Гомотетия

Generalized scaling operation in geometry

Гомотетия: пример: для одного получается тождество (ни одна точка не перемещается), для увеличения для сокращения . ${\displaystyle k>0}$
${\displaystyle k=1}$
${\displaystyle k>1}$
${\displaystyle k<1}$

Пример: For one получает точечное отражение в точке ${\displaystyle k<0}$
${\displaystyle k=-1}$ ${\displaystyle S}$

Гомотетия пирамиды

В математике гомотетия (или гомотеция , или однородное расширение ) — это преобразование аффинного пространства , определяемого точкой S , называемой ее центром , и ненулевым числом , называемым ее отношением , которое переводит точку в точку по правилу ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$

${\displaystyle {\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}}$за фиксированное число . ${\displaystyle k\neq 0}$

Использование векторов положения:

${\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$.

В случае (Происхождение): ${\displaystyle S=O}$

${\displaystyle \mathbf {x} '=k\mathbf {x} }$,

который представляет собой равномерное масштабирование и показывает значение специальных вариантов для : ${\displaystyle k}$

поскольку каждый получает отображение идентичности , ${\displaystyle k=1}$

ибо можно получить отражение в центре, ${\displaystyle k=-1}$

Ибо получается обратное отображение, определяемое . ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle k}$

В евклидовой геометрии гомотети — это подобия , которые фиксируют точку и либо сохраняют (если ), либо меняют (если ) направление всех векторов. Вместе с трансляциями все гомотетии аффинного (или евклидова) пространства образуют группу — группу дилатаций или гомотетий-трансляций . Это именно аффинные преобразования , обладающие тем свойством, что образ каждой прямой g является линией , параллельной g . ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle k<0}$

В проективной геометрии гомотетическое преобразование — это преобразование подобия (т. е. фиксирует заданную эллиптическую инволюцию), которое оставляет линию на бесконечности поточечно инвариантной . ^[2]

В евклидовой геометрии гомотетия отношения умножает расстояния между точками на , площади на и объемы на . Вот коэффициент увеличения или коэффициент расширения , или масштабный коэффициент , или коэффициент подобия . Такое преобразование можно назвать расширением , если масштабный коэффициент превышает 1. Упомянутая выше неподвижная точка S называется центром подобия , центром подобия или центром подобия . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |k|}$ ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle |k|^{3}}$ ${\displaystyle k}$

Термин, придуманный французским математиком Мишелем Шалем , происходит от двух греческих элементов: префикса гомо- ( όμο ), означающего «похожий», и тезиса ( Θέσις ), означающего «положение». Он описывает отношения между двумя фигурами одинаковой формы и ориентации. Например, две русские куклы, смотрящие в одну сторону, можно считать гомотетичными.

Гомотетии используются для масштабирования содержимого экранов компьютеров; например, смартфоны, ноутбуки и ноутбуки.

Характеристики

Следующие свойства сохраняются в любом измерении.

Отображение линий, сегментов линий и углов

Гомотетия обладает следующими свойствами:

• Линия отображается на параллельную линию . Следовательно: углы остаются неизменными.
• Соотношение двух отрезков сохраняется.

Оба свойства показывают:

• Гомотетия – это сходство .

Вывод свойств: Для облегчения вычислений предполагается, что центром является начало координат: . Линия с параметрическим представлением отображается на набор точек с уравнением , который является линией, параллельной . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {v} }$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =k(\mathbf {p} +t\mathbf {v} )=k\mathbf {p} +tk\mathbf {v} }$ ${\displaystyle g}$

Расстояние двух точек – это и расстояние между их изображениями. Следовательно, соотношение (частное) двух отрезков остается неизменным. ${\displaystyle P:\mathbf {p} ,\;Q:\mathbf {q} }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$ ${\displaystyle |k\mathbf {p} -k\mathbf {q} |=|k||\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$

В случае расчета аналогичный, но немного расширенный. ${\displaystyle S\neq O}$

Последствия: Треугольник отображается на подобный . Однородным образом круга является круг. Изображение эллипса аналогично . т.е. соотношение двух осей не меняется.

С теоремой о перехвате

Графические конструкции

используя теорему о пересечении

Если для гомотетии с центром задан образ точки (см. схему), то образ второй точки , не лежащей на прямой, можно построить графически с помощью теоремы о пересечении: является общей точкой двух прямых и . Изображение точки, коллинеарной с, можно определить с помощью . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle SP_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {SP_{2}}}}$ ${\displaystyle P_{1},Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{2},Q_{2}}$

Пантограф

Геометрический фон

Пантограф 3d рендеринг

с помощью пантографа

До того, как компьютеры стали повсеместными, масштабирование рисунков выполнялось с помощью пантографа — инструмента, похожего на компас .

