В гауссовой оптике основные точки состоят из трех пар точек, расположенных на оптической оси вращательно-симметричной фокальной оптической системы. Это фокальные точки , главные точки и узловые точки ; их по две. [1] Для идеальных систем основные свойства изображения, такие как размер изображения, местоположение и ориентация, полностью определяются местоположением основных точек; фактически необходимы только четыре точки: две фокальные точки и либо главные точки, либо узловые точки. Единственная идеальная система, которая была достигнута на практике, — это плоское зеркало , [2] однако основные точки широко используются для аппроксимации поведения реальных оптических систем. Основные точки предоставляют способ аналитически упростить оптическую систему со многими компонентами, позволяя приблизительно определить характеристики изображения системы с помощью простых вычислений.
Кардинальные точки лежат на оптической оси оптической системы. Каждая точка определяется эффектом, который оптическая система оказывает на лучи , проходящие через эту точку, в параксиальном приближении . Параксиальное приближение предполагает, что лучи распространяются под небольшими углами относительно оптической оси, так что , , и . [3] Эффекты апертуры игнорируются: лучи, не проходящие через апертурную диафрагму системы, не рассматриваются в обсуждении ниже.
Передняя фокусная точка оптической системы, по определению, обладает тем свойством, что любой луч, проходящий через нее, выйдет из системы параллельно оптической оси . Задняя (или задняя) фокусная точка системы обладает обратным свойством: лучи, входящие в систему параллельно оптической оси, фокусируются таким образом, что проходят через заднюю фокусную точку.
Передняя и задняя (или задняя) фокальные плоскости определяются как плоскости, перпендикулярные оптической оси, которые проходят через переднюю и заднюю фокальные точки. Объект, бесконечно удаленный от оптической системы, формирует изображение в задней фокальной плоскости. Для объекта на конечном расстоянии изображение формируется в другом месте, но лучи, которые выходят из объекта параллельно друг другу, пересекаются в задней фокальной плоскости.
Диафрагма или «стоп» в задней фокальной плоскости объектива может использоваться для фильтрации лучей по углу, поскольку отверстие, центрированное на оптической оси, будет пропускать только лучи, испущенные объектом под достаточно малым углом к оптической оси. Использование достаточно малого отверстия в задней фокальной плоскости сделает объектив телецентрическим по отношению к пространству объектов .
Аналогично, допустимый диапазон углов на выходной стороне объектива может быть отфильтрован путем установки диафрагмы в передней фокальной плоскости объектива (или группы линз внутри всего объектива), а достаточно малая диафрагма сделает пространство изображения объектива телецентрическим . Это важно для DSLR-камер с датчиками CCD . Пиксели в этих датчиках более чувствительны к лучам, которые падают на них прямо, чем к тем, которые падают под углом. Объектив, который не контролирует угол падения на детектор, будет вызывать виньетирование пикселей на изображениях.
Две главные плоскости линзы обладают свойством, что луч, выходящий из линзы, кажется пересекшим заднюю главную плоскость на том же расстоянии от оптической оси, на котором луч кажется пересекшим переднюю главную плоскость, если смотреть спереди линзы. Это означает, что линзу можно рассматривать так, как если бы все преломление происходило в главных плоскостях, и лучи распространяются параллельно оптической оси между плоскостями. (Линейное увеличение между главными плоскостями равно +1.) Главные плоскости имеют решающее значение для определения свойств оптической системы, поскольку увеличение системы определяется расстоянием от объекта до передней главной плоскости и расстоянием от задней главной плоскости до изображения объекта. Главные точки — это точки, в которых главные плоскости пересекают оптическую ось.
Если среда, окружающая оптическую систему, имеет показатель преломления 1 (например, воздух или вакуум ), то расстояние от каждой главной плоскости до соответствующей фокальной точки — это просто фокусное расстояние системы. В более общем случае расстояние до фокусов — это фокусное расстояние, умноженное на показатель преломления среды.
Для одиночной линзы, окруженной средой с показателем преломления n = 1 , положения главных точек H и H ′ относительно соответствующих вершин линзы определяются формулами , где f — фокусное расстояние линзы, d — ее толщина, а r 1 и r 2 — радиусы кривизны ее поверхностей. Положительные знаки указывают расстояния справа от соответствующей вершины, а отрицательные — слева. [4]
Для тонкой линзы в воздухе обе главные плоскости лежат в месте расположения линзы. Точку, где они пересекают оптическую ось, иногда ошибочно называют оптическим центром линзы. Для реальной линзы главные плоскости не обязательно проходят через центр линзы и могут даже находиться за ее пределами.
