этой таблицы связь между и определяется уравнениями: ${\displaystyle \oplus _{E}}$ ${\displaystyle \oplus _{M}}$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} =2\otimes \left({{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {u} \oplus _{M}{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {v} }\right)}$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\otimes \left({2\otimes \mathbf {u} \oplus _{E}2\otimes \mathbf {v} }\right)}$

Это связано со связью преобразований Мёбиуса и преобразований Лоренца .

Гиротригонометрия

Гиротригонометрия — это использование гироскопических понятий для изучения гиперболических треугольников .

Гиперболическая тригонометрия, как обычно изучают, использует гиперболические функции cosh, sinh и т. д., и это контрастирует со сферической тригонометрией , которая использует евклидовы тригонометрические функции cos, sin, но с тождествами сферического треугольника вместо обычных тождеств плоского треугольника . Гиротригонометрия использует подход, заключающийся в использовании обычных тригонометрических функций, но в сочетании с тождествами гиротреугольника.

Треугольные центры

Изучение центров треугольников традиционно связано с евклидовой геометрией, но центры треугольников можно изучать и в гиперболической геометрии. Используя гиротригонометрию, можно вычислить выражения для тригонометрических барицентрических координат, которые имеют одинаковую форму как для евклидовой, так и для гиперболической геометрии. Для того чтобы выражения совпадали, они не должны включать в себя спецификацию суммы углов, равную 180 градусам. ^{[14] [15] [16]}

Сложение гиропараллелограмма

Используя гиротригонометрию, можно найти сложение гировекторов, которое действует по закону гиропараллелограмма. Это косложение к операции гирогруппы. Сложение гиропараллелограмма коммутативно.

Закон гиропараллелограмма похож на закон параллелограмма тем, что гиропараллелограмм — это гиперболический четырехугольник, две гиродиагонали которого пересекаются в своих гиромедиальных точках, точно так же, как параллелограмм — это евклидов четырехугольник, две диагонали которого пересекаются в своих серединах. ^[17]

Векторы Блоха

Векторы Блоха, принадлежащие открытому единичному шару евклидова 3-мерного пространства, можно изучать с помощью сложения Эйнштейна ^{[18] или сложения Мёбиуса [6]} .

Обзоры книг

В обзоре одной из ранних книг по гировекторам ^[19] говорится следующее:

«На протяжении многих лет было предпринято несколько попыток популяризации неевклидова стиля для использования в решении задач в теории относительности и электродинамике, но неудача этих попыток в привлечении сколько-нибудь существенных последователей, усугубленная отсутствием каких-либо положительных результатов, должна заставить задуматься любого, кто рассматривает возможность подобного начинания. До недавнего времени никто не был в состоянии предложить улучшение инструментов, доступных с 1912 года. В своей новой книге Унгар представляет важнейший недостающий элемент из арсенала неевклидова стиля: элегантный неассоциативный алгебраический формализм, который полностью использует структуру закона сложения скоростей Эйнштейна». ^[20]

Примечания и ссылки

1. Авраам А. Унгар (2005), «Аналитическая гиперболическая геометрия: математические основы и приложения», опубликовано World Scientific, ISBN  981-256-457-8 , ISBN 978-981-256-457-3 
2. Хуберт Кихле (2002), «Теория K-петлей», опубликовано Springer, ISBN 3-540-43262-0 , ISBN 978-3-540-43262-3  
3. Лариса Сбитнева (2001), Неассоциативная геометрия специальной теории относительности, Международный журнал теоретической физики, Springer, том 40, № 1 / январь 2001 г. doi :10.1023/A:1003764217705
4. Дж. Лоусон И. Лим (2004), Средства для диадических множеств симметрии и полярных разложений, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Springer, Vol.74, No.1 / декабрь 2004 г. doi : 10.1007/BF02941530
5. Унгар, АА (2000). «Гиперболическая тригонометрия в модели релятивистской скорости Эйнштейна гиперболической геометрии». Компьютеры и математика с приложениями . 40 (2–3): 313–332 [317]. doi :10.1016/S0898-1221(00)00163-2.
6. Аналитическая гиперболическая геометрия и специальная теория относительности Альберта Эйнштейна, Авраам А. Унгар, World Scientific, 2008, ISBN 978-981-277-229-9 
7. Людвик Зильберштейн, Теория относительности, Macmillan, 1914
8. Страница 214, Глава 5, Симплектические матрицы: системы первого порядка и специальная теория относительности, Марк Каудерер, World Scientific, 1994, ISBN 978-981-02-1984-0 
9. Ungar, A. A: Парадокс релятивистского состава скоростей и вращение Томаса. Found. Phys. 19, 1385–1396 (1989) doi :10.1007/BF00732759
10. Унгар, А.А. (2000). «Принцип взаимности релятивистской составной скорости». Основы физики . 30 (2). Springer: 331–342. Bibcode :2000FoPh...30..331U. CiteSeerX 10.1.1.35.1131 . doi :10.1023/A:1003653302643. S2CID  118634052. 
11. ур. (55), Вращение Томаса и параметризация группы преобразований Лоренца, AA Ungar – Foundations of Physics Letters, 1988
12. Томасовская прецессия: ее базовые аксиомы гирогруппы и их использование в гиперболической геометрии и релятивистской физике, Авраам А. Унгар, Основы физики, т. 27, № 6, 1997 doi :10.1007/BF02550347
13. Унгар, А.А. (2006), «Группа релятивистских преобразований собственной скорости». Архивировано 25 октября 2017 г. в Wayback Machine , Progress in Electromagnetics Research , PIER 60 , стр. 85–94, уравнение (12)
14. Гиперболические барицентрические координаты, Авраам А. Унгар, Австралийский журнал математического анализа и приложений, AJMAA, том 6, выпуск 1, статья 18, стр. 1–35, 2009 г.
15. Гиперболические треугольные центры: специальный релятивистский подход, Авраам Унгар, Springer, 2010
16. Барицентрическое исчисление в евклидовой и гиперболической геометрии: сравнительное введение. Архивировано 19 мая 2012 г. на Wayback Machine , Авраам Унгар, World Scientific, 2010 г.
17. Авраам А. Унгар (2009), «Подход к гиперболической геометрии с использованием пространства гироскопов», Морган и Клейпул, ISBN 1-59829-822-4 , ISBN 978-1-59829-822-2  
18. Геометрическое наблюдение за точностью Буреса между двумя состояниями кубита, Цзин-Лин Чен, Либин Фу, Абрахам А. Унгар, Сянь-Гэн Чжао, Physical Review A, т. 65, выпуск 2
19. Авраам А. Унгар (2002), «За пределами закона сложения Эйнштейна и его гироскопической прецессии Томаса: теория гирогрупп и гировекторных пространств», Kluwer, ISBN 1-4020-0353-6 , ISBN 978-1-4020-0353-0  
20. Скотт Уолтер, Основы физики 32:327–330 (2002). Обзор книги Архивировано 2011-05-16 в Wayback Machine ,

• Доменико Джулини, Алгебраические и геометрические структуры специальной теории относительности, Глава в книге «Специальная теория относительности: выживет ли она в течение следующих 100 лет?», под редакцией Клауса Лэммерцаля, Юргена Элерса, Springer, 2006.

Дальнейшее чтение

• AA Ungar (2009). Gyrovectors: an Approach to Hyperbolic Geometry. Синтез лекций по математике и статистике. Morgan & Claypool Publishers. ISBN 978-159-829-822-2.
• TM Rassias (2000). Математический анализ и приложения. Сборник статей по математике. Hadronic Press. С. 307, 326, 336. ISBN 157-485-045-8.
• Макс А. Акивис и Владислав В. Голдберг (2006), Локальные алгебры дифференциальной квазигруппы, Бюллетень AMS, Том 43, Номер 2
• Огужан Демирель, Эмине Сойтюрк (2008), Гиперболическая теорема Карно в модели диска Пуанкаре гиперболической геометрии, Novi Sad J. Math. Vol. 38, No. 2, 2008, 33–39
• M Ferreira (2008), Сферические непрерывные вейвлет-преобразования, возникающие из разделов группы Лоренца, Прикладной и вычислительный гармонический анализ, Elsevier arXiv :0706.1956
• T Foguel (2000), Комментарий. Математический ун-т. Каролины, Группы, трансверсали и петли
• Яаков Фридман (1994), «Ограниченные симметричные области и структура JB*-трипла в физике», Йордановы алгебры: Труды конференции, состоявшейся в Обервольфахе, Германия, 9–15 августа 1992 г., Вильгельм Кауп, Кевин Маккриммон, Хольгер П. Петерссон, Опубликовано Вальтером де Грюйтером, ISBN 3-11-014251-1 , ISBN 978-3-11-014251-8  
• Флориан Джирелли, Этера Р. Ливин (2004), Специальная теория относительности как некоммутативная геометрия: Уроки деформированной специальной теории относительности, Phys. Rev. D 81, 085041 (2010)
• Sejong Kim, Jimmie Lawson (2011), Гладкие петли Брака, симметричные пространства и неассоциативные векторные пространства, Demonstratio Mathematica, том XLIV, № 4
• Питер Левай (2003), Геометрическая фаза смешанного состояния из вращений Томаса
• Азнив Каспарян, Абрахам А. Унгар, (2004) Пространства гировекторов Ли, Журнал геометрической симметрии
• R Olah-Gal, J Sandor (2009), О тригонометрических доказательствах теоремы Штейнера–Лемуса, Forum Geometricorum, 2009 – forumgeom.fau.edu
• Гонсало Э. Рейес (2003), О законе движения в специальной теории относительности arXiv :physics/0302065
• Кшиштоф Розга (2000), Pacific Journal of Mathematics, том 193, № 1, О центральных расширениях гирокоммутативных гирогрупп
• Л. В. Сабинин (1995), «О гирогруппах Венгрии». Архивировано 30 августа 2009 г. на Wayback Machine , RUSS MATH SURV, 1995, 50 (5), 1095–1096.
• Л.В. Сабинин, Л.Л. Сабинина, Лариса Сбитнева (1998), Aequationes Mathematicae , О понятии гирогруппы
• Л. В. Сабинин, Лариса Сбитнева, И. П. Шестаков (2006), «Неассоциативная алгебра и ее приложения», CRC Press, ISBN 0-8247-2669-3 , ISBN 978-0-8247-2669-0  
• F. Smarandache, C. Barbu (2010), Гиперболическая теорема Менелая в модели диска Пуанкаре гиперболической геометрии
• Роман Ульрих Сексл, Хельмут Курт Урбантке, (2001), «Относительность, группы, частицы: специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и частиц», страницы 141–142, Springer, ISBN 3-211-83443-5 , ISBN 978-3-211-83443-5  

Внешние ссылки

• Специальная теория относительности Эйнштейна: гиперболическая геометрическая точка зрения
• Унгар, Абрахам А. (2001). «Гиперболическая тригонометрия и ее применение в шаровой модели Пуанкаре гиперболической геометрии». С. 6–19. CiteSeerX  10.1.1.17.6107 .