Группа гомеоморфизмов

В математике , особенно в топологии , группа гомеоморфизмов топологического пространства — это группа , состоящая из всех гомеоморфизмов пространства в себя с функциональной композицией в качестве групповой операции . Группы гомеоморфизмов играют очень важную роль в теории топологических пространств и вообще являются примерами групп автоморфизмов . Группы гомеоморфизмов являются топологическими инвариантами в том смысле, что группы гомеоморфизмов гомеоморфных топологических пространств изоморфны как группы .

Свойства и примеры

Существует естественное групповое действие группы гомеоморфизмов пространства на этом пространстве. Пусть – топологическое пространство и обозначает группу гомеоморфизмов через . Действие определяется следующим образом: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\times X&\longrightarrow X\\(\varphi ,x)&\longmapsto \varphi (x)\end{aligned}}}$

Это групповое действие, так как для всех , ${\displaystyle \varphi ,\psi \in G}$

${\displaystyle \varphi \cdot (\psi \cdot x)=\varphi (\psi (x))=(\varphi \circ \psi )(x)}$

где обозначает групповое действие, а элемент идентификации (который является функцией идентификации на ) отправляет точки себе. Если это действие транзитивно , то пространство называется однородным . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Топология

Как и в случае с другими наборами отображений между топологическими пространствами, группе гомеоморфизмов может быть задана топология, например компактно-открытая топология . В случае регулярных локально компактных пространств групповое умножение непрерывно.

Если пространство компактно и хаусдорфово, инверсия также непрерывна и становится топологической группой . Если — Хаусдорф, то это локально компактно и локально связно. ^[1] Однако существуют локально компактные сепарабельные метрические пространства, для которых отображение инверсии не является непрерывным и, следовательно, не является топологической группой. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (X)}$

Группа классов сопоставления

В частности, в геометрической топологии рассматривается факторгруппа , полученная факторизацией по изотопии , называемая группой классов отображений :

${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)={\rm {Homeo}}(X)/{\rm {Homeo}}_{0}(X)}$

MCG также можно интерпретировать как 0-ю гомотопическую группу , . Это дает короткую точную последовательность : ${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo}}(X))}$

${\displaystyle 1\rightarrow {\rm {Homeo}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {Homeo}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.}$

В некоторых приложениях, особенно на поверхностях, группа гомеоморфизмов изучается с помощью этой короткой точной последовательности, сначала изучая группу классов отображений и группу изотопически тривиальных гомеоморфизмов, а затем (иногда) расширение.

Смотрите также

• Группа классов сопоставления

Рекомендации

1. Дейкстра, Ян Дж. (2005), «О группах гомеоморфизмов и компактно-открытой топологии» (PDF) , American Mathematical Monthly , 112 (10): 910–912, doi : 10.2307/30037630, MR  2186833

• «Группа гомеоморфизмов», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]