Пограничный слой

Слой жидкости в непосредственной близости от ограничивающей поверхности

Пограничный слой вокруг человеческой руки, шлирен-фотография . Пограничный слой — это ярко-зеленая граница, наиболее заметная на тыльной стороне руки (кликните для получения изображения с высоким разрешением).

В физике и механике жидкости пограничный слой — это тонкий слой жидкости в непосредственной близости от ограничивающей поверхности, образованный жидкостью, текущей вдоль поверхности. Взаимодействие жидкости со стенкой вызывает граничное условие отсутствия скольжения (нулевая скорость у стенки). Затем скорость потока монотонно увеличивается над поверхностью, пока не вернется к объемной скорости потока. Тонкий слой, состоящий из жидкости, скорость которой еще не вернулась к объемной скорости потока, называется пограничным слоем скорости.

Воздух рядом с человеком нагревается, что приводит к конвективному потоку воздуха, вызванному гравитацией, что приводит к образованию как скоростного, так и теплового пограничного слоя. Ветерок нарушает пограничный слой, а волосы и одежда защищают его, заставляя человека чувствовать себя прохладнее или теплее. На крыле самолета пограничный слой скорости — это часть потока, близкая к крылу, где вязкие силы искажают окружающий невязкий поток. В атмосфере Земли пограничный слой атмосферы — это слой воздуха (~ 1 км) у земли. На него влияет поверхность; дневные и ночные тепловые потоки, вызванные нагревом земли солнцем, влагой или передачей импульса к поверхности или от нее.

Типы пограничных слоев

Визуализация пограничного слоя, показывающая переход от ламинарного к турбулентному состоянию

Ламинарные пограничные слои можно приблизительно классифицировать по их структуре и обстоятельствам, при которых они создаются. Тонкий сдвиговой слой, который развивается на колеблющемся теле, является примером пограничного слоя Стокса , в то время как пограничный слой Блазиуса относится к хорошо известному решению подобия вблизи прикрепленной плоской пластины, удерживаемой в набегающем однонаправленном потоке, и пограничному слою Фолкнера–Скана , обобщению профиля Блазиуса. Когда жидкость вращается и вязкие силы уравновешиваются эффектом Кориолиса (а не конвективной инерцией), образуется слой Экмана . В теории теплопередачи возникает тепловой пограничный слой. Поверхность может иметь несколько типов пограничного слоя одновременно.

Вязкая природа воздушного потока снижает локальные скорости на поверхности и отвечает за поверхностное трение. Слой воздуха над поверхностью крыла, который замедляется или останавливается вязкостью, является пограничным слоем. Существует два различных типа течения в пограничном слое: ламинарный и турбулентный. ^[1]

Ламинарный поток в пограничном слое

Ламинарный пограничный слой представляет собой очень плавный поток, в то время как турбулентный пограничный слой содержит завихрения или «вихри». Ламинарный поток создает меньшее сопротивление трения поверхности, чем турбулентный поток, но менее стабилен. Поток пограничного слоя над поверхностью крыла начинается как плавный ламинарный поток. По мере того, как поток продолжается от передней кромки, ламинарный пограничный слой увеличивается в толщине.

Турбулентный поток в пограничном слое

На некотором расстоянии от передней кромки плавный ламинарный поток разрушается и переходит в турбулентный поток. С точки зрения сопротивления желательно, чтобы переход от ламинарного к турбулентному потоку находился как можно дальше сзади на крыле или чтобы большая часть поверхности крыла находилась в ламинарной части пограничного слоя. Однако низкоэнергетический ламинарный поток имеет тенденцию разрушаться более внезапно, чем турбулентный слой.

Концепция пограничного слоя Прандтля

Людвиг Прандтль

Профиль скорости ламинарного пограничного слоя

Аэродинамический пограничный слой был впервые выдвинут Людвигом Прандтлем в докладе, представленном 12 августа 1904 года на третьем Международном конгрессе математиков в Гейдельберге, Германия . Он упрощает уравнения потока жидкости, разделяя поле потока на две области: одну внутри пограничного слоя, где доминирует вязкость и которая создает большую часть сопротивления, испытываемого граничным телом; и одну вне пограничного слоя, где вязкостью можно пренебречь без существенного влияния на решение. Это позволяет получить замкнутое решение для потока в обеих областях, значительно упростив полные уравнения Навье-Стокса . Та же гипотеза применима к другим жидкостям (кроме воздуха) с умеренной или низкой вязкостью, таким как вода. Для случая, когда существует разница температур между поверхностью и объемом жидкости, обнаружено, что большая часть передачи тепла к телу и от него происходит вблизи пограничного слоя скорости. Это снова позволяет упростить уравнения в поле потока вне пограничного слоя. Распределение давления в пограничном слое в направлении, нормальном к поверхности (например, к аэродинамическому профилю ), остается относительно постоянным во всем пограничном слое и таким же, как и на самой поверхности.

Толщина пограничного слоя скорости обычно определяется как расстояние от твердого тела до точки, в которой скорость вязкого потока составляет 99% от скорости свободного потока (поверхностной скорости невязкого потока). ^[2] Толщина смещения — это альтернативное определение, утверждающее, что пограничный слой представляет собой дефицит массового потока по сравнению с невязким потоком со скольжением у стенки. Это расстояние, на которое стенка должна была бы сместиться в невязком случае, чтобы дать тот же общий массовый поток, что и в вязком случае. Условие отсутствия скольжения требует, чтобы скорость потока на поверхности твердого объекта была равна нулю, а температура жидкости была равна температуре поверхности. Затем скорость потока будет быстро увеличиваться в пограничном слое, управляемая уравнениями пограничного слоя, приведенными ниже.

