Группа Гротендик

Абелева группа, расширяющая коммутативный моноид

В математике группа Гротендика , или группа разностей , ^[1] коммутативного моноида M — это некоторая абелева группа . Эта абелева группа строится из M наиболее универсальным способом, в том смысле, что любая абелева группа, содержащая гомоморфный образ M , будет также содержать гомоморфный образ группы Гротендика M. Конструкция группы Гротендика берет свое название от конкретного случая в теории категорий , введенного Александром Гротендиком в его доказательстве теоремы Гротендика–Римана – Роха , что привело к развитию K-теории . Этот конкретный случай — моноид классов изоморфизма объектов абелевой категории с прямой суммой в качестве операции.

Группа Гротендика коммутативного моноида

Мотивация

Если задан коммутативный моноид M , «наиболее общая» абелева группа K , которая возникает из M , должна быть построена путем введения обратных элементов ко всем элементам M. Такая абелева группа K всегда существует; она называется группой Гротендика M. Она характеризуется определенным универсальным свойством и также может быть конкретно построена из M.

Если M не обладает свойством сокращения (то есть существуют a , b и c в M такие, что и ), то группа Гротендика K не может содержать M . В частности, в случае моноидной операции, обозначенной мультипликативно, которая имеет нулевой элемент, удовлетворяющий для каждого , группа Гротендика должна быть тривиальной группой ( группой только с одним элементом), поскольку должно быть ${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle ac=bc}$ ${\displaystyle 0.x=0}$ ${\displaystyle x\in M,}$

${\displaystyle x=1.x=(0^{-1}.0).x=0^{-1}.(0.x)=0^{-1}.(0.0)=(0^{-1}.0).0=1.0=0}$

для каждого х .

Универсальная собственность

Пусть M — коммутативный моноид. Его группа Гротендика — абелева группа K с гомоморфизмом моноида, удовлетворяющим следующему универсальному свойству: для любого гомоморфизма моноида из M в абелеву группу A существует единственный гомоморфизм группы такой, что ${\displaystyle i\colon M\to K}$ ${\displaystyle f\colon M\to A}$ ${\displaystyle g\colon K\to A}$ ${\displaystyle f=g\circ i.}$

Это выражает тот факт, что любая абелева группа A , содержащая гомоморфный образ M, будет также содержать гомоморфный образ K , причем K является «наиболее общей» абелевой группой, содержащей гомоморфный образ M.

Явные конструкции

Чтобы построить группу Гротендика K коммутативного моноида M , нужно сформировать декартово произведение . Две координаты должны представлять положительную часть и отрицательную часть, поэтому соответствует в K . ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle m_{1}-m_{2}}$

Добавление определяется покоординатно: ${\displaystyle M\times M}$

${\displaystyle (m_{1},m_{2})+(n_{1},n_{2})=(m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2})}$.

Далее определяется отношение эквивалентности на , такое, что эквивалентно тому, что для некоторого элемента k из M , m ₁ + n ₂ + k = m ₂ + n ₁ + k (элемент k необходим, поскольку закон сокращения выполняется не во всех моноидах). Класс эквивалентности элемента ( m ₁ , m ₂ ) обозначается как [( m ₁ , m ₂ )]. Определяется K как множество классов эквивалентности. Поскольку операция сложения на M × M совместима с нашим отношением эквивалентности, получается сложение на K , и K становится абелевой группой. Элементом единицы K является [(0, 0)], а обратным к [( m ₁ , m ₂ )] является [( m ₂ , m ₁ )]. Гомоморфизм переводит элемент m в [( m , 0)]. ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$ ${\displaystyle i:M\to K}$

