Градиентная теорема

Вычисляет линейный интеграл через поле градиента, используя исходное скалярное поле.

Теорема о градиенте , также известная как фундаментальная теорема исчисления линейных интегралов , гласит, что линейный интеграл через поле градиента может быть вычислен путем оценки исходного скалярного поля в конечных точках кривой. Теорема является обобщением второй фундаментальной теоремы исчисления на любую кривую на плоскости или в пространстве (обычно n -мерном), а не только на действительную линию.

Для φ  : U ⊆ Rn → ^R как дифференцируемой функции и γ как любой непрерывной кривой в U , которая начинается в точке p и заканчивается в точке q , тогда

$${\displaystyle \int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)}$$

где ∇ φ обозначает векторное поле градиента φ .

Теорема о градиенте подразумевает, что линейные интегралы через градиентные поля не зависят от пути . В физике эта теорема является одним из способов определения консервативной силы . Помещая φ как потенциал, ∇ φ является консервативным полем . Как показывает приведенное выше уравнение, работа , совершаемая консервативными силами, не зависит от пути, по которому движется объект, а только от конечных точек.

Теорема о градиенте также имеет интересное обратное: любое независимое от пути векторное поле можно выразить как градиент скалярного поля . Как и сама теорема о градиенте, это обращение имеет множество поразительных следствий и применений как в чистой, так и в прикладной математике.

Доказательство

Если φ — дифференцируемая функция из некоторого открытого подмножества U ⊆ Rn в ^R , а r — дифференцируемая функция из некоторого замкнутого интервала [ a , b ] в U (обратите внимание, что r дифференцируема в конечных точках интервала a и b . Для этого , r определяется на интервале, который больше, чем [ a , b ] и включает в себя .), то по правилу многомерной цепочки составная функция φ ∘ r дифференцируема на [ a , b ] :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$$

для всех t в [ a , b ] . Здесь ⋅ обозначает обычное скалярное произведение .

Теперь предположим, что область U функции φ содержит дифференцируемую кривую γ с концами p и q . (Она ориентирована в направлении от p к q ). Если r параметризует γ для t в [ a , b ] (т. е. r представляет γ как функцию t ), то

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{aligned}}}$$

где определение линейного интеграла используется в первом равенстве, приведенное выше уравнение используется во втором равенстве, а вторая фундаментальная теорема исчисления используется в третьем равенстве. ^[1]

Даже если теорема о градиенте (также называемая фундаментальной теоремой исчисления для линейных интегралов ) до сих пор была доказана для дифференцируемой (так называемой гладкой) кривой, эта теорема доказывается и для кусочно-гладкой кривой, поскольку эта кривая получается путем соединения несколько дифференцируемых кривых, поэтому доказательство для этой кривой осуществляется путем доказательства для каждого компонента дифференцируемой кривой. ^[2]

Примеры

Пример 1

Предположим, γ ⊂ R ² — дуга окружности, ориентированная против часовой стрелки от (5, 0) до (−4, 3) . Используя определение линейного интеграла ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}}$$

Этот результат можно получить гораздо проще, заметив, что функция имеет градиент , то есть по теореме о градиенте: ${\displaystyle f(x,y)=xy}$ ${\displaystyle \nabla f(x,y)=(y,x)}$

$${\displaystyle \int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\,|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.}$$

Пример 2

В качестве более абстрактного примера предположим, что ^γ ⊂ Rn имеет конечные точки p , q с ориентацией от p к q . Для u в Rn пусть | ^_ ты | обозначаем евклидову норму u . Если α ≥ 1 — действительное число, то

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}}$$

Здесь окончательное равенство следует из теоремы о градиенте, поскольку функция f ( x ) = | х | ^{α +1} дифференцируема на Rn ^, если α ≥ 1 .

Если α < 1 , то это равенство по-прежнему будет выполняться в большинстве случаев, но необходимо соблюдать осторожность, если γ проходит через начало координат или замыкает его, поскольку векторное поле подынтегральной функции | х | ^{α − 1} x здесь определить невозможно. Однако случай α = −1 несколько иной; в этом случае подынтегральная функция становится | х | ⁻² x = ∇(log | x |) , так что окончательное равенство становится log | д | − журнал | р | .

Обратите внимание: если n = 1 , то этот пример представляет собой просто небольшой вариант знакомого правила степени из исчисления с одной переменной.

Пример 3

_{Предположим ,} что имеется n точечных зарядов , расположенных в трехмерном пространстве, и i -й точечный заряд имеет заряд Q _i и расположен в позиции pi в R ³ . Нам хотелось бы вычислить работу , совершаемую частицей с зарядом q при ее перемещении из точки a в точку b в R ³ . Используя закон Кулона , мы легко можем определить, что сила, действующая на частицу в положении r , будет равна

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}}$$

Здесь | ты | обозначает евклидову норму вектора u в R ³ , а k = 1/(4 πε ₀ ) , где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума .

Пусть γ ⊂ R ³ − { p ₁ , ..., p _n } — произвольная дифференцируемая кривая от a до b . Тогда работа, совершенная над частицей, равна

$${\displaystyle W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)}$$

Теперь для каждого i прямые вычисления показывают, что

$${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.}$$

Таким образом, продолжая вышеизложенное и используя теорему о градиенте,

$${\displaystyle W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)}$$

Мы закончили. Конечно, мы могли бы легко выполнить этот расчет, используя мощный язык электростатического потенциала или электростатической потенциальной энергии (с помощью знакомых формул W = -Δ U = - q Δ V ). Однако мы еще не определили потенциал или потенциальную энергию, поскольку обращение теоремы о градиенте требуется для доказательства того, что это четко определенные дифференцируемые функции и что эти формулы верны (см. Ниже). Таким образом, мы решили эту проблему, используя только закон Кулона, определение работы и теорему о градиенте.