Передняя и задняя узловые точки линзы обладают свойством, что луч, направленный на одну из них, будет преломлен линзой таким образом, что он будет казаться вышедшим из другой под тем же углом к оптической оси. (Угловое увеличение между узловыми точками равно +1.) Таким образом, узловые точки выполняют для углов ту же функцию, что главные плоскости выполняют для поперечного расстояния. Если среда по обе стороны оптической системы одинакова (например, воздух или вакуум), то передняя и задняя узловые точки совпадают с передней и задней главными точками соответственно.
В оригинальной статье Гаусса 1841 года обсуждались только главные лучи, проходящие через фокальные точки. Его коллега Иоганн Листинг был первым, кто описал узловые точки в 1845 году для оценки человеческого глаза, где изображение находится в жидкости. [5] Все основные точки были включены в одну диаграмму еще в 1864 году (Дондерс), с объектом в воздухе и изображением в другой среде.
Узловые точки характеризуют луч, который проходит через центр линзы без какого-либо углового отклонения. Для линзы в воздухе с апертурной диафрагмой на главных плоскостях это будет главный луч , поскольку узловые точки и главные точки совпадают в этом случае. Это ценное дополнение само по себе к тому, что стало называться «гауссовой оптикой», и если бы изображение было в жидкости, то тот же самый луч преломился бы в новую среду, как это происходит на диаграмме справа. Луч через узловые точки имеет параллельные входную и выходную части (синие). Простой метод нахождения задней узловой точки для линзы с воздухом с одной стороны и жидкостью с другой — взять заднее фокусное расстояние f ′ и разделить его на индекс среды изображения, что дает эффективное фокусное расстояние (EFL) линзы. EFL — это расстояние от задней узловой точки до задней фокусной точки.
Сила линзы равна 1/EFL или n ′ / f ′ . Для коллимированного света линза может быть помещена в воздух во второй узловой точке оптической системы, чтобы получить те же параксиальные свойства, что и исходная система линз с изображением в жидкости. [5] [6] Сила всего глаза составляет около 60 диоптрий , например. Аналогично, линза, используемая полностью в жидкости, как интраокулярная линза , имеет то же определение для силы со средним значением около 21 диоптрии.
Сам глаз имеет второе специальное использование узловой точки, которое, как правило, затемняется параксиальными обсуждениями. Роговица и сетчатка сильно изогнуты, в отличие от большинства систем визуализации, и оптическая конструкция глаза имеет свойство, что «линия направления», параллельная входным лучам, может использоваться для определения увеличения или масштабирования мест на сетчатке. Эта линия проходит приблизительно через 2-ю узловую точку, но вместо того, чтобы быть фактическим параксиальным лучом, она идентифицирует изображение, сформированное пучками лучей, которые проходят через центр зрачка. Терминология исходит от Фолькмана в 1836 году [7], но большинство обсуждений неправильно подразумевают, что параксиальные свойства лучей распространяются на очень большие углы, вместо того, чтобы признавать это как уникальное свойство конструкции глаза. Это свойство масштабирования хорошо известно, очень полезно и очень просто: углы, нарисованные с помощью линейки, центрированной на заднем полюсе хрусталика на поперечном сечении глаза, могут приблизительно масштабировать сетчатку более чем на целое полушарие. Только в 2000-х годах ограничения этого приближения стали очевидны, с исследованием того, почему некоторые пациенты с интраокулярными линзами (ИОЛ) видят темные тени на дальней периферии (отрицательная дисфотопсия, которая, вероятно, связана с тем, что ИОЛ намного меньше естественного хрусталика.) [ необходима цитата ]
Оптический центр сферической линзы — это точка, через которую проходит луч, то угол выхода линзы относительно оптической оси не отклоняется от угла входа линзы.
На правом рисунке [8] точки A и B находятся там, где параллельные линии радиусов кривизны R 1 и R 2 встречаются с поверхностями линзы. В результате штриховые линии, касательные к поверхностям в точках A и B, также параллельны. Поскольку два треугольника OBC 2 и OAC 1 подобны (т. е. их углы одинаковы), . При любом выборе A и B радиусы кривизны и одинаковы, а также местоположения центров кривизны и также одинаковы. В результате местоположение оптического центра O , определяемое отношением на оптической оси, фиксировано для данной линзы.
