Краевая задача

Тип проблемы, включающей ОДУ или УЧП

Показывает область, где дифференциальное уравнение справедливо, и соответствующие граничные значения.

При изучении дифференциальных уравнений краевая задача — это дифференциальное уравнение, подчиненное ограничениям, называемым граничными условиями . ^[1] Решение краевой задачи — это решение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничным условиям.

Краевые задачи возникают в нескольких разделах физики, поскольку любое физическое дифференциальное уравнение будет иметь их. Задачи, связанные с волновым уравнением , такие как определение нормальных мод , часто формулируются как краевые задачи. Большой класс важных краевых задач — это задачи Штурма–Лиувилля . Анализ этих задач в линейном случае включает собственные функции дифференциального оператора .

Чтобы быть полезной в приложениях, краевая задача должна быть корректно поставлена . Это означает, что при наличии входных данных для задачи существует единственное решение, которое непрерывно зависит от входных данных. Большая часть теоретических работ в области уравнений с частными производными посвящена доказательству того, что краевые задачи, возникающие в научных и инженерных приложениях, на самом деле корректно поставлены.

Среди первых изученных краевых задач — задача Дирихле о нахождении гармонических функций (решений уравнения Лапласа ); решение давалось с помощью принципа Дирихле .

Объяснение

Задачи с граничными значениями похожи на задачи с начальными значениями . Задача с граничными значениями имеет условия, заданные на экстремумах («границах») независимой переменной в уравнении, тогда как задача с начальными значениями имеет все условия, заданные при одном и том же значении независимой переменной (и это значение находится на нижней границе области, отсюда и термин «начальное» значение). Граничное значение — это значение данных, которое соответствует минимальному или максимальному входному, внутреннему или выходному значению, заданному для системы или компонента. ^[2]

Например, если независимой переменной является время в области [0,1], краевая задача будет определять значения для в моменты времени и , тогда как начальная задача будет определять значения и в момент времени . ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle y'(t)}$ ${\displaystyle t=0}$

Нахождение температуры во всех точках железного стержня, один конец которого поддерживается при абсолютном нуле , а другой — при температуре замерзания воды, было бы краевой задачей.

Если проблема зависит как от пространства, так и от времени, можно указать значение проблемы в заданной точке для всего времени или в заданное время для всего пространства.

Конкретно, примером краевой задачи (в одном пространственном измерении) является

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0}$

решить для неизвестной функции с граничными условиями ${\displaystyle y(x)}$

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

Без граничных условий общее решение этого уравнения имеет вид

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

Из граничного условия получаем ${\displaystyle y(0)=0}$

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

что подразумевает, что Из граничного условия можно найти ${\displaystyle B=0.}$ ${\displaystyle y(\pi /2)=2}$

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

и так видно, что наложение граничных условий позволило определить единственное решение, которое в данном случае есть ${\displaystyle A=2.}$

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).}$

Типы краевых задач

Граничные условия

Нахождение функции для описания температуры этого идеализированного 2D стержня является краевой задачей с граничными условиями Дирихле . Любая функция решения будет как решать уравнение теплопроводности , так и удовлетворять граничным условиям температуры 0 К на левой границе и температуры 273,15 К на правой границе.

Граничное условие, которое определяет значение самой функции, является граничным условием Дирихле или граничным условием первого типа. Например, если один конец железного стержня удерживается при абсолютном нуле, то значение задачи будет известно в этой точке пространства.

Граничное условие, которое определяет значение нормальной производной функции, — это граничное условие Неймана , или граничное условие второго типа. Например, если на одном конце железного стержня находится нагреватель, то энергия будет добавляться с постоянной скоростью, но фактическая температура не будет известна.

Если граница имеет форму кривой или поверхности, которая задает значение нормальной производной и самой переменной, то это граничное условие Коши .

Примеры

Сводка граничных условий для неизвестной функции, констант и , заданных граничными условиями, и известных скалярных функций и , заданных граничными условиями. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Дифференциальные операторы

Помимо граничного условия, краевые задачи также классифицируются в соответствии с типом дифференциального оператора. Для эллиптического оператора обсуждаются эллиптические краевые задачи . Для гиперболического оператора обсуждаются гиперболические краевые задачи. Эти категории далее подразделяются на линейные и различные нелинейные типы.

Приложения

Электромагнитный потенциал

В электростатике частой проблемой является нахождение функции, описывающей электрический потенциал заданной области. Если область не содержит заряда, потенциал должен быть решением уравнения Лапласа (так называемая гармоническая функция ). Граничными условиями в этом случае являются Условия интерфейса для электромагнитных полей . Если в области нет плотности тока , то также можно определить магнитный скалярный потенциал, используя похожую процедуру.

Смотрите также

Примечания

1. Daniel Zwillinger (12 мая 2014 г.). Справочник по дифференциальным уравнениям. Elsevier Science. стр. 536–. ISBN 978-1-4832-2096-3.
2. Международный стандарт ISO/IEC/IEEE — Системная и программная инженерия . ISO/IEC/IEEE 24765:2010(E). стр. т., №, стр. 1-418.

Ссылки

• А. Д. Полянин и В. Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание) , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2003. ISBN 1-58488-297-2 . 
• А. Д. Полянин, Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2002. ISBN 1-58488-299-9 . 

Внешние ссылки

• «Краевые задачи в теории потенциала», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Краевая задача, методы комплексных переменных», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Линейные уравнения в частных производных: точные решения и граничные задачи в EqWorld: Мир математических уравнений.
• «Краевая задача». Scholarpedia .