Альтернативно, группа Гротендика K группы M может быть также построена с использованием генераторов и соотношений : обозначая через свободную абелеву группу, порождённую множеством M , группа Гротендика K является фактором по подгруппе , порождённой . (Здесь +′ и −′ обозначают сложение и вычитание в свободной абелевой группе, а + обозначает сложение в моноиде M .) Это построение имеет то преимущество, что его можно выполнить для любой полугруппы M и оно даёт группу, которая удовлетворяет соответствующим универсальным свойствам для полугрупп, т. е. «наиболее общую и наименьшую группу, содержащую гомоморфный образ M » . Это известно как «групповое пополнение полугруппы» или «группа дробей полугруппы». ${\displaystyle (Z(M),+')}$ ${\displaystyle Z(M)}$ ${\displaystyle \{(x+'y)-'(x+y)\mid x,y\in M\}}$ ${\displaystyle Z(M)}$

Характеристики

На языке теории категорий любая универсальная конструкция порождает функтор ; таким образом, получается функтор из категории коммутативных моноидов в категорию абелевых групп , который переводит коммутативный моноид M в его группу Гротендика K. Этот функтор является левым сопряженным к забывающему функтору из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Для коммутативного моноида M отображение i  :  M → K инъективно тогда и только тогда, когда M обладает свойством сокращения, и оно биективно тогда и только тогда, когда M уже является группой.

Пример: целые числа

Самый простой пример группы Гротендика — это построение целых чисел из (аддитивных) натуральных чисел . Сначала замечаем, что натуральные числа (включая 0) вместе с обычным сложением действительно образуют коммутативный моноид. Теперь, когда мы используем построение группы Гротендика, мы получаем формальные различия между натуральными числами как элементами n − m и имеем отношение эквивалентности ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+).}$

${\displaystyle n-m\sim n'-m'\iff n+m'+k=n'+m+k}$для некоторых . ${\displaystyle k\iff n+m'=n'+m}$

Теперь определим

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\qquad {\begin{cases}n:=[n-0]\\-n:=[0-n]\end{cases}}}$

Это определяет целые числа . Действительно, это обычная конструкция для получения целых чисел из натуральных чисел. См. «Конструкция» в разделе «Целые числа» для более подробного объяснения. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Пример: положительные рациональные числа

Аналогично, группа Гротендика мультипликативного коммутативного моноида (начинающегося с 1) состоит из формальных дробей с эквивалентностью ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{*},\times )}$ ${\displaystyle p/q}$

${\displaystyle p/q\sim p'/q'\iff pq'r=p'qr}$для некоторых ${\displaystyle r\iff pq'=p'q}$

которые, конечно, можно отождествить с положительными рациональными числами .

Пример: группа Гротендика многообразия

Группа Гротендика является фундаментальной конструкцией K-теории . Группа компактного многообразия M определяется как группа Гротендика коммутативного моноида всех классов изоморфизма векторных расслоений конечного ранга на M с моноидной операцией, заданной прямой суммой. Это дает контравариантный функтор из многообразий в абелевы группы. Этот функтор изучается и расширяется в топологической K-теории . ${\displaystyle K_{0}(M)}$

Пример: Группа Гротендика кольца

Нулевая алгебраическая группа K (не обязательно коммутативного ) кольца R — это группа Гротендика моноида, состоящего из классов изоморфизма конечно порождённых проективных модулей над R , с моноидной операцией, заданной прямой суммой . Тогда — ковариантный функтор из колец в абелевы группы. ${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle K_{0}}$

Два предыдущих примера связаны: рассмотрим случай, когда — кольцо комплексных -значных гладких функций на компактном многообразии M. В этом случае проективные R -модули являются двойственными векторным расслоениям над M (по теореме Серра–Свана ). Таким образом , и являются одной и той же группой. ${\displaystyle R=C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle K_{0}(M)}$

Группа Гротендика и расширения

Определение

Другая конструкция, которая носит название группа Гротендика , следующая: Пусть R — конечномерная алгебра над некоторым полем k или, более общо, артиново кольцо . Тогда определим группу Гротендика как абелеву группу, порожденную множеством классов изоморфизма конечно порожденных R -модулей и следующими соотношениями: Для каждой короткой точной последовательности ${\displaystyle G_{0}(R)}$ ${\displaystyle \{[X]\mid X\in R{\text{-mod}}\}}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

из R -модулей, добавьте соотношение

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0.}$

Это определение подразумевает, что для любых двух конечно порожденных R -модулей M и N , , из-за расщепленной короткой точной последовательности ${\displaystyle [M\oplus N]=[M]+[N]}$

