Главный неразложимый модуль

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория модулей , главный неразложимый модуль имеет много важных связей с изучением модулей кольца , особенно его простых модулей , проективных модулей и неразложимых модулей .

Определение

(Левый) главный неразложимый модуль кольца R — это (левый) подмодуль R , который является прямым слагаемым R и является неразложимым модулем . Альтернативно, это неразложимый, проективный, циклический модуль . Главные неразложимые модули также называются PIM для краткости.

Отношения

Проективные неразложимые модули над некоторыми кольцами имеют очень тесные связи с простыми, проективными и неразложимыми модулями этих колец.

Если кольцо R артиново или даже полусовершенно , то R является прямой суммой главных неразложимых модулей, и существует один класс изоморфизма PIM на класс изоморфизма простого модуля. Каждому PIM P сопоставлена ​​его голова , P / JP , которая является простым модулем, будучи неразложимым полупростым модулем. Каждому простому модулю S сопоставлена ​​его проективная оболочка P , которая является PIM, будучи неразложимым, проективным, циклическим модулем.

Аналогично над полусовершенным кольцом каждый неразложимый проективный модуль является ПИМ, а каждый конечно порождённый проективный модуль является прямой суммой ПИМ.

В контексте групповых алгебр конечных групп над полями (которые являются полусовершенными кольцами) кольцо представлений описывает неразложимые модули, а модулярные характеры простых модулей представляют как подкольцо, так и факторкольцо. Кольцо представлений над комплексным полем обычно лучше понимается, и поскольку PIM соответствуют модулям над комплексами, использующими p -модулярную систему, можно использовать PIM для переноса информации из кольца комплексных представлений в кольцо представлений над полем положительной характеристики. Грубо говоря, это называется теорией блоков.

Над областью Дедекинда , которая не является PID , группа классов идеалов измеряет разницу между проективными неразложимыми модулями и главными неразложимыми модулями: проективные неразложимые модули — это в точности (модули, изоморфные) ненулевым идеалам, а главные неразложимые модули — это в точности (модули, изоморфные) ненулевым главным идеалам.

Ссылки

• Альперин, Дж. Л. (1986), Теория локальных представлений , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 11, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-30660-7, МР  0860771
• Бенсон, DJ (1984), Модульная теория представлений: новые тенденции и методы , Lecture Notes in Mathematics, т. 1081, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13389-6, МР  0765858
• Фейт, Вальтер (1982), Теория представлений конечных групп , Математическая библиотека Северной Голландии, т. 25, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-86155-9, МР  0661045
• Хазевинкель, Михил ; Губарени, Надежда; Кириченко, В.В. (2004), Алгебры, кольца и модули. Том 1 , Математика и ее приложения, том 575, Бостон: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-2690-4, МР  2106764
• Лэндрок, П. (1983), Конечные групповые алгебры и их модули , Серия лекций Лондонского математического общества, т. 84, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-27487-6, МР  0737910
• Нагао, Хироси; Цусима, Юкио (1989), Представления конечных групп , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-513660-0, МР  0998775