Голоморфное векторное расслоение

Комплексное векторное расслоение на комплексном многообразии

В математике голоморфное векторное расслоение — это комплексное векторное расслоение над комплексным многообразием X, такое, что полное пространство E является комплексным многообразием, а отображение проекции π : E → X голоморфно . Основными примерами являются голоморфное касательное расслоение комплексного многообразия и его двойственное голоморфное кокасательное расслоение . Голоморфное линейное расслоение — это голоморфное векторное расслоение ранга один.

Согласно GAGA Серра , категория голоморфных векторных расслоений на гладком комплексном проективном многообразии X (рассматриваемом как комплексное многообразие) эквивалентна категории алгебраических векторных расслоений (т.е. локально свободных пучков конечного ранга) на X.

Определение через тривиализацию

В частности, требуется, чтобы карты тривиализации

${\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}}$

являются биголоморфными отображениями . Это эквивалентно требованию, чтобы функции перехода

${\displaystyle t_{UV}:U\cap V\to \mathrm {GL} _{k}(\mathbf {C} )}$

являются голоморфными отображениями. Голоморфная структура на касательном расслоении комплексного многообразия гарантируется замечанием, что производная (в соответствующем смысле) векторнозначной голоморфной функции сама по себе голоморфна.

Пучок голоморфных сечений

Пусть E — голоморфное векторное расслоение. Локальное сечение s  : U → E | _U называется голоморфным , если в окрестности каждой точки U оно голоморфно в некоторой (эквивалентно любой) тривиализации.

Это условие локально, что означает, что голоморфные сечения образуют пучок на X . Этот пучок иногда обозначается , или, оскорбительно, E . Такой пучок всегда локально свободен и имеет тот же ранг, что и ранг векторного расслоения. Если E — тривиальное линейное расслоение , то этот пучок совпадает со структурным пучком комплексного многообразия X . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Простые примеры

Существуют линейные расслоения, над которыми глобальные сечения соответствуют однородным полиномам степени (для положительного целого числа). В частности, соответствует тривиальному линейному расслоению. Если взять покрытие , то можно найти карты, определяемые ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}]:x_{i}\neq 0\}}$ ${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \phi _{i}([x_{0}:\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}}$

Мы можем построить функции перехода, определяемые как ${\displaystyle \phi _{ij}|_{U_{i}\cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j}^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$

${\displaystyle \phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i}}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{j}}{z_{i}}},{\frac {1}{z_{i}}},{\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)}$

Теперь, если мы рассмотрим тривиальное расслоение, мы можем сформировать индуцированные функции перехода . Если мы используем координату на волокне, то мы можем сформировать функции перехода ${\displaystyle L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \psi _{i,j}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi _{i,j}((z_{1},\ldots ,z_{n}),z)=\left(\phi _{i,j}(z_{1},\ldots ,z_{n}),{\frac {z_{i}^{k}}{z_{j}^{k}}}\cdot z\right)}$

для любого целого числа . Каждый из них связан с линейным расслоением . Поскольку векторные расслоения обязательно тянут назад, любое голоморфное подмногообразие имеет связанное линейное расслоение , иногда обозначаемое . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}({\mathcal {O}}(k))}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)|_{X}}$

Операторы Дольбо

Предположим, что E — голоморфное векторное расслоение. Тогда существует выделенный оператор, определяемый следующим образом. В локальной тривиализации E с локальной рамкой любой раздел может быть записан для некоторых гладких функций . Определим оператор локально с помощью ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle s=\sum _{i}s^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle s^{i}:U_{\alpha }\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s):=\sum _{i}{\bar {\partial }}(s^{i})\otimes e_{i}}$

где — регулярный оператор Коши–Римана базового многообразия. Этот оператор хорошо определен на всем E, поскольку на перекрытии двух тривиализаций с голоморфной функцией перехода , если где — локальный фрейм для E на , то , и так ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle U_{\beta }}$ ${\displaystyle s^{i}=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}(s^{i})=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\bar {\partial }}({\tilde {s}}^{j})}$

поскольку функции перехода голоморфны. Это приводит к следующему определению: оператор Дольбо на гладком комплексном векторном расслоении является -линейным оператором ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(M)\otimes \Gamma (E)}$

такой что

• (условие Коши–Римана) , ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{2}=0}$
• (Правило Лейбница) Для любого сечения и функции на , имеем ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(fs)={\bar {\partial }}(f)\otimes s+f{\bar {\partial }}_{E}(s)}$.