${\displaystyle 0\to M\to M\oplus N\to N\to 0.}$

Примеры

Пусть K — поле. Тогда группа Гротендика — абелева группа, порожденная символами для любого конечномерного K - векторного пространства V . Фактически, изоморфна , генератором которой является элемент . Здесь символ для конечномерного K -векторного пространства V определяется как , размерность векторного пространства V . Предположим, что имеется следующая короткая точная последовательность K -векторных пространств. ${\displaystyle G_{0}(K)}$ ${\displaystyle [V]}$ ${\displaystyle G_{0}(K)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [K]}$ ${\displaystyle [V]}$ ${\displaystyle [V]=\dim _{K}V}$

${\displaystyle 0\to V\to T\to W\to 0}$

Поскольку любая короткая точная последовательность векторных пространств распадается, выполняется следующее . Фактически, для любых двух конечномерных векторных пространств V и W выполняется следующее: ${\displaystyle T\cong V\oplus W}$

${\displaystyle \dim _{K}(V\oplus W)=\dim _{K}(V)+\dim _{K}(W)}$

Следовательно, указанное выше равенство удовлетворяет условию символа в группе Гротендика. ${\displaystyle [V]}$

${\displaystyle [T]=[V\oplus W]=[V]+[W]}$

Обратите внимание, что любые два изоморфных конечномерных K -векторных пространства имеют одинаковую размерность. Кроме того, любые два конечномерных K -векторных пространства V и W одинаковой размерности изоморфны друг другу. Фактически, каждое конечное n -мерное K -векторное пространство V изоморфно . Таким образом, наблюдение из предыдущего абзаца доказывает следующее уравнение: ${\displaystyle K^{\oplus n}}$

${\displaystyle [V]=\left[K^{\oplus n}\right]=n[K]}$

Следовательно, каждый символ генерируется элементом с целочисленными коэффициентами, что означает, что он изоморфен генератору . ${\displaystyle [V]}$ ${\displaystyle [K]}$ ${\displaystyle G_{0}(K)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [K]}$

В более общем случае пусть будет множеством целых чисел. Группа Гротендика — это абелева группа, порожденная символами для любых конечно порожденных абелевых групп A . Сначала следует отметить, что любая конечная абелева группа G удовлетворяет условию . Имеет место следующая короткая точная последовательность, где отображение — умножение на n . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [G]=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to 0}$

Из точной последовательности следует, что , поэтому каждая циклическая группа имеет свой символ, равный 0. Это, в свою очередь, означает, что каждая конечная абелева группа G удовлетворяет основной теореме о конечных абелевых группах. ${\displaystyle [\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ]=[\mathbb {Z} ]-[\mathbb {Z} ]=0}$ ${\displaystyle [G]=0}$

Заметим, что по фундаментальной теореме о конечно порожденных абелевых группах каждая абелева группа A изоморфна прямой сумме подгруппы кручения и абелевой группы без кручения, изоморфной для некоторого неотрицательного целого числа r , называемого рангом группы A и обозначаемого . Определим символ как . Тогда группа Гротендика изоморфна с генератором Действительно, наблюдение, сделанное в предыдущем абзаце, показывает, что каждая абелева группа A имеет свой символ , совпадающий с символом , где . Более того, ранг абелевой группы удовлетворяет условиям символа группы Гротендика. Предположим, что имеется следующая короткая точная последовательность абелевых групп: ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$ ${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [A]={\mbox{rank}}(A)}$ ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [\mathbb {Z} ^{r}]=r[\mathbb {Z} ]}$ ${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$ ${\displaystyle [A]}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

Тогда тензорное умножение на рациональные числа приводит к следующему уравнению. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0\to A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to 0}$

Поскольку вышеприведенное является короткой точной последовательностью -векторных пространств, последовательность расщепляется. Следовательно, имеем следующее уравнение. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }(B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )+\dim _{\mathbb {Q} }(C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

С другой стороны, также имеет место следующее соотношение; для получения дополнительной информации см. Ранг абелевой группы .

