Граница (топология)

Все точки, не входящие в состав подмножества топологического пространства.

Множество (голубой цвет) и его граница (темно-синий цвет).

В топологии и математике в целом граница подмножества S топологического пространства X — это набор точек замыкания S , не принадлежащих внутренней части S. Элемент границы S называется граничной точкой S . Термин « граничная операция» относится к поиску или взятию границы множества. Обозначения, используемые для границы множества S , включают и . ${\displaystyle \operatorname {bd} (S),\operatorname {fr} (S),}$ ${\displaystyle \partial S}$

Некоторые авторы (например, Уиллард в «Общей топологии» ) используют термин « граница» вместо «граница», пытаясь избежать путаницы с другим определением , используемым в алгебраической топологии и теории многообразий . Несмотря на широкое признание значения терминов «граница» и «граница», иногда они использовались для обозначения других наборов. Например, в книге «Метрические пространства» Э.Т. Копсона термин «граница» используется для обозначения границы Хаусдорфа , которая определяется как пересечение множества с его границей. ^[1] Хаусдорф также ввел термин остаток , который определяется как пересечение множества с замыканием границы его дополнения. ^[2]

Определения

Существует несколько эквивалентных определений границы подмножества топологического пространства , которая будет обозначаться или просто, если ее понимать: ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \partial _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} _{X}S,}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle X}$

1. Это закрытие минус внутренняя часть in : _ _ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
   $${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S}$$
   где обозначает замыкание in и обозначает топологическую внутренность in _ ${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$
2. Это пересечение замыкания с замыканием его дополнения : ${\displaystyle S}$
   $${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}$$
3. Это набор точек такой, что каждая окрестность содержит хотя бы одну точку из и хотя бы одну точку не из : ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
   $${\displaystyle \partial S~:=~\{p\in X:{\text{ for every neighborhood }}O{\text{ of }}p,\ O\cap S\neq \varnothing \,{\text{ and }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}.}$$

Граничная точка набора — это любой элемент границы этого набора. Определенную выше границу иногда называют топологической границей множества , чтобы отличить ее от других понятий с аналогичным названием, таких как граница многообразия с краем или граница многообразия с углами , и это лишь несколько примеров. ${\displaystyle \partial _{X}S}$

Связная компонента границы S называется граничной компонентой S .

Характеристики

Замыкание множества равно объединению множества с его границей: ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \partial _{X}S}$$

замыканиезамкнута^[3] ${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \partial _{X}S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}},}$ ${\displaystyle \partial _{X}S}$ ${\displaystyle X.}$

(«Трихотомия»)Для любого подмножества каждая точка лежит ровно в одном из трех наборов и сказано по-разному: ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus S).}$

$${\displaystyle X~=~\left(\operatorname {int} _{X}S\right)\;\cup \;\left(\partial _{X}S\right)\;\cup \;\left(\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)\right)}$$

попарно не пересекаются^{[примечание 1]}раздел ${\displaystyle X.}$

Точка является граничной точкой множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность множества содержит хотя бы одну точку из множества и хотя бы одну точку не из множества. Граница внутренности множества, а также граница замыкания множества содержатся в границе множества. ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle p}$

Концептуальная диаграмма Венна , показывающая отношения между различными точками подмножества = набор предельных точек набора граничных точек области , заштрихованных зеленым цветом = набор внутренних точек области, заштрихованных желтым = набор изолированных точек областей , заштрихованных черным = пустые множества. Каждая точка является либо внутренней точкой, либо граничной точкой. Кроме того, каждая точка является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Аналогично, каждая граничная точка является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Изолированные точки всегда являются граничными точками. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle B=}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Примеры

Характеристики и общие примеры

Множество и его дополнение имеют одну и ту же границу:

$${\displaystyle \partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S).}$$

Множество является плотным открытым подмножеством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial _{X}U=X\setminus U.}$

Внутренность границы замкнутого множества пуста. ^{[доказательство 1]} Следовательно, внутренняя часть границы замыкания множества пуста. Внутренность границы открытого множества также пуста. ^{[доказательство 2]} Следовательно, внутренняя часть границы внутреннего множества пуста. В частности, если — замкнутое или открытое подмножество, то не существует непустого подмножества, такого, которое было бы открыто в. Этот факт важен для определения и использования нигде не плотных подмножеств , скудных подмножеств и пространств Бэра . ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Множество является границей некоторого открытого множества тогда и только тогда, когда оно замкнуто и нигде не плотно . Граница множества пуста тогда и только тогда, когда множество одновременно замкнуто и открыто (т. е. замкнуто-открытое множество ).

