В стереометрии грань — это плоская поверхность ( плоская область ), которая образует часть границы твердого тела; [1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, называется многогранником .
В более технических трактовках геометрии многогранников и многогранников более высокой размерности этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего многогранника (в любом числе измерений). [2]
В элементарной геометрии грань — это многоугольник [примечание 1] на границе многогранника . [ 2] [3] Другие названия многоугольной грани включают сторону многогранника и плитку евклидовой плоскости .
Например, любой из шести квадратов, ограничивающих куб, является гранью куба. Иногда «грань» также используется для обозначения 2-мерных особенностей 4-политопа . В этом смысле 4-мерный тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых разделяет две из 8 кубических ячеек.
Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику
где V — число вершин , E — число ребер , а F — число граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, число граней на 2 больше, чем превышение числа ребер над числом вершин. Например, куб имеет 12 ребер и 8 вершин, и, следовательно, 6 граней.
В многомерной геометрии грани многогранника являются характеристиками всех измерений. [2] [4] [5] Грань размерности k называется k -гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника являются 2-гранями. В теории множеств множество граней многогранника включает сам многогранник и пустое множество, где пустому множеству для согласованности задается «размерность» −1. Для любого n -политопа ( n -мерного многогранника), −1 ≤ k ≤ n .
Например, в этом значении грани куба включают в себя сам куб (3-грань), его (квадратные) грани (2-грани), его (отрезки) ребра (1-грани), его (точки) вершины (0-грани) и пустое множество.
В некоторых областях математики, таких как полиэдральная комбинаторика , многогранник по определению является выпуклым. Формально грань многогранника P — это пересечение P с любым замкнутым полупространством , граница которого не пересекается с внутренностью P. [6] Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество. [ 4] [5]
В других областях математики, таких как теории абстрактных многогранников и звездных многогранников , требование выпуклости смягчено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы множество граней включало сам многогранник и пустое множество.
n -мерный симплекс (отрезок прямой ( n = 1 ), треугольник ( n = 2 ), тетраэдр ( n = 3 ) и т. д.), определяемый n + 1 вершиной, имеет грань для каждого подмножества вершин, от пустого множества до множества всех вершин. В частности, всего имеется 2 n + 1 граней. Число из них, которые являются k -гранями, для k ∈ {−1, 0, ..., n } , является биномиальным коэффициентом .
Существуют специальные названия для k -граней в зависимости от значения k и, в некоторых случаях, от того, насколько близко k к размерности n многогранника.
Вершина — общепринятое название 0-гранника.
Эдж — общепринятое название для одногранника.
Использование слова face в контексте, где для k -face подразумевается конкретное k , но явно не указано, обычно является двусторонним.
Ячейка — это многогранный элемент ( 3-грань ) 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики, или выше. Ячейки — это грани для 4-мерных многогранников и 3-сот.
Примеры:
В многомерной геометрии грани (также называемые гипергранями ) [7] n -политопа являются ( n − 1 )-гранями (гранями размерности на единицу меньше, чем сам политоп). [8] Политоп ограничен своими гранями.
Например:
В родственной терминологии ( n − 2 ) -грани n-го многогранника называются гребнями (также подгранями ). [9] Гребень рассматривается как граница между ровно двумя гранями многогранника или сот.
Например:
( n − 3 ) -грани n- политопа называются пиками . Пик содержит ось вращения граней и гребней в правильном политопе или сотах.
Например:
