stringtranslate.com

Лицо (геометрия)

В геометрии тела грань это плоская поверхность ( плоская область ), которая образует часть границы твердого тела; [1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, называется многогранником . Грань может быть конечной, как многоугольник или круг, или бесконечной, как полуплоскость или плоскость. [2]

В более технических трактовках геометрии многогранников и многогранников более высокой размерности этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего многогранника (в любом числе измерений). [3]

Многоугольное лицо

В элементарной геометрии грань — это многоугольник [примечание 1] на границе многогранника . [ 3] [4] Другие названия многоугольной грани включают сторону многогранника и плитку евклидовой плоскости .

Например, любой из шести квадратов, ограничивающих куб, является гранью куба. Иногда «грань» также используется для обозначения 2-мерных особенностей 4-политопа . В этом смысле 4-мерный тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых разделяет две из 8 кубических ячеек.

Число многоугольных граней многогранника

Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику.

где V — число вершин , E — число ребер , а F — число граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, число граней на 2 больше, чем превышение числа ребер над числом вершин. Например, куб имеет 12 ребер и 8 вершин, и, следовательно, 6 граней.

к-лицо

В многомерной геометрии грани многогранника являются характеристиками всех измерений. [3] [5] [6] Грань размерности k называется k -гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника являются 2-гранями. В теории множеств множество граней многогранника включает сам многогранник и пустое множество, где пустому множеству для согласованности задается «размерность» −1. Для любого n -политопа ( n -мерного многогранника), −1 ≤ kn .

Например, в этом значении грани куба включают в себя сам куб (3-грань), его (квадратные) грани (2-грани), его (отрезки) ребра (1-грани), его (точки) вершины (0-грани) и пустое множество.

В некоторых областях математики, таких как полиэдральная комбинаторика , многогранник по определению является выпуклым. Формально, грань многогранника P — это пересечение P с любым замкнутым полупространством , граница которого не пересекается с внутренностью P. [7] Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество. [ 5] [6]

В других областях математики, таких как теории абстрактных многогранников и звездных многогранников , требование выпуклости смягчено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы множество граней включало сам многогранник и пустое множество.

n -мерный симплекс (отрезок прямой ( n = 1 ), треугольник ( n = 2 ), тетраэдр ( n = 3 ) и т. д.), определяемый n + 1 вершиной, имеет грань для каждого подмножества вершин, от пустого множества до множества всех вершин. В частности, всего имеется 2 n + 1 граней. Число из них, которые являются k -гранями, для k ∈ {−1, 0, ..., n } , является биномиальным коэффициентом .

Существуют специальные названия для k -граней в зависимости от значения k и, в некоторых случаях, от того, насколько близко k к размерности n многогранника.

Вершина или 0-грань

Вершина — общепринятое название 0-гранника.

Край или 1-грань

Эдж — общепринятое название для одногранника.

Лицо или 2 лица

Использование слова face в контексте, где для k -face подразумевается конкретное k , но явно не указано, обычно является двусторонним.

Ячейка или 3-х гранная

Ячейка — это многогранный элемент ( 3-грань ) 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики, или выше. Ячейки — это грани для 4-мерных многогранников и 3-сот.

Примеры:

Грань или (н− 1)-лицо

В многомерной геометрии грани (также называемые гипергранями ) [8] n -политопа являются ( n − 1 )-гранями (гранями размерности на единицу меньше, чем сам политоп). [9] Политоп ограничен своими гранями.

Например:

Хребет или (н− 2)-лицо

В родственной терминологии ( n − 2 ) -грани n-го многогранника называются гребнями (также подгранями ). [10] Гребень рассматривается как граница между ровно двумя гранями многогранника или сот.

Например:

Пик или (н− 3)-лицо

( n − 3 ) -грани n- политопа называются пиками . Пик содержит ось вращения граней и гребней в правильном политопе или сотах.

Например:

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Некоторые другие многоугольники, которые не являются гранями, также важны для многогранников и мозаик. К ним относятся многоугольники Петри , вершинные фигуры и грани (плоские многоугольники, образованные копланарными вершинами, которые не лежат на одной грани многогранника).

Ссылки

  1. Merriam-Webster's Collegiate Dictionary (Одиннадцатое издание). Спрингфилд, Массачусетс: Merriam-Webster . 2004.
  2. ^ Уайли-младший, CR (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 66, ISBN 0-07-072191-2
  3. ^ abc Matoušek, Jiří (2002), Лекции по дискретной геометрии, Graduate Texts in Mathematics , т. 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, стр. 86, ISBN 9780387953748.
  4. ^ Кромвель, Питер Р. (1999), Многогранники, Cambridge University Press, стр. 13, ISBN 9780521664059.
  5. ^ ab Grünbaum, Branko (2003), Выпуклые многогранники , Graduate Texts in Mathematics, т. 221 (2-е изд.), Springer, стр. 17.
  6. ^ ab Ziegler, Günter M. (1995), Лекции по многогранникам, Graduate Texts in Mathematics, т. 152, Springer, Определение 2.1, стр. 51, ISBN 9780387943657.
  7. ^ Матоушек (2002) и Циглер (1995) используют немного иное, но эквивалентное определение, которое сводится к пересечению P либо с гиперплоскостью, не пересекающейся с внутренней частью P , либо со всем пространством.
  8. ^ NW Johnson : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.1 Многогранники и соты, стр.225 
  9. ^ Матушек (2002), с. 87; Грюнбаум (2003), с. 27; Зиглер (1995), с. 17.
  10. ^ Матушек (2002), с. 87; Зиглер (1995), с. 71.

Внешние ссылки