Главный идеал

Идеал кольца, порожденный одним элементом кольца

В математике , особенно в теории колец , главный идеал — это идеал в кольце , который порождается одним элементом путем умножения на каждый элемент. Этот термин также имеет другое, похожее значение в теории порядка , где он относится к (порядку) идеал в частично упорядоченном наборе , созданном одним элементом, то есть набором всех элементов, меньших или равных в ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in P,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P.}$

Оставшаяся часть статьи посвящена концепции теории колец.

Определения

• левый главный идеал - это подмножество , заданное для некоторого элемента ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Ra=\{ra:r\in R\}}$ ${\displaystyle a,}$
• правый главный идеал - это подмножество, заданное для некоторого элемента ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle aR=\{ar:r\in R\}}$ ${\displaystyle a,}$
• Двусторонний главный идеал - это подмножество, заданное для некоторого элемента , а именно множества всех конечных сумм элементов вида ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle RaR=\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}:r_{1},s_{1},\ldots ,r_{n},s_{n}\in R\}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle ras.}$

Хотя это определение двустороннего главного идеала может показаться более сложным, чем другие, необходимо обеспечить, чтобы идеал оставался закрытым при сложении. ^{[ нужна цитата ]}

Если — коммутативное кольцо с единицей, то все три приведенных выше понятия совпадают. В этом случае принято писать идеал, порожденный как или ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle (a).}$

Примеры неглавного идеала

Не все идеалы являются главными. Например, рассмотрим коммутативное кольцо всех многочленов от двух переменных и с комплексными коэффициентами. Идеал, порожденный и состоящий из всех полиномов, в которых постоянный член имеет нуль , не является главным. Чтобы убедиться в этом, предположим, что это генератор для Тогда , и оба они делятся на , что невозможно, если только не является ненулевой константой. Но ноль — единственная константа, поэтому мы имеем противоречие . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle .}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle ,}$

В кольце числа где четные образуют неглавный идеал. Этот идеал образует правильную шестиугольную решетку на комплексной плоскости. Рассмотрим и Эти числа являются элементами этого идеала с одной и той же нормой (два), а потому единственные единицы в кольце являются и не являются ассоциированными. ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}:a,b\in \mathbb {Z} \},}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle (a,b)=(2,0)}$ ${\displaystyle (1,1).}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1,}$

Связанные определения

Кольцо, в котором каждый идеал является главным, называется главным или кольцом главных идеалов . Область главных идеалов (PID) — это целая область, в которой каждый идеал является главным. Любой PID является уникальной областью факторизации ; нормальное доказательство уникальной факторизации целых чисел (так называемая фундаментальная теорема арифметики ) справедливо для любого PID.

Примеры главного идеала

Главные идеалы в имеют вид Фактически это область главных идеалов, которую можно показать следующим образом. Предположим , где и рассмотрим сюръективные гомоморфизмы. Поскольку конечен, для достаточно больших имеем Таким образом , что подразумевает , что всегда конечно порождено. Поскольку идеал порождается любыми целыми числами и в точности индукцией по числу образующих, отсюда следует, что он является главным. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \langle n\rangle =n\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots \rangle }$ ${\displaystyle n_{1}\neq 0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},n_{3}\rangle \rightarrow \cdots .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle =\mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k+1}\rangle =\cdots .}$ ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle ,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \langle \mathop {\mathrm {gcd} } (a,b)\rangle ,}$ ${\displaystyle I}$

Однако все кольца имеют главные идеалы, а именно любой идеал, порожденный ровно одним элементом. Например, идеал является главным идеалом и является главным идеалом. Фактически, и являются главными идеалами любого кольца. ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y],}$ ${\displaystyle \langle {\sqrt {-3}}\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}].}$ ${\displaystyle \{0\}=\langle 0\rangle }$ ${\displaystyle R=\langle 1\rangle }$ ${\displaystyle R.}$

Характеристики

Любой евклидов домен является PID ; Алгоритм, используемый для вычисления наибольших общих делителей, можно использовать для поиска генератора любого идеала. В более общем смысле любые два главных идеала в коммутативном кольце имеют наибольший общий делитель в смысле идеального умножения. В областях главных идеалов это позволяет вычислять наибольшие общие делители элементов кольца с точностью до умножения на единицу ; мы определяем как любой генератор идеала ${\displaystyle \gcd(a,b)}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle .}$

Для области Дедекинда мы можем также спросить, учитывая неглавный идеал, существует ли какое-то расширение такого , что идеал, порожденный , является главным (говоря более свободно, становится главным в ). Этот вопрос возник в связи с изучением колец целых алгебраических чисел (которые являются примерами дедекиндовых областей) в теории чисел и привел к развитию теории полей классов Тейджи Такаги , Эмиля Артина , Дэвида Гильберта и многих других. ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$

Теорема о главном идеале теории полей классов утверждает, что каждое целочисленное кольцо (т.е. кольцо целых чисел некоторого числового поля ) содержится в большем целочисленном кольце , которое обладает свойством, что каждый идеал становится главным идеалом. В этой теореме мы можем взять быть кольцом целых чисел поля класса Гильберта ; то есть максимальное неразветвленное абелева расширение (то есть расширение Галуа , группа Галуа которого абелева ) поля частных, и это однозначно определяется формулой ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R.}$

Теорема Крулла о главном идеале утверждает, что если это нётерово кольцо и является его главным собственным идеалом, то его высота не превышает единицы. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle I}$

Смотрите также

• Условие восходящей цепи для главных идеалов

Рекомендации

• Галлиан, Джозеф А. (2017). Современная абстрактная алгебра (9-е изд.). Cengage Обучение. ISBN 978-1-305-65796-0.