Минор (линейная алгебра)

Определитель подчасти квадратной матрицы

В линейной алгебре минор матрицы A — это определитель некоторой меньшей квадратной матрицы , полученной из A путем удаления одной или нескольких ее строк и столбцов. Миноры, полученные путем удаления только одной строки и одного столбца из квадратных матриц ( первые миноры ) , требуются для вычисления матричных кофакторов , которые полезны для вычисления как определителя, так и обратной матрицы квадратных матриц. Требование, чтобы квадратная матрица была меньше исходной матрицы, часто опускается в определении.

Определение и иллюстрация

Первые несовершеннолетние

Если A — квадратная матрица, то минор записи в i  -й строке и j  -м столбце (также называемый ( i , j ) минором или первым минором ^[1] ) является определителем подматрицы, образованной удалением i-  й строки и j  -го столбца. Это число часто обозначается как M _i,j . Сомножитель ( i , j ) получается путем умножения минора на . ${\displaystyle (-1)^{i+j}}$

Чтобы проиллюстрировать эти определения, рассмотрим следующую матрицу 3 × 3 :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}}$

Чтобы вычислить минор M _2,3 и сомножитель C _2,3 , найдем определитель вышеуказанной матрицы, удалив строку 2 и столбец 3.

${\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13}$

Таким образом, сомножитель записи (2,3) равен

${\displaystyle \ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}$

Общее определение

Пусть A — матрица m  ×  n , а k — целое число с 0 < k ≤ m и k ≤ n . Минор A размером k  ×  k , также называемый минорным определителем порядка k матрицы A или, если m = n , ( n − k ) -м минорным определителем матрицы A (слово «определитель» часто опускается, а слово «степень» иногда используется вместо «порядка») — это определитель матрицы размером k  ×  k , полученной из A путем удаления m − k строк и n − k столбцов. Иногда этот термин используется для обозначения матрицы размером k  ×  k , полученной из A , как указано выше (путем удаления m − k строк и n − k столбцов), но эту матрицу следует называть (квадратной) подматрицей матрицы A , оставляя термин «минор» для обозначения определителя этой матрицы. Для матрицы A , как указано выше, существует всего миноров размера k  ×  k . Минор нулевого порядка часто определяется как 1. Для квадратной матрицы нулевой минор — это просто определитель матрицы. ^{[2] [3]} ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$

Пусть и будут упорядоченными последовательностями (в естественном порядке, как это всегда предполагается, когда речь идет о минорах, если не указано иное) индексов, назовем их I и J соответственно. Минор, соответствующий этим выборам индексов, обозначается или или или или или (где обозначает последовательность индексов I и т. д.), в зависимости от источника. Кроме того, в литературе используются два типа обозначений: под минором, связанным с упорядоченными последовательностями индексов I и J , некоторые авторы ^[4] подразумевают определитель матрицы, которая формируется, как указано выше, путем взятия элементов исходной матрицы из строк, индексы которых находятся в I, и столбцов, индексы которых находятся в J , тогда как некоторые другие авторы подразумевают под минором, связанным с I и J, определитель матрицы, сформированной из исходной матрицы путем удаления строк из I и столбцов из J ; ^[2] всегда следует проверять, какая именно нотация используется. В этой статье мы используем инклюзивное определение выбора элементов из строк I и столбцов J. Исключительным случаем является случай первого минора или ( i , j ) -минора, описанный выше; в этом случае исключительное значение является стандартным во всей литературе и используется также в этой статье. ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m}$ ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}$ ${\textstyle \det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$ ${\displaystyle \det _{I,J}A}$ ${\displaystyle \det A_{I,J}}$ ${\displaystyle [A]_{I,J}}$ ${\displaystyle M_{I,J}}$ ${\displaystyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}$ ${\displaystyle M_{(i),(j)}}$ ${\displaystyle (i)}$ ${\textstyle M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$

Дополнение

Дополнение, B _{ijk...,pqr...} , минора, M _{ijk...,pqr...} , квадратной матрицы, A , образовано определителем матрицы A , из которой удалены все строки ( ijk... ) и столбцы ( pqr... ), связанные с M _{ijk...,pqr...} . Дополнение первого минора элемента a _ij — это просто этот элемент. ^[5]

Применение миноров и кофакторов

Расширение кофактора определителя

Сомножители играют важную роль в формуле Лапласа для разложения определителей, которая является методом вычисления больших определителей через меньшие. При наличии матрицы n  ×  n определитель A , обозначаемый det( A ) , может быть записан как сумма сомножителей любой строки или столбца матрицы, умноженных на записи, которые их породили. Другими словами, определение разложения сомножителей вдоль j  -го столбца дает: ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$

${\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}}$

Разложение кофактора по i-  й строке дает:

${\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}}$

Кофактор как производная определителя тензора второго порядка

Для любого обратимого тензора второго порядка справедливо следующее тождество: ^[6] ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\text{det}}\left(\mathbf {A} \right)}{\partial \mathbf {A} }}={\text{det}}\left(\mathbf {A} \right)\mathbf {A} ^{-T}={\text{cof}}\left(\mathbf {A} \right)}$

которые представляют собой полезную идентичность в области нелинейной механики твердого тела.

Обратная матрица

Можно записать обратную матрицу обратимой , вычислив ее сомножители, используя правило Крамера , следующим образом. Матрица, образованная всеми сомножителями квадратной матрицы A, называется матрицей сомножителей (также называемой матрицей сомножителей или, иногда, коматрицей ):

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$

Тогда обратная матрица A представляет собой транспонированную матрицу сомножителей, умноженную на обратную величину определителя A :

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$

Транспонированная матрица сомножителей называется присоединенной матрицей (также называемой классической присоединенной матрицей ) матрицы A.