Толщина теплового пограничного слоя аналогично является расстоянием от тела, на котором температура составляет 99% от температуры набегающего потока. Соотношение двух толщин регулируется числом Прандтля . Если число Прандтля равно 1, два пограничных слоя имеют одинаковую толщину. Если число Прандтля больше 1, тепловой пограничный слой тоньше пограничного слоя скорости. Если число Прандтля меньше 1, что имеет место для воздуха при стандартных условиях, тепловой пограничный слой толще пограничного слоя скорости.

В высокопроизводительных конструкциях, таких как планеры и коммерческие самолеты, большое внимание уделяется контролю поведения пограничного слоя для минимизации сопротивления. Необходимо учитывать два эффекта. Во-первых, пограничный слой увеличивает эффективную толщину тела за счет толщины смещения , тем самым увеличивая сопротивление давления. Во-вторых, силы сдвига на поверхности крыла создают сопротивление трения обшивки .

При высоких числах Рейнольдса , типичных для полноразмерных самолетов, желательно иметь ламинарный пограничный слой. Это приводит к меньшему поверхностному трению из-за характерного профиля скорости ламинарного потока. Однако пограничный слой неизбежно утолщается и становится менее стабильным по мере развития потока вдоль тела и в конечном итоге становится турбулентным , процесс, известный как переход пограничного слоя . Одним из способов решения этой проблемы является отсасывание пограничного слоя через пористую поверхность (см. Отсасывание пограничного слоя ). Это может уменьшить сопротивление, но обычно непрактично из-за его механической сложности и мощности, необходимой для перемещения воздуха и его утилизации. Методы естественного ламинарного потока (NLF) отодвигают переход пограничного слоя назад, изменяя форму аэродинамического профиля или фюзеляжа таким образом, чтобы его самая толстая точка находилась дальше сзади и была менее толстой. Это снижает скорости в передней части, и то же число Рейнольдса достигается при большей длине.

При более низких числах Рейнольдса , таких как те, которые наблюдаются у моделей самолетов, относительно легко поддерживать ламинарный поток. Это обеспечивает низкое поверхностное трение, что желательно. Однако тот же профиль скорости, который обеспечивает ламинарному пограничному слою низкое поверхностное трение, также приводит к тому, что на него сильно влияют неблагоприятные градиенты давления . Когда давление начинает восстанавливаться над задней частью хорды крыла, ламинарный пограничный слой будет стремиться отделиться от поверхности. Такой отрыв потока вызывает значительное увеличение сопротивления давления , поскольку он значительно увеличивает эффективный размер сечения крыла. В этих случаях может быть выгодно намеренно ввести пограничный слой в турбулентность в точке до места ламинарного отрыва, используя турбулизатор . Более полный профиль скорости турбулентного пограничного слоя позволяет ему выдерживать неблагоприятный градиент давления без отрыва. Таким образом, хотя поверхностное трение увеличивается, общее сопротивление уменьшается. Это принцип, лежащий в основе образования ямок на мячах для гольфа, а также вихревых генераторов на самолетах. Также были разработаны специальные секции крыла, которые адаптируют восстановление давления, чтобы ламинарный отрыв был уменьшен или даже устранен. Это представляет собой оптимальный компромисс между сопротивлением давления от отрыва потока и трением поверхности от индуцированной турбулентности.

При использовании полумоделей в аэродинамических трубах иногда используют пениш , чтобы уменьшить или исключить влияние пограничного слоя.

Уравнения пограничного слоя

Вывод уравнений пограничного слоя был одним из важнейших достижений в гидродинамике. Используя анализ порядка величины , известные основные уравнения Навье–Стокса течения вязкой жидкости могут быть значительно упрощены в пограничном слое. В частности, характеристика уравнений в частных производных (PDE) становится параболической, а не эллиптической формой полных уравнений Навье–Стокса. Это значительно упрощает решение уравнений. Применяя приближение пограничного слоя, поток разделяется на невязкую часть (которую легко решить рядом методов) и пограничный слой, который управляется более простым для решения PDE . Уравнения непрерывности и Навье–Стокса для двумерного стационарного несжимаемого потока в декартовых координатах задаются как

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)}$

${\displaystyle u{\partial \upsilon \over \partial x}+\upsilon {\partial \upsilon \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }\left({\partial ^{2}\upsilon \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\upsilon \over \partial y^{2}}\right)}$

где и — компоненты скорости, — плотность, — давление, — кинематическая вязкость жидкости в точке. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \upsilon }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu }$

Приближение утверждает, что при достаточно высоком числе Рейнольдса поток над поверхностью можно разделить на внешнюю область невязкого потока, не подверженную вязкости (большая часть потока), и область вблизи поверхности, где вязкость важна (пограничный слой). Пусть и будут соответственно продольной и поперечной (нормалью к стенке) скоростями внутри пограничного слоя. Используя масштабный анализ , можно показать, что приведенные выше уравнения движения уменьшаются внутри пограничного слоя, становясь ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \upsilon }$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}=0}$

и если жидкость несжимаема (как жидкости при стандартных условиях):

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}$

Анализ порядка величины предполагает, что продольный масштаб длины значительно больше поперечного масштаба длины внутри пограничного слоя. Из этого следует, что изменения свойств в продольном направлении, как правило, намного ниже, чем в направлении, нормальном к стенке. Применение этого к уравнению непрерывности показывает, что , нормальная к стенке скорость, мала по сравнению с продольной скоростью. ${\displaystyle \upsilon }$ ${\displaystyle u}$

Поскольку статическое давление не зависит от , то давление на краю пограничного слоя является давлением во всем пограничном слое в заданном положении по потоку. Внешнее давление может быть получено путем применения уравнения Бернулли . Пусть будет скоростью жидкости вне пограничного слоя, где и оба параллельны. Это дает при подстановке следующий результат ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=U{\frac {dU}{dx}}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

Для потока, в котором статическое давление также не изменяется в направлении потока ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dx}}=0}$

поэтому остается постоянным. ${\displaystyle U}$

Поэтому уравнение движения упрощается и принимает вид

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}={\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

Эти приближения используются в различных практических задачах потока, представляющих научный и инженерный интерес. Приведенный выше анализ относится к любому мгновенному ламинарному или турбулентному пограничному слою, но в основном используется в исследованиях ламинарного потока, поскольку средний поток также является мгновенным потоком, поскольку отсутствуют флуктуации скорости. Это упрощенное уравнение является параболическим уравнением с частными производными и может быть решено с использованием решения подобия, часто называемого пограничным слоем Блазиуса .

Теорема Прандтля о транспонировании

Прандтль заметил, что из любого решения , удовлетворяющего уравнениям пограничного слоя, можно построить дальнейшее решение, также удовлетворяющее уравнениям пограничного слоя, записав ^[3] ${\displaystyle u(x,y,t),\ v(x,y,t)}$ ${\displaystyle u^{*}(x,y,t),\ v^{*}(x,y,t)}$

${\displaystyle u^{*}(x,y,t)=u(x,y+f(x),t),\quad v^{*}(x,y,t)=v(x,y+f(x),t)-f'(x)u(x,y+f(x),t)}$

где произвольно. Поскольку решение не является уникальным с математической точки зрения, ^[4] к решению можно добавить любую из бесконечного набора собственных функций, как показано Стюартсоном ^[5] и Полом А. Либби . ^{[6] [7]} ${\displaystyle f(x)}$

Интеграл импульса фон Кармана

Фон Карман вывел интегральное уравнение путем интегрирования уравнения пограничного слоя по всему пограничному слою в 1921 году. ^[8] Уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\tau _{w}}{\rho U^{2}}}={\frac {1}{U^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(U\delta _{1})+{\frac {\partial \delta _{2}}{\partial x}}+{\frac {2\delta _{2}+\delta _{1}}{U}}{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}}$

где

${\displaystyle \tau _{w}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0},\quad v_{w}=v(x,0,t),\quad \delta _{1}=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy,\quad \delta _{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy}$

${\displaystyle \tau _{w}}$— касательное напряжение стенки, — скорость всасывания/впрыска на стенке, — толщина смещения, — толщина импульса. Из этого уравнения выводится приближение Кармана–Польхаузена. ${\displaystyle v_{w}}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$

Интеграл энергии

Интеграл энергии был выведен Вигхардтом. ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\frac {2\varepsilon }{\rho U^{3}}}={\frac {1}{U}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\delta _{1}+\delta _{2})+{\frac {2\delta _{2}}{U^{2}}}{\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {1}{U^{3}}}{\frac {\partial }{\partial x}}(U^{3}\delta _{3})+{\frac {v_{w}}{U}}}$

где

${\displaystyle \varepsilon =\int _{0}^{\infty }\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}dy,\quad \delta _{3}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u^{2}}{U^{2}}}\right)\,dy}$

${\displaystyle \varepsilon }$— скорость рассеивания энергии из-за вязкости через пограничный слой, — толщина энергии. ^[11] ${\displaystyle \delta _{3}}$

Преобразование фон Мизеса

Для устойчивых двумерных пограничных слоев фон Мизес ^[12] ввел преобразование, которое берет и ( функцию потока ) в качестве независимых переменных вместо и и использует зависимую переменную вместо . Уравнение пограничного слоя тогда становится ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \chi =U^{2}-u^{2}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial \chi }{\partial x}}=\nu {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial \psi ^{2}}}}$

Исходные переменные восстанавливаются из

${\displaystyle y=\int {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,d\psi ,\quad u={\sqrt {U^{2}-\chi }},\quad v=u\int {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{u}}\right)\,d\psi .}$

Это преобразование позднее было распространено на сжимаемый пограничный слой фон Карманом и Х. С. Циеном . ^[13]

Трансформация Крокко

Для стационарного двумерного сжимаемого пограничного слоя Луиджи Крокко ^[14] ввел преобразование, которое принимает и в качестве независимых переменных вместо и и использует зависимую переменную (напряжение сдвига) вместо . Уравнение пограничного слоя тогда становится ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \tau =\mu \partial u/\partial y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu \rho u{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}-\mu {\frac {dp}{dx}}{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)=0,\\[5pt]&{\text{if }}{\frac {dp}{dx}}=0,{\text{ then }}{\frac {\mu \rho }{\tau ^{2}}}{\frac {\partial \tau }{\partial x}}={\frac {1}{u}}{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}.\end{aligned}}}$