Узловые точки широко неправильно понимаются в фотографии , где обычно утверждается, что световые лучи «пересекаются» в «узловой точке», что ирисовая диафрагма объектива расположена там, и что это правильная точка поворота для панорамной фотографии , чтобы избежать ошибки параллакса . [9] [10] [11] Эти утверждения обычно возникают из-за путаницы относительно оптики объективов камеры, а также путаницы между узловыми точками и другими кардинальными точками системы. Можно показать, что лучшим выбором точки, вокруг которой следует поворачивать камеру для панорамной фотографии, является центр входного зрачка системы . [9] [10] [11] С другой стороны, камеры с поворотным объективом и фиксированным положением пленки вращают объектив вокруг задней узловой точки, чтобы стабилизировать изображение на пленке. [11] [12]
В оптике вершины поверхности — это точки, в которых каждая оптическая поверхность пересекает оптическую ось. Они важны прежде всего потому, что являются физически измеримыми параметрами для положений оптических элементов, и поэтому положения кардинальных точек оптической системы должны быть известны относительно вершин поверхности, чтобы описать систему.
В анатомии вершины поверхности хрусталика глаза называются передним и задним полюсами хрусталика. [13]
В геометрической оптике для каждого луча объекта, входящего в оптическую систему, из системы выходит один и уникальный луч изображения. В математических терминах оптическая система выполняет преобразование , которое отображает каждый луч объекта в луч изображения. [1] Говорят, что луч объекта и связанный с ним луч изображения сопряжены друг с другом. Этот термин также применяется к соответствующим парам точек и плоскостей объекта и изображения. Лучи объекта и изображения, точки и плоскости считаются находящимися в двух различных оптических пространствах , пространстве объекта и пространстве изображения ; также могут использоваться дополнительные промежуточные оптические пространства.
Оптическая система является вращательно-симметричной, если ее свойства изображения не изменяются при любом вращении вокруг некоторой оси. Эта (уникальная) ось вращательной симметрии является оптической осью системы. Оптические системы можно складывать с помощью плоских зеркал; система по-прежнему считается вращательно-симметричной, если она обладает вращательной симметрией в развернутом виде. Любая точка на оптической оси (в любом пространстве) является осевой точкой .
Вращательная симметрия значительно упрощает анализ оптических систем, которые в противном случае должны анализироваться в трех измерениях. Вращательная симметрия позволяет анализировать систему, рассматривая только лучи, ограниченные одной поперечной плоскостью, содержащей оптическую ось. Такая плоскость называется меридиональной плоскостью ; она является поперечным сечением системы.
Идеальная , вращательно-симметричная оптическая система формирования изображений должна соответствовать трем критериям:
В некоторых оптических системах изображение является стигматическим для одной или, возможно, нескольких точек объекта, но чтобы быть идеальной системой, изображение должно быть стигматическим для каждой точки объекта. В идеальной системе каждая точка объекта отображается в другую точку изображения.
В отличие от лучей в математике , оптические лучи простираются до бесконечности в обоих направлениях. Лучи реальны , когда они находятся в той части оптической системы, к которой они применяются, и виртуальны в других местах. Например, объектные лучи реальны на стороне объекта оптической системы, в то время как лучи изображения реальны на стороне изображения системы. В стигматической визуализации объектный луч, пересекающий любую определенную точку в пространстве объекта, должен быть сопряжен с лучом изображения, пересекающим сопряженную точку в пространстве изображения. Следствием этого является то, что каждая точка на объектном луче сопряжена с некоторой точкой на сопряженном луче изображения.
Геометрическое сходство подразумевает, что изображение является масштабной моделью объекта. Ограничений по ориентации изображения нет; изображение может быть инвертировано или иным образом повернуто относительно объекта.
Афокальные системы не имеют фокусных точек, главных точек или узловых точек. В таких системах луч объекта, параллельный оптической оси, сопряжен с лучом изображения, параллельным оптической оси. Система является фокальной , если луч объекта, параллельный оси, сопряжен с лучом изображения, пересекающим оптическую ось. Пересечение луча изображения с оптической осью является фокальной точкой F ′ в пространстве изображения. Фокальные системы также имеют осевую точку объекта F, такую что любой луч, проходящий через F, сопряжен с лучом изображения, параллельным оптической оси. F является фокальной точкой пространства объекта системы.
Преобразование между пространством объекта и пространством изображения полностью определяется кардинальными точками системы, и эти точки можно использовать для отображения любой точки объекта в сопряженную точку изображения.