Применяя теорему Ньюлендера–Ниренберга , получаем обратную конструкцию оператора Дольбо голоморфного расслоения: ^[1]

Теорема: Для оператора Дольбо на гладком комплексном векторном расслоении существует единственная голоморфная структура на такая, что является ассоциированным оператором Дольбо, построенным выше. ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$

Относительно голоморфной структуры, индуцированной оператором Дольбо , гладкое сечение голоморфно тогда и только тогда, когда . Это морально похоже на определение гладкого или комплексного многообразия как окольцованного пространства . А именно, достаточно указать, какие функции на топологическом многообразии являются гладкими или комплексными, чтобы наделить его гладкой или комплексной структурой. ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s)=0}$

Оператор Дольбо имеет локальный обратный оператор в терминах гомотопического оператора . ^[2]

Пучки форм со значениями в голоморфном векторном расслоении

Если обозначает пучок C ^∞ дифференциальных форм типа ( p , q ) , то пучок форм типа ( p , q ) со значениями в E можно определить как тензорное произведение ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E.}$

Эти пучки являются тонкими , что означает, что они допускают разбиения единицы . Фундаментальное различие между гладкими и голоморфными векторными расслоениями состоит в том, что в последнем существует канонический дифференциальный оператор, заданный оператором Дольбо, определенным выше:

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{E}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E).}$

Когомологии голоморфных векторных расслоений

Если E — голоморфное векторное расслоение, когомологии E определяются как когомологии пучка . В частности, мы имеем ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),}$

пространство глобальных голоморфных сечений E. Мы также имеем, что параметризует группу расширений тривиального линейного расслоения X посредством E , то есть точные последовательности голоморфных векторных расслоений 0 → E → F → X × C → 0. О структуре группы см. также сумму Бэра, а также расширение пучка . ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))}$

По теореме Дольбо эти когомологии пучка можно альтернативно описать как когомологии цепного комплекса , определяемого пучками форм со значениями в голоморфном расслоении . А именно, мы имеем ${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {O}}(E))=H^{i}(({\mathcal {E}}^{0,\bullet }(E),{\bar {\partial }}_{E})).}$

Группа Пикара

В контексте комплексной дифференциальной геометрии группа Пикара Pic( X ) комплексного многообразия X является группой классов изоморфизма голоморфных линейных расслоений с групповым законом, заданным тензорным произведением, и инверсией, заданной дуализацией. Она может быть эквивалентно определена как первая группа когомологий пучка неисчезающих голоморфных функций. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$

Эрмитовы метрики на голоморфном векторном расслоении

Пусть E — голоморфное векторное расслоение на комплексном многообразии M и предположим, что на E есть эрмитова метрика ; то есть волокна E _x снабжены внутренними произведениями <·,·>, которые меняются гладко. Тогда существует единственная связь ∇ на E , которая совместима как с комплексной структурой, так и с метрической структурой, называемая связью Черна ; то есть ∇ — это связь такая, что

(1) Для любых гладких сечений s множества E , где π _0,1 принимает (0, 1)-компоненту E -значной 1-формы . ${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla s={\bar {\partial }}_{E}s}$

(2) Для любых гладких сечений s , t множества E и векторного поля X на M ,

${\displaystyle X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle }$

где мы записали для сжатия на X. (Это эквивалентно утверждению, что параллельный перенос на ∇ сохраняет метрику <·,·>.) ${\displaystyle \nabla _{X}s}$ ${\displaystyle \nabla s}$

Действительно, если u = ( e ₁ , …, e _n ) — голоморфный фрейм, то пусть и определим ω _u уравнением , которое мы запишем проще как: ${\displaystyle h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle }$ ${\displaystyle \sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}}$

${\displaystyle \omega _{u}=h^{-1}\partial h.}$

Если u' = ug — другой фрейм с голоморфной заменой базиса g , то

${\displaystyle \omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1},}$

и поэтому ω действительно является формой связи , порождающей ∇ по формуле ∇ s = ds + ω · s . Теперь, поскольку , ${\displaystyle {\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}}$

${\displaystyle d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .}$

То есть, ∇ совместимо с метрической структурой. Наконец, поскольку ω является (1, 0)-формой, (0, 1)-компонента равна . ${\displaystyle \nabla s}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}s}$

Пусть будет формой кривизны ∇. Поскольку квадраты равны нулю по определению оператора Дольбо, Ω не имеет (0, 2)-компоненты, и поскольку Ω, как легко показать, является косоэрмитовым ^[3], он также не имеет (2, 0)-компоненты. Следовательно, Ω является (1, 1)-формой, заданной как ${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$ ${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}}$

${\displaystyle \Omega ={\bar {\partial }}_{E}\omega .}$

Кривизна Ω играет важную роль в теоремах об исчезновении для высших когомологий голоморфных векторных расслоений, например, в теореме об исчезновении Кодаиры и теореме об исчезновении Накано .

Смотрите также

• Теорема Биркгофа–Гротендика
• метрика Квиллена
• Серр двойственность

Примечания

1. Кобаяши, С. (2014). Дифференциальная геометрия комплексных векторных расслоений (т. 793). Princeton University Press.
2. Kycia, Radosław Antoni (2020). «Лемма Пуанкаре, антиточные формы и фермионный квантовый гармонический осциллятор». Результаты по математике . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . doi : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN  1422-6383.
3. Например, существование эрмитовой метрики на E означает, что структурная группа расслоения фреймов может быть сведена к унитарной группе и Ω имеет значения в алгебре Ли этой унитарной группы, которая состоит из косоэрмитовых метрик.

Ссылки

• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, г-н  1288523
• «Векторное расслоение, аналитическое», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• Принцип расщепления для голоморфных векторных расслоений