В математике подмногообразие многообразия — это подмножество , которое само имеет структуру многообразия и для которого отображение включения удовлетворяет определенным свойствам. Существуют различные типы подмногообразий в зависимости от того, какие именно свойства требуются. Разные авторы часто дают разные определения.
Далее мы предполагаем, что все многообразия являются дифференцируемыми многообразиями класса для фиксированного , а все морфизмы дифференцируемы класса .
Погруженное подмногообразие многообразия является образом отображения погружения ; в общем случае это изображение не будет подмногообразием как подмножество, а отображение погружения даже не обязательно должно быть инъективным (один к одному) — оно может иметь самопересечения. [1]
Более узко, можно потребовать, чтобы отображение было инъекцией (один к одному), в этом случае мы называем это инъективным погружением , и определить погруженное подмногообразие как подмножество образа вместе с топологией и дифференциальной структурой, такими что является многообразием, а включение является диффеоморфизмом : это просто топология на , которая в общем случае не будет согласовываться с топологией подмножества: в общем случае подмножество не является подмногообразием , в топологии подмножества.
При любом инъективном погружении образу в можно однозначно задать структуру погруженного подмногообразия, так что является диффеоморфизмом . Отсюда следует, что погруженные подмногообразия являются в точности образами инъективных погружений.
Топология подмногообразия на погруженном подмногообразии не обязательно должна быть топологией подпространства, унаследованной от . В общем случае она будет тоньше топологии подпространства (т.е. иметь больше открытых множеств ).
Погруженные подмногообразия встречаются в теории групп Ли , где подгруппы Ли являются естественно погруженными подмногообразиями. Они также появляются в изучении слоений , где погруженные подмногообразия обеспечивают правильный контекст для доказательства теоремы Фробениуса .
Вложенное подмногообразие ( также называемое регулярным подмногообразием ) — это погруженное подмногообразие, для которого отображение включения является топологическим вложением . То есть топология подмногообразия на совпадает с топологией подпространства.
При этом любое вложение многообразия в образ естественным образом имеет структуру вложенного подмногообразия. То есть вложенные подмногообразия являются в точности образами вложений.
Существует внутреннее определение вложенного подмногообразия, которое часто бывает полезным. Пусть будет -мерным многообразием, и пусть будет целым числом, таким что . -мерное вложенное подмногообразие — это подмножество , такое что для каждой точки существует карта, содержащая , такая что является пересечением -мерной плоскости с . Пары образуют атлас для дифференциальной структуры на .
Теорема Александера и теорема Жордана–Шенфлиса являются хорошими примерами гладких вложений.
В литературе используются и другие вариации подмногообразий. Аккуратное подмногообразие — это многообразие, граница которого совпадает с границей всего многообразия. [2] Шарп (1997) определяет тип подмногообразия, который лежит где-то между вложенным подмногообразием и погруженным подмногообразием.
Многие авторы также определяют топологические подмногообразия. Они совпадают с подмногообразиями с . [3] Вложенное топологическое подмногообразие не обязательно является регулярным в смысле существования локальной карты в каждой точке, расширяющей вложение. Контрпримерами являются дикие дуги и дикие узлы .
При наличии любого погруженного подмногообразия касательное пространство к точке в можно естественным образом рассматривать как линейное подпространство касательного пространства к в . Это следует из того факта, что отображение включения является погружением и обеспечивает инъекцию
Предположим, что S — погруженное подмногообразие . Если отображение включения замкнуто , то на самом деле является вложенным подмногообразием . Наоборот, если — вложенное подмногообразие, которое также является замкнутым подмножеством , то отображение включения замкнуто. Отображение включения замкнуто тогда и только тогда, когда оно является собственным отображением (т. е. прообразы компактных множеств компактны). Если замкнуто, то называется замкнутым вложенным подмногообразием . Замкнутые вложенные подмногообразия образуют самый хороший класс подмногообразий.
Гладкие многообразия иногда определяются как вложенные подмногообразия действительного координатного пространства , для некоторых . Эта точка зрения эквивалентна обычному, абстрактному подходу, поскольку, по теореме Уитни о вложении , любое гладкое (абстрактное) -многообразие со счетной второй степенью может быть гладко вложено в .