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

Следовательно, справедливо следующее уравнение:

${\displaystyle [B]=\operatorname {rank} (B)=\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (C)=[A]+[C]}$

Следовательно, было показано, что изоморфно с генератором ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$

Универсальная собственность

Группа Гротендика удовлетворяет универсальному свойству. Дадим предварительное определение: Функция из множества классов изоморфизма в абелеву группу называется аддитивной , если для каждой точной последовательности выполняется Тогда для любой аддитивной функции существует единственный гомоморфизм групп , такой что факторизуется и отображение, которое переводит каждый объект из в элемент, представляющий его класс изоморфизма в Конкретно это означает, что удовлетворяет уравнению для каждого конечно порожденного -модуля и является единственным гомоморфизмом групп, который это делает. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$ ${\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0.}$ ${\displaystyle \chi :R{\text{-mod}}\to X}$ ${\displaystyle f:G_{0}(R)\to X}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle G_{0}(R).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f([V])=\chi (V)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$

Примерами аддитивных функций являются функции характера из теории представлений : если - конечномерная -алгебра, то можно сопоставить характер каждому конечномерному -модулю , который определяется как след - линейного отображения , заданного умножением на элемент на . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \chi _{V}:R\to k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V:\chi _{V}(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle V}$

Выбрав подходящий базис и записав соответствующие матрицы в блочно-треугольной форме, легко увидеть, что характерные функции аддитивны в указанном выше смысле. По универсальному свойству это дает нам "универсальный характер", такой что . ${\displaystyle \chi :G_{0}(R)\to \mathrm {Hom} _{K}(R,K)}$ ${\displaystyle \chi ([V])=\chi _{V}}$

Если и — групповое кольцо конечной группы , то это отображение характеров даже дает естественный изоморфизм и кольца характеров . В теории модульных представлений конечных групп может быть полем алгебраическое замыкание конечного поля с p элементами. В этом случае аналогично определенное отображение, которое сопоставляет каждому -модулю его характер Брауэра, также является естественным изоморфизмом на кольцо характеров Брауэра. Таким образом, группы Гротендика появляются в теории представлений. ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {C} [G])}$ ${\displaystyle Ch(G)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}}},}$ ${\displaystyle k[G]}$ ${\displaystyle G_{0}({\overline {\mathbb {F} _{p}}}[G])\to \mathrm {BCh} (G)}$

Это универсальное свойство также делает «универсальным приемником» обобщенных эйлеровых характеристик . В частности, для каждого ограниченного комплекса объектов в ${\displaystyle G_{0}(R)}$ ${\displaystyle R{\text{-mod}}}$

${\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to A^{n}\to A^{n+1}\to \cdots \to A^{m-1}\to A^{m}\to 0\to 0\to \cdots }$

один имеет канонический элемент

${\displaystyle [A^{*}]=\sum _{i}(-1)^{i}[A^{i}]=\sum _{i}(-1)^{i}[H^{i}(A^{*})]\in G_{0}(R).}$

На самом деле группа Гротендика изначально была введена для изучения характеристик Эйлера.

Группы Гротендика точных категорий

Общее обобщение этих двух понятий дается группой Гротендика точной категории . Проще говоря, точная категория — это аддитивная категория вместе с классом выделенных коротких последовательностей A → B → C. Выделенные последовательности называются «точными последовательностями», отсюда и название. Точные аксиомы для этого выделенного класса не имеют значения для построения группы Гротендика. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Группа Гротендика определяется так же, как и раньше, как абелева группа с одним генератором [ M  ] для каждого (класса изоморфизма) объекта(ов) категории и одним отношением ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0}$

для каждой точной последовательности

${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$.