Исходная координата восстанавливается из

${\displaystyle y=\mu \int {\frac {du}{\tau }}.}$

Турбулентные пограничные слои

Обработка турбулентных пограничных слоев гораздо сложнее из-за зависящего от времени изменения свойств потока. Одним из наиболее широко используемых методов, в котором рассматриваются турбулентные потоки, является применение разложения Рейнольдса . Здесь мгновенные свойства потока разлагаются на среднюю и флуктуирующую составляющую с предположением, что среднее значение флуктуирующей составляющей всегда равно нулю. Применение этого метода к уравнениям пограничного слоя дает полные уравнения турбулентного пограничного слоя, которые нечасто приводятся в литературе:

${\displaystyle {\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=0}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'^{2}}})}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {v}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial y}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {v'^{2}}})}$

Используя аналогичный анализ порядка величины, приведенные выше уравнения можно свести к членам ведущего порядка. Выбирая масштабы длины для изменений в поперечном направлении и для изменений в продольном направлении, с , уравнение x-импульса упрощается до: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \delta <<L}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

Это уравнение не удовлетворяет условию отсутствия скольжения на стенке. Как это сделал Прандтль для своих уравнений пограничного слоя, необходимо использовать новый, меньший масштаб длины, чтобы позволить вязкому члену стать ведущим порядком в уравнении импульса. При выборе в качестве y -шкалы уравнение импульса ведущего порядка для этого «внутреннего пограничного слоя» задается как: ${\displaystyle \eta <<\delta }$

${\displaystyle 0=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

В пределе бесконечного числа Рейнольдса можно показать, что член градиента давления не оказывает никакого влияния на внутреннюю область турбулентного пограничного слоя. Новый «внутренний масштаб длины» является вязким масштабом длины и имеет порядок , причем является масштабом скорости турбулентных флуктуаций, в данном случае скоростью трения . ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\frac {\nu }{u_{*}}}}$ ${\displaystyle u_{*}}$

В отличие от уравнений ламинарного пограничного слоя, наличие двух режимов, управляемых различными наборами масштабов потока (т. е. внутренним и внешним масштабированием), сделало поиск универсального решения подобия для турбулентного пограничного слоя сложным и спорным. Чтобы найти решение подобия, которое охватывает обе области потока, необходимо асимптотически сопоставить решения из обеих областей потока. Такой анализ даст либо так называемый логарифмический , либо степенной закон .

Аналогичные подходы к вышеприведенному анализу также применялись для тепловых пограничных слоев с использованием уравнения энергии в сжимаемых потоках. ^{[15] [16]}

Дополнительный член в уравнениях турбулентного пограничного слоя известен как касательное напряжение Рейнольдса и априори неизвестен . Поэтому решение уравнений турбулентного пограничного слоя требует использования модели турбулентности , которая стремится выразить касательное напряжение Рейнольдса в терминах известных переменных потока или производных. Отсутствие точности и общности таких моделей является основным препятствием для успешного прогнозирования свойств турбулентного потока в современной гидродинамике. ${\displaystyle {\overline {u'v'}}}$

В области вблизи стенки существует постоянный слой напряжения. Из-за затухания вертикальных колебаний скорости вблизи стенки член напряжения Рейнольдса станет пренебрежимо малым, и мы обнаружим, что существует линейный профиль скорости. Это справедливо только для области вблизи стенки .

Тепло- и массоперенос

В 1928 году французский инженер Андре Левек заметил, что конвективный перенос тепла в текущей жидкости зависит только от значений скорости, очень близких к поверхности. ^{[17] [18]} Для потоков с большим числом Прандтля переход температуры/массы от поверхности к температуре свободного потока происходит через очень тонкую область, близкую к поверхности. Поэтому наиболее важными скоростями жидкости являются те, которые находятся внутри этой очень тонкой области, в которой изменение скорости можно считать линейным с нормальным расстоянием от поверхности. Таким образом, для

${\displaystyle u(y)=U\left[1-{\frac {(y-h)^{2}}{h^{2}}}\right]=U{\frac {y}{h}}\left[2-{\frac {y}{h}}\right]\;,}$

когда , то ${\displaystyle y\rightarrow 0}$

${\displaystyle u(y)\approx 2U{\frac {y}{h}}=\theta y,}$

где θ — касательная параболы Пуазейля, пересекающей стенку. Хотя решение Левека было специфичным для передачи тепла в поток Пуазейля, его понимание помогло другим ученым прийти к точному решению проблемы теплового пограничного слоя. ^[19] Шу заметил, что в пограничном слое u снова является линейной функцией y , но в этом случае касательная к стенке является функцией x . ^[20] Он выразил это с помощью модифицированной версии профиля Левека,

${\displaystyle u(y)=\theta (x)y.}$

Это приводит к очень хорошему приближению, даже для малых чисел, так что только жидкие металлы с намного меньшими 1 не могут рассматриваться таким образом. ^[19] В 1962 году Кестин и Персен опубликовали статью, описывающую решения для теплопередачи, когда тепловой пограничный слой полностью содержится в слое импульса и для различных распределений температуры стенки. ^[21] Для задачи плоской пластины со скачком температуры при они предлагают замену, которая сводит параболическое уравнение теплового пограничного слоя к обыкновенному дифференциальному уравнению. Решение этого уравнения, температура в любой точке жидкости, может быть выражена как неполная гамма-функция . ^[18] Шлихтинг предложил эквивалентную замену, которая сводит уравнение теплового пограничного слоя к обыкновенному дифференциальному уравнению, решением которого является та же неполная гамма-функция. ^[22] Аналитические решения могут быть получены с помощью зависящего от времени самоподобного анзаца для уравнений несжимаемого пограничного слоя, включая теплопроводность. ^[23] ${\displaystyle Pr}$ ${\displaystyle Pr}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$

