Группа перестановок ранга 3

В математической теории конечных групп группа перестановок ранга 3 действует транзитивно на множестве таким образом, что стабилизатор точки имеет 3 орбиты . Изучение этих групп было начато Хигманом  (1964, 1971). Несколько спорадических простых групп были открыты как группы перестановок ранга 3.

Классификация

Все примитивные группы перестановок ранга 3 находятся в одном из следующих классов:

• Кэмерон (1981) классифицировал группы таким образом, что цоколь T группы T 0 _{является} простым, а T ₀ является 2-транзитивной группой степени √ n . ${\displaystyle T\times T\leq G\leq T_{0}\operatorname {wr} Z/2Z}$
• Либек (1987) классифицировал те, у которых есть регулярная элементарная абелева нормальная подгруппа
• Баннаи (1971–72) классифицировал те, цоколь которых представляет собой простую знакопеременную группу
• Кантор и Либлер (1982) классифицировали те, цоколь которых является простой классической группой
• Либек и Саксл (1986) классифицировали те, цоколь которых представляет собой простую исключительную или спорадическую группу.

Примеры

Если G — любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S , то ее действие на пары элементов S является группой перестановок ранга 3. ^[1] В частности, большинство знакопеременных групп, симметрических групп и групп Матье имеют 4-транзитивные действия и, таким образом, могут быть преобразованы в группы перестановок ранга 3.

Проективная общая линейная группа, действующая на прямых в проективном пространстве размерности не менее 3, является группой перестановок ранга 3.

Несколько групп 3-транспозиций являются группами перестановок ранга 3 (в действии на транспозиции).

Обычно стабилизатором точки группы перестановок ранга 3, действующей на одной из орбит, является группа перестановок ранга 3. Это дает несколько «цепей» групп перестановок ранга 3, таких как цепь Сузуки и цепь, заканчивающаяся группами Фишера .

Ниже перечислены некоторые необычные группы перестановок ранга 3 (многие из (Liebeck & Saxl 1986)).

Для каждой строки в таблице ниже, в сетке в столбце, обозначенном "размер", число слева от знака равенства является степенью группы перестановок для группы перестановок, упомянутой в строке. В сетке сумма справа от знака равенства показывает длины трех орбит стабилизатора точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1+6+8 в первой строке таблицы под заголовком означает, что группа перестановок для первой строки имеет степень 15, а длины трех орбит стабилизатора точки группы перестановок равны 1, 6 и 8 соответственно.

Примечания

1. Три орбиты: сама фиксированная пара; пары, имеющие один общий элемент с фиксированной парой; и пары, не имеющие ни одного общего элемента с фиксированной парой.

Ссылки

• Баннаи, Эйити (1971–72), «Максимальные подгруппы низкого ранга конечных симметричных и знакопеременных групп», Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел IA. Математика , 18 : 475–486, ISSN  0040-8980, MR  0357559
• Брауэр, А.Е.; Коэн, AM; Ноймайер, Арнольд (1989), Дистанционно-регулярные графы , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 18, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-50619-5, МР  1002568
• Кэмерон, Питер Дж. (1981), «Конечные группы подстановок и конечные простые группы», Бюллетень Лондонского математического общества , 13 (1): 1–22, CiteSeerX  10.1.1.122.1628 , doi :10.1112/blms/13.1.1, ISSN  0024-6093, MR  0599634
• Хигман, Дональд Г. (1964), «Конечные группы перестановок ранга 3» (PDF) , Mathematische Zeitschrift , 86 (2): 145–156, doi : 10.1007/BF01111335, hdl : 2027.42/46298 , ISSN  0025-5874, МР  0186724, S2CID  51836896
• Хигман, Дональд Г. (1971), «Обзор некоторых вопросов и результатов, касающихся групп перестановок ранга 3», Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970) , vol. 1, Готье-Виллар, стр. 361–365, MR  0427435.
• Кантор, Уильям М.; Либлер, Роберт А. (1982), «Представления перестановок ранга 3 конечных классических групп» (PDF) , Труды Американского математического общества , 271 (1): 1–71, doi :10.2307/1998750, ISSN  0002-9947, JSTOR  1998750, MR  0648077
• Либек, Мартин В. (1987), «Аффинные группы перестановок ранга три», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 54 (3): 477–516, CiteSeerX  10.1.1.135.7735 , doi :10.1112/plms/s3-54.3.477, ISSN  0024-6115, MR  0879395
• Либек, Мартин В.; Саксл , Ян (1986), «Конечные примитивные группы подстановок ранга три», Бюллетень Лондонского математического общества , 18 (2): 165–172, doi :10.1112/blms/18.2.165, ISSN  0024-6093, MR  0818821