Вышеприведенную формулу можно обобщить следующим образом: Пусть и — упорядоченные последовательности (в естественном порядке) индексов (здесь A — матрица n  ×  n ). Тогда ^[7] ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}$

где I′ , J′ обозначают упорядоченные последовательности индексов (индексы находятся в естественном порядке величины, как и выше), дополнительные к I , J , так что каждый индекс 1, ..., n появляется ровно один раз либо в I , либо в I′ , но не в обоих (аналогично для J и J′ ), и обозначает определитель подматрицы A , образованной выбором строк набора индексов I и столбцов набора индексов J . Кроме того, . Простое доказательство можно дать с использованием произведения клиньев. Действительно, ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}$ ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},}$

где - базисные векторы. Действуя с помощью A с обеих сторон, получаем ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).}$

Знак можно определить как , поэтому знак определяется суммами элементов в I и J. ${\displaystyle (-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}}$

Другие приложения

Если задана матрица m  ×  n с действительными элементами (или элементами из любого другого поля ) и рангом r , то существует по крайней мере один ненулевой минор r  ×  r , в то время как все большие миноры равны нулю.

Мы будем использовать следующую нотацию для миноров: если A — матрица размером m  ×  n , I — подмножество {1,..., m } с k элементами, а J — подмножество {1,..., n } с k элементами, то мы записываем [ A ] _{I , J} для минора размером k  ×  k матрицы A , соответствующего строкам с индексом в I и столбцам с индексом в J .

• Если I = J , то [ A ] _{I , J} называется главным минором .
• Если матрица, соответствующая главному минору, является квадратной верхней левой подматрицей большей матрицы (т. е. она состоит из элементов матрицы в строках и столбцах от 1 до k , также известной как ведущая главная подматрица), то главный минор называется ведущим главным минором (порядка k) или угловым (главным) минором (порядка k) . ^[3] Для квадратной матрицы n  ×  n существует n ведущих главных миноров.
• Базовый минор матрицы — это определитель квадратной подматрицы максимального размера с ненулевым определителем. ^[3]
• Для эрмитовых матриц главные миноры могут использоваться для проверки на положительную определенность , а главные миноры могут использоваться для проверки на положительную полуопределенность . Подробнее см. критерий Сильвестра .

Как формула для обычного умножения матриц , так и формула Коши–Бине для определителя произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц. Предположим, что A — матрица размером m  ×  n , B — матрица размером n  ×  p , I — подмножество {1,..., m } с k элементами, а J — подмножество {1,..., p } с k элементами. Тогда

${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$

где сумма распространяется на все подмножества K из {1,..., n } с k элементами. Эта формула является простым расширением формулы Коши–Бине.

Подход полилинейной алгебры

Более систематическая алгебраическая трактовка миноров дается в полилинейной алгебре с использованием клинового произведения : k -миноры матрицы являются элементами в k- й внешней степенной карте.

Если столбцы матрицы склеены вместе по k за раз, то миноры k  ×  k появляются как компоненты результирующих k -векторов. Например, миноры 2 × 2 матрицы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}}$

−13 (из первых двух строк), −7 (из первой и последней строки) и 5 ​​(из последних двух строк). Теперь рассмотрим произведение клина

${\displaystyle (\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})}$

где два выражения соответствуют двум столбцам нашей матрицы. Используя свойства клинового произведения, а именно, что оно является билинейным и знакопеременным ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,}$

и антисимметричный ,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},}$

мы можем упростить это выражение до

${\displaystyle -13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$

где коэффициенты согласуются с минорами, вычисленными ранее.

Замечание о различных обозначениях

В некоторых книгах вместо кофактора используется термин адъюнкт . ^[8] При этом он обозначается как A _ij и определяется так же, как кофактор:

${\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}}$

Используя эту запись, обратная матрица записывается следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}}$

Имейте в виду, что адъюнкт не является адъюгатом или адъюнктом . В современной терминологии «адъюнкт» матрицы чаще всего относится к соответствующему адъюнктному оператору .

Смотрите также

• Подматрица
• Составная матрица

Ссылки

1. Бернсайд, Уильям Сноу и Пантон, Артур Уильям (1886) Теория уравнений: с введением в теорию двоичной алгебраической формы .
2. Элементарная матричная алгебра (третье издание), Франц Э. Хон, The Macmillan Company, 1973, ISBN  978-0-02-355950-1
3. "Minor". Энциклопедия математики.
4. Линейная алгебра и геометрия, Игорь Р. Шафаревич, Алексей О. Ремизов, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9 
5. Берта Джеффрис, Методы математической физики, стр. 135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0 . 
6. Хольцапфель, GA (2002). Нелинейная механика твердого тела: континуальный подход к инженерным наукам.
7. Виктор Васильевич Прасолов (13 июня 1994 г.). Задачи и теоремы линейной алгебры. Американское математическое общество. стр. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.
8. Феликс Гантмахер , Теория матриц (1-е изд., язык оригинала русский), М.: Государственное издательство технической и теоретической литературы, 1953, с.491,

Внешние ссылки

• Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института о кофакторах на Google Video, от MIT OpenCourseWare
• Ввод данных PlanetMath для кофакторов
• Статья в энциклопедии математики Springer для младшего специалиста