Как хорошо известно из нескольких учебников, теплопередача имеет тенденцию к уменьшению с увеличением пограничного слоя. Недавно было замечено на практике и в больших масштабах, что ветер, протекающий через фотоэлектрический генератор, имеет тенденцию «задерживать» тепло в фотоэлектрических панелях в турбулентном режиме из-за уменьшения теплопередачи. ^[24] Несмотря на то, что его часто считают изначально турбулентным, это случайное наблюдение показывает, что естественный ветер на практике ведет себя очень близко к идеальной жидкости, по крайней мере, в наблюдении, напоминающем ожидаемое поведение в плоской пластине, что потенциально снижает сложность анализа такого рода явлений в больших масштабах.

Константы конвективного переноса из анализа пограничного слоя

Пауль Ричард Генрих Блазиус вывел точное решение приведенных выше уравнений ламинарного пограничного слоя . ^[25] Толщина пограничного слоя является функцией числа Рейнольдса для ламинарного течения. ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta \approx 5.0{x \over {\sqrt {Re}}}}$

${\displaystyle \delta }$= толщина пограничного слоя: область потока, где скорость составляет менее 99% от скорости в дальнем поле ; - положение вдоль полубесконечной пластины, а - число Рейнольдса, определяемое соотношением ( плотность и динамическая вязкость). ${\displaystyle v_{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle \rho v_{\infty }x/\mu }$ ${\displaystyle \rho =}$ ${\displaystyle \mu =}$

Решение Блазиуса использует граничные условия в безразмерной форме:

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}={v_{y} \over v_{\infty }}=0}$     в      ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}=1}$     в и      ${\displaystyle y=\infty }$ ${\displaystyle x=0}$

Пограничный слой скорости (вверху, оранжевый) и пограничный слой температуры (внизу, зеленый) имеют общую функциональную форму из-за сходства балансов импульса/энергии и граничных условий.

Обратите внимание, что во многих случаях граничное условие отсутствия проскальзывания выполняется так , что скорость жидкости на поверхности пластины равна скорости пластины во всех местах. Если пластина не движется, то . Если допускается проскальзывание жидкости, требуется гораздо более сложный вывод. ^[26] ${\displaystyle v_{S}}$ ${\displaystyle v_{S}=0}$

Фактически, решение Блазиуса для ламинарного профиля скорости в пограничном слое над полубесконечной пластиной может быть легко расширено для описания термического и концентрационного пограничных слоев для тепло- и массопереноса соответственно. Вместо дифференциального баланса x-импульса (уравнения движения) здесь используется аналогично выведенный баланс энергии и массы:

Энергия:         ${\displaystyle v_{x}{\partial T \over \partial x}+v_{y}{\partial T \over \partial y}={k \over \rho C_{p}}{\partial ^{2}T \over \partial y^{2}}}$

Масса:           ${\displaystyle v_{x}{\partial c_{A} \over \partial x}+v_{y}{\partial c_{A} \over \partial y}=D_{AB}{\partial ^{2}c_{A} \over \partial y^{2}}}$

Для баланса импульса кинематическую вязкость можно считать коэффициентом диффузии импульса . В балансе энергии он заменяется на температуропроводность , а в балансе массы — на массопроводность . В температуропроводности вещества — его теплопроводность, — его плотность, — его теплоемкость. Нижний индекс AB обозначает диффузию вида A, диффундирующего в вид B. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \alpha ={k/\rho C_{P}}}$ ${\displaystyle D_{AB}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle C_{P}}$

При предположении, что , эти уравнения становятся эквивалентными балансу импульса. Таким образом, для числа Прандтля и числа Шмидта решение Блазиуса применяется напрямую. ${\displaystyle \alpha =D_{AB}=\nu }$ ${\displaystyle Pr=\nu /\alpha =1}$ ${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}=1}$

Соответственно, этот вывод использует связанную форму граничных условий, заменяя на или (абсолютная температура или концентрация вида A). Нижний индекс S обозначает поверхностное состояние. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle c_{A}}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=0}$     в      ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=1}$     в и      ${\displaystyle y=\infty }$ ${\displaystyle x=0}$

Используя функцию тока, Блазиус получил следующее решение для касательного напряжения на поверхности пластины.

${\displaystyle \tau _{0}=\left({\partial v_{x} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{v_{\infty } \over x}Re^{1/2}}$

А через граничные условия известно, что

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}}$

Нам даны следующие соотношения для потока тепла/массы с поверхности пластины:

${\displaystyle \left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{T_{\infty }-T_{S} \over x}Re^{1/2}}$

${\displaystyle \left({\partial c_{A} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{c_{A\infty }-c_{AS} \over x}Re^{1/2}}$

Так что для ${\displaystyle Pr=Sc=1}$

${\displaystyle \delta =\delta _{T}=\delta _{c}={5.0x \over {\sqrt {Re}}}}$

где — области потока, где и составляют менее 99% от их значений в дальней зоне. ^[27] ${\displaystyle \delta _{T},\delta _{c}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle c_{A}}$