Конкретные примеры

Граница гиперболических компонент множества Мандельброта

Рассмотрим действительную линию с обычной топологией (то есть топологией, базисными наборами которой являются открытые интервалы ) и подмножеством рациональных чисел ( топологическая внутренность которой в пуста). Затем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}$
• ${\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}$

Эти два последних примера иллюстрируют тот факт, что граница плотного множества с пустой внутренностью является его замыканием. Они также показывают, что граница подмножества может содержать непустое открытое подмножество ; то есть чтобы внутренняя часть in была непустой. Однако граница закрытого подмножества всегда имеет пустую внутреннюю часть. ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle X}$

В пространстве рациональных чисел с обычной топологией ( топология подпространства ) граница где иррациональна, пуста. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-\infty ,a),}$ ${\displaystyle a}$

Граница множества является топологическим понятием и может измениться при изменении топологии. Например, при обычной топологии на границе замкнутого диска находится окружающая его окружность: Если диск рассматривать как множество со своей обычной топологией, то есть, то границей диска является сам диск: Если диск рассматривается как собственное топологическое пространство (с топологией подпространства ), то граница диска пуста. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle \partial \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\right\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y,0):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$ ${\displaystyle \partial \Omega =\Omega .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Граница открытого шара и окружающей его сферы

Этот пример демонстрирует, что топологическая граница открытого шара радиуса не обязательно равна соответствующей сфере радиуса (с центром в той же точке); это также показывает, что закрытие открытого шара радиуса не обязательно равно закрытому шару радиуса (опять же с центром в той же точке). Обозначим обычную евклидову метрику на ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle d((a,b),(x,y)):={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}}$$

евклидову топологию ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y:=\{0\}\times \mathbb {R} }$

$${\displaystyle S^{1}:=\left\{p\in \mathbb {R} ^{2}:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$$

топологическим подпространствомметрическое пространствополное метрическое пространство линейнойлокальной линейной связности ${\displaystyle \mathbf {0} :=(0,0)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X:=Y\cup S^{1},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle d.}$ ${\displaystyle Y,S^{1},Y\cap S^{1}=\{(0,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d)}$

Обозначим открытый шар радиуса in так , что когда тогда ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle B_{r}:=\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )<r\right\}}$ ${\displaystyle r=1}$

$${\displaystyle B_{1}=\{0\}\times (-1,1)}$$

${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=-1}$ ${\displaystyle y=1.}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle r=1}$

$${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}}$$

${\displaystyle (X,d)}$

$${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right).}$$

Однако топологическая граница и топологическое замыкание открытого единичного шара : ${\displaystyle \partial _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}}$

$${\displaystyle \partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {cl} _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \partial _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}~=~\{0\}\times [-1,1].}$$

собственным ${\displaystyle \partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}}$ ${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}}$ ${\displaystyle (X,d).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}=B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}}$ ${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right)}$ ${\displaystyle (X,d).}$ ${\displaystyle (1,0)\in X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}=\{0\}\times (-1,1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}.}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle \partial _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,1].}$

В любом метрическом пространстве топологическая граница открытого шара радиуса с центром в точке всегда является подмножеством сферы радиуса с центром в той же точке ; то есть, ${\displaystyle (M,\rho ),}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\in M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \partial _{M}\left(\left\{m\in M:\rho (m,c)<r\right\}\right)~\subseteq ~\left\{m\in M:\rho (m,c)=r\right\}}$$

Более того, единичная сфера in содержит открытое подмножество ^{[доказательство 3]} . Это показывает, в частности, что единичная сфера in содержит непустое открытое подмножество ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X\setminus Y=S^{1}\setminus \{(0,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X.}$

Граница границы

Для любого множества где обозначает надмножество с соблюдением равенства тогда и только тогда, когда граница не имеет внутренних точек, что будет иметь место, например, если оно либо замкнуто, либо открыто. Поскольку граница множества замкнута, для любого множества граничный оператор, таким образом, удовлетворяет ослабленному виду идемпотентности . ${\displaystyle S,\partial S\supseteq \partial \partial S,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial \partial S=\partial \partial \partial S}$ ${\displaystyle S.}$

При обсуждении границ многообразий или симплексов и их симплициальных комплексов часто встречается утверждение, что граница границы всегда пуста. Действительно, построение сингулярных гомологии критически опирается на этот факт. Объяснение кажущегося несоответствия состоит в том, что топологическая граница (предмет этой статьи) — это немного отличное понятие от границы многообразия или симплициального комплекса. Например, граница открытого диска, рассматриваемого как многообразие, пуста, как и его топологическая граница, рассматриваемая как его подмножество, а его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, представляет собой круг, окружающий диск. И наоборот, граница замкнутого диска, рассматриваемого как многообразие, представляет собой ограничивающий круг, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как его подмножество, пуста. В частности, топологическая граница зависит от объемлющего пространства, а граница многообразия инвариантна.

Смотрите также

• Более подробную информацию см. в обсуждении границы в топологическом многообразии .
• Граница многообразия  - топологическое пространство, локально напоминающее евклидово пространство.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Граничная точка  - математическое понятие, связанное с подмножествами векторных пространств.
• Замыкание (топология)  - все точки и предельные точки в подмножестве топологического пространства.
• Внешний вид (топология) - наибольшее открытое множество, не пересекающееся с некоторым заданным множеством.
• Интерьер (топология)  - наибольшее открытое подмножество некоторого заданного набора.
• Нигде плотное множество  - математическое множество, замыкание которого имеет пустую внутреннюю часть.
• Теорема Лебега о плотности для теоретико-мерной характеристики и свойств границы
• Поверхность (топология)  – двумерное многообразие.

Примечания

1. Условие непустости этих множеств необходимо, поскольку множества в разделе по определению должны быть непустыми.

1. Пусть будет замкнутым подмножеством так что и, следовательно, также Если является открытым подмножеством такого, что тогда (потому что ) так что (потому что по определению это самое большое открытое подмножество, содержащееся в ). Но подразумевается, что Таким образом одновременно является подмножеством и непересекающимся с ним, что возможно только в том случае, если КЭД ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {S}}=S}$ ${\displaystyle \partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}$ ${\displaystyle U\subseteq S}$ ${\displaystyle \partial _{X}S\subseteq S}$ ${\displaystyle U\subseteq \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle U\cap \operatorname {int} _{X}S=\varnothing .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,}$ ${\displaystyle U=\varnothing .}$
2. Пусть будет открытым подмножеством так, что Пусть так, что подразумевает, что Если тогда выберите так, чтобы Потому что это открытая окрестность in , и определение топологического замыкания подразумевает то, что является противоречием. Альтернативно, если открыто, то закрыто, так что, используя общую формулу и тот факт, что внутренняя часть границы замкнутого множества (например, ) пуста, следует, что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S={\overline {S}}\setminus S.}$ ${\displaystyle U:=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)}$ ${\displaystyle U=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)\subseteq \partial _{X}S={\overline {S}}\setminus S,}$ ${\displaystyle U\cap S=\varnothing .}$ ${\displaystyle U\neq \varnothing }$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle u\in U\subseteq \partial _{X}S\subseteq {\overline {S}}.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\in {\overline {S}},}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle U\cap S\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S)}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\partial _{X}S=\operatorname {int} _{X}\partial _{X}(X\setminus S)=\varnothing .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. -ось замкнута, потому что она является продуктом двух замкнутых подмножеств Следовательно, является открытым подмножеством Потому что топология подпространства, индуцированная пересечением , является открытым подмножеством ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y=\{0\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle X\cap \left(\mathbb {R} ^{2}\setminus Y\right)=X\setminus Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Цитаты

1. Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Лейпциг: Файт. п. 214. ИСБН 978-0-8284-0061-9.Перепечатано Челси в 1949 году.
2. Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Лейпциг: Файт. п. 281. ИСБН 978-0-8284-0061-9.Перепечатано Челси в 1949 году.
3. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 86. ИСБН 0-486-66352-3. Следствие 4.15. Для каждого подмножества замкнуто. ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bdry} (A)}$

Рекомендации

• Манкрес, младший (2000). Топология . Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2.
• Уиллард, С. (1970). Общая топология . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-08707-3.
• ван ден Дрис, Л. (1998). Прирученная топология . ISBN 978-0521598385.