Гладкая структура

Максимальный гладкий атлас для топологического многообразия

В математике гладкая структура на многообразии допускает однозначное понятие гладкой функции . В частности, гладкая структура позволяет проводить математический анализ на многообразии. ^[1]

Определение

Гладкая структура на многообразии — это набор гладко эквивалентных гладких атласов. Здесь гладкий атлас для топологического многообразия — это атлас для , такой что каждая функция перехода является гладким отображением , а два гладких атласа для гладко эквивалентны при условии, что их объединение снова является гладким атласом для Это дает естественное отношение эквивалентности на множестве гладких атласов. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M.}$

Гладкое многообразие — это топологическое многообразие вместе с гладкой структурой на ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M.}$

Максимальные гладкие атласы

Объединяя все атласы, принадлежащие гладкой структуре, мы получаем максимальный гладкий атлас . Этот атлас содержит каждую карту, совместимую с гладкой структурой. Существует естественное взаимно-однозначное соответствие между гладкими структурами и максимальными гладкими атласами. Таким образом, мы можем рассматривать гладкую структуру как максимальный гладкий атлас и наоборот.

В общем случае вычисления с максимальным атласом многообразия довольно громоздки. Для большинства приложений достаточно выбрать меньший атлас. Например, если многообразие компактно , то можно найти атлас только с конечным числом карт.

Эквивалентность гладких структур

Если и являются двумя максимальными атласами на двух гладких структурах, связанных с и , то они называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм такой , что ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle f:M\to M}$ ${\displaystyle \mu \circ f=\nu .}$

Экзотические сферы

Джон Милнор показал в 1956 году, что 7-мерная сфера допускает гладкую структуру, которая не эквивалентна стандартной гладкой структуре. Сфера, снабженная нестандартной гладкой структурой, называется экзотической сферой .

коллектор E8

Многообразие E8 является примером топологического многообразия , не допускающего гладкой структуры. Это по сути показывает, что теорема Рохлина справедлива только для гладких структур, а не для топологических многообразий вообще.

Связанные структуры

Требования гладкости к функциям перехода можно ослабить, так что отображения перехода должны быть только -раз непрерывно дифференцируемыми; или усилить, так что отображения перехода должны быть вещественно-аналитическими. Соответственно, это дает или (вещественно-)аналитическую структуру на многообразии, а не гладкую. Аналогично, сложную структуру можно определить, потребовав, чтобы отображения перехода были голоморфными. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Смотрите также

• Гладкий каркас  – Обобщение упорядоченного базиса векторного пространстваСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Атлас (топология)  – набор диаграмм, описывающих многообразие.

Ссылки

1. Каллахан, Джеймс Дж. (1974). «Особенности и плоские карты». Amer. Math. Monthly . 81 : 211–240. doi :10.2307/2319521.

• Хирш, Моррис (1976). Дифференциальная топология . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90148-5.
• Ли, Джон М. (2006). Введение в гладкие многообразия. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Сепански, Марк Р. (2007). Компактные группы Ли . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.