Строительная и геометрическая основа:

1. Возьмите 4 стержня и соберите подвижный параллелограмм с вершинами так, чтобы два стержня, сходящиеся в точке, были продолжены на другом конце, как показано на схеме. Выберите соотношение . ${\displaystyle P_{0},Q_{0},H,P}$ ${\displaystyle Q_{0}}$ ${\displaystyle k}$
2. На удлиненных стержнях отметьте две точки такие, что и . Это тот случай, если (Вместо расположения центра можно указать соотношение. В этом случае соотношение .) ${\displaystyle S,Q}$ ${\displaystyle |SQ_{0}|=k|SP_{0}|}$ ${\displaystyle |QQ_{0}|=k|HQ_{0}|}$ ${\displaystyle |SQ_{0}|={\tfrac {k}{k-1}}|P_{0}Q_{0}|.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k=|SQ_{0}|/|SP_{0}|}$
3. Прикрепите подвижные стержни с возможностью вращения в точке . ${\displaystyle S}$
4. Меняйте расположение точки и отметки в каждый момент времени . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Благодаря (см. диаграмму) из теоремы о пересечении получается , что точки коллинеарны (лежат на прямой) и уравнение выполняется. Это показывает: отображение является гомотетией с центром и соотношением . ${\displaystyle |SQ_{0}|/|SP_{0}|=|Q_{0}Q|/|PP_{0}|}$ ${\displaystyle S,P,Q}$ ${\displaystyle |SQ|=k|SP|}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

Состав

Композиция двух гомотетий с отображением центров и отношений снова является гомотетией, центр которой находится на одной линии с соотношением . ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle k_{1}=2,k_{2}=0{.}3}$ ${\displaystyle P_{i}\to Q_{i}\to R_{i}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k\cdot l=0{.}6}$

• Композиция двух гомотетий с одним и тем же центром снова является гомотетией с центром . Гомотетии с центром образуют группу . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• Состав двух гомотетий с разными центрами и их соотношениями равен ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$

в случае гомотетии с центром на прямой и соотношением или ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$

в случае перевода в направлении . Особенно, если ( точечные отражения ). ${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=-1}$

Вывод:

Для композиции двух гомотетий с центрами с ${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{1}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1}),}$

${\displaystyle \sigma _{2}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{2}+k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{2})\ }$

расчетом для изображения точки получаем : ${\displaystyle X:\mathbf {x} }$

${\displaystyle (\sigma _{2}\sigma _{1})(\mathbf {x} )=\mathbf {s} _{2}+k_{2}{\big (}\mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1})-\mathbf {s} _{2}{\big )}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \ =(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}+k_{1}k_{2}\mathbf {x} }$.

Следовательно, композиция

в случае перевода в направлении по вектору . ${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle \ (1-k_{2})(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

в случае точки ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$

${\displaystyle S_{3}:\mathbf {s} _{3}={\frac {(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}}{1-k_{1}k_{2}}}=\mathbf {s} _{1}+{\frac {1-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

является фиксированной точкой (не перемещается) и композиция

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}:\ \mathbf {x} \to \mathbf {s} _{3}+k_{1}k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{3})\quad }$.

является гомотетией с центром и соотношением . лежит на линии . ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$

Сочинение с переводом

• Соединение гомотети и перевода есть гомотетия.

Вывод:

Состав гомотетии

${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,\;}$и перевод

${\displaystyle \tau :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v} }$является

${\displaystyle \tau \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$

${\displaystyle =\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}})\right)}$

что является гомотетией с центром и соотношением . ${\displaystyle \mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}}$ ${\displaystyle k}$

В однородных координатах

Гомотетию с центром можно записать как композицию гомотетии с центром и перевода: ${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$ ${\displaystyle S=(u,v)}$ ${\displaystyle O}$

${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} +(1-k)\mathbf {s} }$.

Следовательно, в однородных координатах может быть представлена ​​матрицей: ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}k&0&(1-k)u\\0&k&(1-k)v\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Линейное преобразование чистой гомотетии также является конформным, поскольку оно состоит из трансляции и равномерного масштаба.

Смотрите также

• Масштабирование (геометрия) - аналогичное понятие в векторных пространствах.
• Гомотетический центр , центр гомотетического преобразования, переводящего одну из пары фигур в другую.
• Гипотеза Хадвигера о количестве строго меньших гомотетических копий выпуклого тела, которые могут понадобиться для его покрытия.
• Гомотетическая функция (экономика) — функция вида f ( U ( y )), в которой U — однородная функция , а f — монотонно возрастающая функция .

Примечания

1. Адамар, с. 145)
2. Туллер (1967, стр. 119)

Рекомендации

• HSM Coxeter, «Введение в геометрию», Wiley (1961), с. 94
• Адамар Ж. Уроки плоской геометрии .
• Месерв, Брюс Э. (1955), «Гомотетические преобразования», « Фундаментальные концепции геометрии» , Аддисон-Уэсли , стр. 166–169.
• Туллер, Аннита (1967), Современное введение в геометрию , Университетская серия по математике для студентов, Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostand Co.

Внешние ссылки

• Гомотетия, интерактивный апплет от Cut-the-Knot .