Обращение градиентной теоремы

Теорема о градиенте утверждает, что если векторное поле F является градиентом некоторой скалярной функции (т. е. если F консервативно ), то F является векторным полем, независимым от пути (т. е. интегралом F по некоторой кусочно-дифференцируемой кривой). зависит только от конечных точек). Эта теорема имеет мощное обратное:

Теорема  .  Если F — векторное поле, не зависящее от пути, то F — градиент некоторой скалярной функции. ^[3]

Несложно показать, что векторное поле не зависит от пути тогда и только тогда, когда интеграл векторного поля по каждому замкнутому контуру в его области определения равен нулю. Таким образом, обратное можно альтернативно сформулировать следующим образом: если интеграл от F по каждому замкнутому контуру в области определения F равен нулю, то F является градиентом некоторой скалярной функции.

Доказательство обратного

Предположим, что U — открытое , линейно связное ^{подмножество} Rn , а ^F  : U → Rn — непрерывное и независимое от пути векторное поле. Зафиксируйте некоторый элемент a из U и определите f  : U → R по формуле

$${\displaystyle f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }$$

γ [ a , x ]Uaxfопределен,F

Пусть v — любой ненулевой вектор ^из Rn . По определению производной по направлению ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}}$$

параметризовать γ [ x , x + t v ]FUtu ( s ) = x + s v0 < s < tu' ( s ) = v

$${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg |}_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }$$

определения производнойtпервой фундаментальной теоремы исчисления∂ _v fпроизводной по направлениюvv ${\displaystyle f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }$$

определением градиентаffFF^[3] ${\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )}$

Пример обратного принципа

Чтобы проиллюстрировать силу этого обратного принципа, мы приведем пример, имеющий важные физические последствия. В классическом электромагнетизме электрическая сила не зависит от пути; т.е. работа , совершенная над частицей, которая вернулась в исходное положение в электрическом поле , равна нулю (при условии отсутствия изменяющихся магнитных полей ).

Следовательно, из приведенной выше теоремы следует, что электрическое силовое поле F _e  : S → R ³ консервативно (здесь S — некоторое открытое , линейно связное подмножество R ³ , содержащее распределение зарядов ). Следуя идеям приведенного выше доказательства, мы можем установить некоторую опорную точку a в S и определить функцию U _e : S → R по формуле

$${\displaystyle U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }$$

Используя приведенное выше доказательство, мы знаем, что U _e четко определена и дифференцируема, а F _e = −∇ U _e (из этой формулы мы можем использовать градиентную теорему, чтобы легко вывести известную формулу для расчета работы, совершаемой консервативными силами: W = −Δ U ). Эту функцию U _e часто называют электростатической потенциальной энергией системы зарядов в S (относительно нуля потенциала a ). Во многих случаях область S предполагается неограниченной , а опорная точка a принимается равной «бесконечности», что можно сделать строгим, используя методы ограничения. Эта функция U _e является незаменимым инструментом, используемым при анализе многих физических систем.

Обобщения

Многие критические теоремы векторного исчисления элегантно обобщаются на утверждения об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях . На языке дифференциальных форм и внешних производных градиентная теорема утверждает, что

$${\displaystyle \int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi }$$

для любой 0-формы φ , определенной на некоторой дифференцируемой кривой ^γ ⊂ Rn ( здесь под интегралом от φ по границе γ понимается оценка φ в концах γ ).

Обратите внимание на поразительное сходство между этим утверждением и обобщенной теоремой Стокса , которая гласит, что интеграл любой компактной дифференциальной формы ω по границе некоторого ориентируемого многообразия Ω равен интегралу от ее внешней производной d ω по всему Ω. , то есть,

$${\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega }$$

Это мощное утверждение является обобщением теоремы о градиенте от 1-форм, определенных на одномерных многообразиях, до дифференциальных форм, определенных на многообразиях произвольной размерности.

Обратная формулировка градиентной теоремы также имеет мощное обобщение в терминах дифференциальных форм на многообразиях. В частности, предположим, что ω — форма, определенная на сжимаемой области , и интеграл от ω по любому замкнутому многообразию равен нулю. Тогда существует форма ψ такая, что ω = d ψ . Таким образом, в стягиваемой области каждая замкнутая форма точна . Этот результат резюмируется леммой Пуанкаре .

Смотрите также

• Государственная функция
• Скалярный потенциал
• Теорема Жордана о кривой
• Дифференциал функции
• Классическая механика
• Линейный интеграл § Независимость от пути
• Консервативное векторное поле § Независимость от пути

Рекомендации

1. Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Многомерная математика, четвертое издание, с. 374. Пирсон Эдьюкейшн, Инк.
2. Стюарт, Джеймс (2015). «16.3 Основная теорема для линейных интегралов». Исчисление (8-е изд.). Cengage Обучение. стр. 1127–1128. ISBN 978-1-285-74062-1.
3. «Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Многомерная математика, четвертое издание , стр. 410. Pearson Education, Inc.»