Поскольку число Прандтля конкретной жидкости часто не равно единице, немецкий инженер Э. Полхаузен, работавший с Людвигом Прандтлем, попытался эмпирически расширить эти уравнения, чтобы применить их для . Его результаты можно применить и к . ^[28] Он обнаружил, что для числа Прандтля больше 0,6 толщина теплового пограничного слоя приблизительно определяется по формуле: ${\displaystyle Pr\neq 1}$ ${\displaystyle Sc}$

График, показывающий относительную толщину в термическом пограничном слое в зависимости от пограничного слоя скорости (красным) для различных чисел Прандтля. Для эти два числа равны. ${\displaystyle Pr=1}$

${\displaystyle {\delta \over \delta _{T}}=Pr^{1/3}}$          и поэтому           ${\displaystyle {\delta \over \delta _{c}}=Sc^{1/3}}$

Из этого решения можно охарактеризовать константы конвективного тепло/массопереноса на основе области течения пограничного слоя. Закон теплопроводности Фурье и закон охлаждения Ньютона объединяются с выведенным выше членом потока и толщиной пограничного слоя.

${\displaystyle {q \over A}=-k\left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=h_{x}(T_{S}-T_{\infty })}$

${\displaystyle h_{x}=0.332{k \over x}Re_{x}^{1/2}Pr^{1/3}}$

Это дает локальную конвективную константу в одной точке полубесконечной плоскости. Интегрирование по длине пластины дает среднее ${\displaystyle h_{x}}$

${\displaystyle h_{L}=0.664{k \over x}Re_{L}^{1/2}Pr^{1/3}}$

После вывода с учетом коэффициентов массопереноса ( =константа конвективного массопереноса, = коэффициент диффузии вида A в вид B, ) получаются следующие решения: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D_{AB}}$ ${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}}$

${\displaystyle k'_{x}=0.332{D_{AB} \over x}Re_{x}^{1/2}Sc^{1/3}}$

${\displaystyle k'_{L}=0.664{D_{AB} \over x}Re_{L}^{1/2}Sc^{1/3}}$

Эти решения применимы для ламинарного потока с числом Прандтля/Шмидта больше 0,6. ^[27]

Военно-морская архитектура

Многие из принципов, которые применяются к самолетам, также применимы к кораблям, подводным лодкам и морским платформам, причем вода является основной жидкостью, а не воздух. Поскольку вода не является идеальной жидкостью, корабли, движущиеся в воде, испытывают сопротивление. Частицы жидкости прилипают к корпусу корабля из-за силы сцепления между водой и кораблем, создавая пограничный слой, где скорость потока жидкости образует небольшой, но крутой градиент скорости , при этом жидкость, контактирующая с кораблем, в идеале имеет относительную скорость 0, а жидкость на границе пограничного слоя является скоростью свободного потока или относительной скоростью жидкости вокруг корабля. ^[29]

В то время как передняя часть корабля сталкивается с нормальными силами давления из-за окружающей его жидкости, кормовая часть сталкивается с более низким действующим компонентом давления из-за пограничного слоя. Это приводит к более высокому сопротивлению из-за давления, известного как «вязкое сопротивление давления» или « сопротивление формы ». ^[29]

Для судов, в отличие от самолетов, мы имеем дело с несжимаемыми потоками, где изменение плотности воды незначительно (повышение давления около 1000 кПа приводит к изменению всего на 2–3 кг/м ³ ). Эта область динамики жидкости называется гидродинамикой. Инженер-судостроитель сначала проектирует с учетом гидродинамики, а уже потом — прочности. Развитие, разрушение и разделение пограничного слоя становятся критическими, поскольку высокая вязкость воды создает высокие напряжения сдвига.

Турбина пограничного слоя

Этот эффект был использован в турбине Теслы , запатентованной Николой Теслой в 1913 году. Она называется безлопастной турбиной , потому что использует эффект пограничного слоя, а не жидкости, падающей на лопатки, как в обычной турбине. Турбины с пограничным слоем также известны как турбина когезионного типа, безлопастная турбина и турбина слоя Прандтля (в честь Людвига Прандтля ).

Прогнозирование толщины переходного пограничного слоя в цилиндре с использованием размерного анализа

Используя уравнения переходной и вязкой силы для цилиндрического потока, можно предсказать толщину переходного пограничного слоя, найдя число Вомерсли ( ). ${\displaystyle N_{w}}$

Переходная сила = ${\displaystyle \rho vw}$

Вязкая сила = ${\displaystyle {\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

Приравнивая их друг к другу, получаем:

${\displaystyle \rho vw={\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

Решение для дельты дает:

${\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {\mu \over \rho w}}={\sqrt {\ v \over \ w}}}$

В безразмерной форме:

${\displaystyle {L \over \delta _{1}}={L{\sqrt {w \over \ v}}}=N_{w}}$

где = Число Вомерсли; = Плотность; = Скорость;  ?; = Длина переходного пограничного слоя; = Вязкость; = Характерная длина. ${\displaystyle N_{w}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w=}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L}$

Прогнозирование условий конвективного течения в пограничном слое в цилиндре с использованием размерного анализа

Используя уравнения конвективной и вязкой силы в пограничном слое для цилиндрического потока, можно предсказать условия конвективного потока в пограничном слое, найдя безразмерное число Рейнольдса ( ). ${\displaystyle Re}$

Конвективная сила: ${\displaystyle \rho v^{2} \over \ L}$

Вязкая сила: ${\displaystyle {\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

Приравнивая их друг к другу, получаем:

${\displaystyle {\rho v^{2} \over \ L}={\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

Решение для дельты дает:

${\displaystyle \delta _{2}={\sqrt {\mu L \over \rho v}}}$

В безразмерной форме:

${\displaystyle {L \over \delta _{2}}={\sqrt {\rho vL \over \mu }}={\sqrt {Re}}}$

где = число Рейнольдса; = плотность; = скорость; = длина конвективного пограничного слоя; = вязкость; = характерная длина. ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L}$

Проглатывание пограничного слоя

Поглощение пограничного слоя обещает повышение топливной эффективности самолета с установленным сзади движителем, поглощающим медленный пограничный слой фюзеляжа и повторно активирующим след для уменьшения сопротивления и повышения пропульсивной эффективности . Для работы в искаженном воздушном потоке вентилятор тяжелее, а его эффективность снижается, а его интеграция является сложной. Он используется в таких концепциях, как Aurora D8 или французское исследовательское агентство Onera 's Nova, экономя 5% в крейсерском режиме за счет поглощения 40% пограничного слоя фюзеляжа. ^[30]

Airbus представил концепцию Nautilius на конгрессе ICAS в сентябре 2018 года: для поглощения всего пограничного слоя фюзеляжа, при этом минимизируя искажение азимутального потока, фюзеляж разделяется на два шпинделя с вентиляторами с двухконтурностью 13-18:1 . Пропульсивная эффективность составляет до 90%, как у вращающихся в противоположных направлениях открытых роторов с меньшими, более легкими, менее сложными и шумными двигателями. Это может снизить расход топлива более чем на 10% по сравнению с обычным подкрыльевым двигателем с двухконтурностью 15:1. ^[30]

Смотрите также

• Разделение пограничного слоя
• Толщина пограничного слоя
• Толщина и форма теплового пограничного слоя
• Всасывание пограничного слоя
• Управление пограничным слоем
• Микрофон граничного диапазона
• Пограничный слой Блазиуса
• Пограничный слой Фолкнера-Скана
• слой Экмана
• Планетарный пограничный слой
• Теория возмущений
• Логарифмический закон стены
• Фактор формы (поток в пограничном слое)
• Напряжение сдвига
• Поверхностный слой

