Пространство для гребня

Патологическое топологическое пространство

В математике, в частности топологии , гребенчатое пространство — это особое подпространство , напоминающее гребенку . Гребенчатое пространство обладает свойствами, которые служат рядом контрпримеров . Синусоидальная кривая тополога имеет свойства, схожие с гребенчатым пространством. Удаленное гребенчатое пространство является вариацией гребенчатого пространства. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Гребень тополога

Сложный двойной гребень для r=3/4.

Формальное определение

Рассмотрим его стандартную топологию и пусть K будет множеством . Множество C определяется как: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \{1/n~|~n\in \mathbb {N} \}}$

${\displaystyle (\{0\}\times [0,1])\cup (K\times [0,1])\cup ([0,1]\times \{0\})}$

рассматриваемое как подпространство, снабженное топологией подпространства, известно как гребенчатое пространство. Удаленное гребенчатое пространство, D, определяется как: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \{(0,1)\}\cup (K\times [0,1])\cup ([0,1]\times \{0\})}$.

Это пространство гребенки с удаленным сегментом линии. ${\displaystyle \{0\}\times [0,1)}$

Топологические свойства

Пространство гребенки и пространство удаленной гребенки обладают некоторыми интересными топологическими свойствами, в основном связанными с понятием связности .

1. Пространство гребенки C является линейно связным и стягиваемым , но не локально стягиваемым, локально линейно связным или локально связным.

2. Удаленное пространство гребенки, D, связано:

Пусть E — пространство гребенки без . E также путевым образом связно, а замыкание E — пространство гребенки. Так как E D — замыкание E, где E связно, то удаленное пространство гребенки также связно. ${\displaystyle \{0\}\times (0,1]}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$

3. Удаленное пространство гребенки не является путеводно связанным, поскольку нет пути из (0,1) в (0,0):

Предположим, что существует путь из p = (0, 1) в точку (0, 0) в D . Пусть f  : [0, 1] →  D будет этим путем. Мы докажем, что f  ⁻¹ { p } одновременно открыт и замкнут в [0, 1], что противоречит связности этого множества. Очевидно, что f −1 { p } замкнут в [0, 1] в силу непрерывности f . Чтобы доказать  ^, что f −1 { p } открыт  ^, мы действуем следующим образом: выбираем окрестность V (открытую в R ² ) вокруг p , которая не пересекает ось x . Предположим , что x — произвольная точка в f  ⁻¹ { p }. Очевидно, f ( x ) = p . Тогда, поскольку f  ⁻¹ ( V ) открыт, существует базисный элемент U, содержащий x, такой, что f ( U ) является подмножеством V . Мы утверждаем, что f ( U ) = { p }, что будет означать, что U является открытым подмножеством f  ⁻¹ { p }, содержащим x . Поскольку x был произвольным, f  ⁻¹ { p } будет тогда открытым. Мы знаем, что U связно, поскольку оно является базисным элементом для топологии порядка на [0, 1]. Следовательно, f ( U ) связно. Предположим, что f ( U ) содержит точку s, отличную от p . Тогда s = (1/ n ,  z ) должно принадлежать D . Выберем r таким образом, чтобы 1/( n  + 1) < r < 1/ n . Поскольку f ( U ) не пересекает ось x , множества A = (−∞, r ) × и B = ( r , +∞) × будут образовывать разделение на f ( ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$U ); противоречащее связности f ( U ). Следовательно, f  ⁻¹ { p } одновременно открыто и замкнуто в [0, 1]. Это противоречие.

4. Пространство гребенки гомотопно точке, но не допускает сильной деформации ретракции на точку для любого выбора базовой точки, лежащей в отрезке ${\displaystyle \{0\}\times (0,1]}$

Смотрите также

• Связанное пространство
• Пространство для ежа
• Бесконечная метла
• Список топологий
• Локально связанное пространство
• Топология заказа
• Синусоида тополога

Ссылки

• Джеймс Манкрес (1999). Топология (2-е изд.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Киёси Ито (ред.). «Связность». Энциклопедический словарь математики . Математическое общество Японии.