Ссылки

1. Young, AD (1989). Пограничные слои (1-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Американский институт аэронавтики и астронавтики. ISBN 0930403576.
2. Шлихтинг, Герман; Герстен, Клаус (2017). «2.1 Концепция пограничного слоя». Теория пограничного слоя (Девятое изд.). Берлин Гейдельберг: Springer. п. 29. дои : 10.1007/978-3-662-52919-5_2. ISBN 978-3-662-52917-1. Получено 5 августа 2023 г. . Часто граница произвольно задается как точка, где скорость достигает определенного процента от внешней скорости, например 99%. Для ясности часто используется индекс, например δ99.
3. Прандтль, Л. (1938). «Zur Berechnung der Grenzschichten». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 18 (1): 77–82. Бибкод :1938ЗаММ...18...77П. дои : 10.1002/zamm.19380180111.
4. Ван Дайк, Милтон. Методы возмущений в механике жидкости. Parabolic Press, Incorporated, 1975.
5. Стюартсон, К. (1957). «Об асимптотических разложениях в теории пограничных слоев». Журнал математики и физики . 36 (1–4): 173–191. doi :10.1002/sapm1957361173.
6. Либби, Пол А.; Фокс, Герберт (1963). «Некоторые решения возмущений в теории ламинарного пограничного слоя». Журнал механики жидкости . 17 (3): 433. doi :10.1017/S0022112063001439. S2CID  123824364.
7. Фокс, Герберт; Либби, Пол А. (1964). «Некоторые решения для возмущений в теории ламинарного пограничного слоя. Часть 2. Уравнение энергии». Журнал механики жидкости . 19 (3): 433–451. Bibcode : 1964JFM....19..433F. doi : 10.1017/S0022112064000830. S2CID  120911442.
8. фон Карман, Т. (1921). «Убер-ламинарный и турбулентный поток». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 1 (4): 233–252. Бибкод :1921ЗаММ....1..233К. дои : 10.1002/zamm.19210010401.
9. Вигхардт, К. Об уравнении энергии для расчета ламинарных пограничных слоев. Объединенное агентство разведывательных целей, 1946.
10. Вигхардт, К. (1948). «Über einen Energiesatz zur Berechnung laminarer Grenzschichten». Инженер-Архив . 16 (3–4): 231–242. дои : 10.1007/BF00548007. S2CID  119750449.
11. Розенхед, Луис, ред. Ламинарные пограничные слои. Clarendon Press, 1963.
12. Толлмиен, Уолтер; Шлихтинг, Герман; Гертлер, Генри; Ригельс, ФРВ (1961). «Bemerkungen zur Hydrodynamik». Людвиг Прандтль Gesammelte Abhandlungen . стр. 627–631. дои : 10.1007/978-3-662-11836-8_49. ISBN 978-3-662-11837-5.
13. фон Карман, Т.; Циен, Х. С. (1938). «Пограничный слой в сжимаемых жидкостях». Журнал аэронавтических наук . 5 (6): 227–232. doi :10.2514/8.591.
14. Крокко, Л. «Характерное преобразование уравнений пограничного слоя в газах». ARC 4582 (1939): 1940.
15. фон Карман, Т. (1939). «Аналогия между трением жидкости и теплопередачей». Труды Американского общества инженеров-механиков . 61 (8): 705–710. doi :10.1115/1.4021298. S2CID  256805665.
16. Guo, J.; Yang, XIA; Ihme, M. (март 2022 г.). «Структура теплового пограничного слоя в турбулентных потоках в каналах при транскритических условиях». Журнал механики жидкости . 934. Bibcode : 2022JFM...934A..45G. doi : 10.1017 /jfm.2021.1157 . ISSN  0022-1120. S2CID  246066677.
17. Левек, А. (1928). «Les lois de la Transmission de chaleur par convection». Annales des Mines ou Recueil de Mémoires sur l'Exploitation des Mines et sur les Sciences et les Arts qui s'y Rattachent, Mémoires (на французском языке). XIII (13): 201–239.
18. Niall McMahon. "André Lévêque p285, обзор его приближения профиля скорости". Архивировано из оригинала 2012-06-04.
19. Martin, H. (2002). «Обобщенное уравнение Левека и его практическое использование для прогнозирования скоростей тепло- и массопередачи по перепаду давления». Chemical Engineering Science . 57 (16): 3217–3223. Bibcode :2002ChEnS..57.3217M. doi :10.1016/S0009-2509(02)00194-X.
20. Шу, Х. (1953). «Об асимптотических решениях для теплопередачи при различных температурах стенки в ламинарном пограничном слое с профилями скорости Хартри». Журнал аэронавтических наук . 20 (2): 146–147. doi :10.2514/8.2566.
21. Кестин, Дж. и Персен, Л. Н. (1962). «Передача тепла через турбулентный пограничный слой при очень высоких числах Прандтля». Международный журнал по тепло- и массообмену . 5 (5): 355–371. doi :10.1016/0017-9310(62)90026-1.
22. Шлихтинг, Х. (1979). Теория пограничного слоя (7-е изд.). Нью-Йорк (США): McGraw-Hill.
23. Барна, Имре Ференц; Богнар, Габриэлла; Матьяш, Ласло; Хричо, Кристиан (2022). «Автомодельный анализ нестационарных сжимаемых и несжимаемых пограничных слоев, включая теплопроводность». Журнал термического анализа и калориметрии . 147 : 13625–13632. arXiv : 2101.08990 . дои : 10.1007/s10973-022-11574-3.
24. Росса, Карлос (2023). «Потери энергии в фотоэлектрических генераторах из-за ветровых режимов». Nature Communications Engineering . 2 (66).
25. Блазиус, Х. (1908). «Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung». Zeitschrift für Mathematik und Physik . 56 : 1–37.(перевод на английский)
26. Мартин, Майкл Дж. (2001). «Решение пограничного слоя Блазиуса с условиями скольжения потока». Труды конференции AIP . Том 585. С. 518–523. doi :10.1063/1.1407604. hdl :2027.42/87372.
27. Geankoplis, Christie J. Transport Processes and Separation Process Principles: (включая Unit Operations). Четвертое издание. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Professional Technical Reference, 2003. Печать.
28. Польхаузен, Э. (1921). «Der Wärmeaustausch zwischen festen Körpern und Flüssigkeiten mit kleiner reibung und kleiner Wärmeleitung». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 1 (2): 115–121. Бибкод :1921ЗаММ....1..115П. дои : 10.1002/zamm.19210010205.
29. "Сопротивление и питание судов" (PDF) . usna.edu . Получено 14 февраля 2024 г. .
30. Graham Warwick (19 ноября 2018 г.). "Неделя технологий, 19-23 ноября 2018 г.". Неделя авиации и космических технологий .

• Chanson, H. (2009). Прикладная гидродинамика: Введение в идеальные и реальные потоки жидкости. CRC Press, Taylor & Francis Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц. ISBN 978-0-415-49271-3.
• А. Д. Полянин и В. Ф. Зайцев, Справочник по нелинейным уравнениям в частных производных , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон – Лондон, 2004. ISBN 1-58488-355-3 
• А. Д. Полянин, А. М. Кутепов, А. В. Вязьмин и Д. А. Казенин, Гидродинамика, массо- и теплопередача в химической технологии , Taylor & Francis, Лондон, 2002. ISBN 0-415-27237-8 
• Герман Шлихтинг, Клаус Герстен, Э. Краузе, Х. младший Эртель, К. Мэйс «Теория пограничного слоя», 8-е издание Springer 2004 ISBN 3-540-66270-7 
• Джон Д. Андерсон-младший, «Пограничный слой Людвига Прандтля», Physics Today , декабрь 2005 г.
• Андерсон, Джон (1992). Основы аэродинамики (2-е изд.). Торонто: SSCHAND. стр. 711–714. ISBN 0-07-001679-8.
• Х. Теннекес и Дж. Л. Ламли , «Первый курс по турбулентности», Издательство MIT, (1972).
• Лекции по турбулентности в 21 веке Уильяма К. Джорджа

Внешние ссылки

• Национальная научная цифровая библиотека – Пограничный слой
• Мур, Франклин К., « Эффект смещения трехмерного пограничного слоя ». Отчет NACA 1124, 1953.
• Бенсон, Том, « Пограничный слой ». NASA Glenn Learning Technologies.
• Разделение пограничного слоя
• Уравнения пограничного слоя: точные решения – от EqWorld
• Джонс, ТВ ТЕПЛОПЕРЕНОС В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
• «Революционная концепция «пограничного слоя» и ее распространенность в аэронавтике, автор Соурабх С. Диван». YouTube . Международный центр теоретических наук. 18 февраля 2022 г.