Альтернативно и эквивалентно, можно определить группу Гротендика, используя универсальное свойство: отображение из в абелеву группу X называется «аддитивным», если для каждой точной последовательности выполняется ; абелева группа G вместе с аддитивным отображением называется группой Гротендика тогда и только тогда, когда каждое аддитивное отображение однозначно пропускается через . ${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$ ${\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0}$ ${\displaystyle \phi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to G}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X}$ ${\displaystyle \phi }$

Каждая абелева категория является точной категорией, если просто использовать стандартную интерпретацию «точного». Это дает понятие группы Гротендика в предыдущем разделе, если выбрать категорию конечно порожденных R -модулей в качестве . Это действительно абелева категория, поскольку R предполагалось артиновым (и, следовательно, нетеровым ) в предыдущем разделе. ${\displaystyle {\mathcal {A}}:=R{\text{-mod}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

С другой стороны, каждая аддитивная категория также точна, если объявить точными те и только те последовательности, которые имеют форму с каноническими морфизмами включения и проекции. Эта процедура создает группу Гротендика коммутативного моноида в первом смысле (здесь имеется в виду «множество» [игнорируя все фундаментальные вопросы] классов изоморфизма в .) ${\displaystyle A\hookrightarrow A\oplus B\twoheadrightarrow B}$ ${\displaystyle (\mathrm {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )}$ ${\displaystyle \mathrm {Iso} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Группы Гротендика триангулированных категорий

Обобщая еще больше, можно также определить группу Гротендика для триангулированных категорий . Конструкция по сути похожа, но использует соотношения [ X ] − [ Y ] + [ Z ] = 0 всякий раз, когда есть выделенный треугольник X → Y → Z → X [1].

Дополнительные примеры

• В абелевой категории конечномерных векторных пространств над полем k два векторных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Таким образом, для векторного пространства V

${\displaystyle [V]={\big [}k^{\dim(V)}{\big ]}\in K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} }).}$

Более того, для точной последовательности

${\displaystyle 0\to k^{l}\to k^{m}\to k^{n}\to 0}$

m = l + n , поэтому

${\displaystyle \left[k^{l+n}\right]=\left[k^{l}\right]+\left[k^{n}\right]=(l+n)[k].}$

Таким образом

${\displaystyle [V]=\dim(V)[k],}$

и изоморфен и порождается Наконец, для ограниченного комплекса конечномерных векторных пространств V  *, ${\displaystyle K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} })}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [k].}$

${\displaystyle [V^{*}]=\chi (V^{*})[k]}$

где — стандартная эйлерова характеристика, определяемая как ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi (V^{*})=\sum _{i}(-1)^{i}\dim V=\sum _{i}(-1)^{i}\dim H^{i}(V^{*}).}$

• Для окольцованного пространства можно рассмотреть категорию всех локально свободных пучков над X. Затем определяется как группа Гротендика этой точной категории , и это снова дает функтор. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$
• Для окольцованного пространства можно также определить категорию как категорию всех когерентных пучков на X. Это включает в себя особый случай (если окольцованное пространство является аффинной схемой ), когда это категория конечно порождённых модулей над нётеровым кольцом R. В обоих случаях является абелевой категорией и тем более точной категорией, поэтому приведенная выше конструкция применима. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• В случае, когда R — конечномерная алгебра над некоторым полем, группы Гротендика (определяемые через короткие точные последовательности конечно порождённых модулей) и (определяемые через прямую сумму конечно порождённых проективных модулей) совпадают. Фактически, обе группы изоморфны свободной абелевой группе, порождённой классами изоморфизма простых R -модулей. ${\displaystyle G_{0}(R)}$ ${\displaystyle K_{0}(R)}$
• Есть еще одна группа Гротендика кольца или окольцованного пространства, которая иногда бывает полезна. Категория в этом случае выбирается как категория всех квазикогерентных пучков на окольцованном пространстве, которая сводится к категории всех модулей над некоторым кольцом R в случае аффинных схем. не является функтором, но тем не менее несет важную информацию. ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}}$
• Поскольку (ограниченная) производная категория триангулирована, для производных категорий также существует группа Гротендика. Это имеет приложения, например, в теории представлений. Однако для неограниченной категории группа Гротендика исчезает. Для производной категории некоторой комплексной конечномерной положительно градуированной алгебры существует подкатегория в неограниченной производной категории, содержащая абелеву категорию A конечномерных градуированных модулей , группа Гротендика которой является q -адическим пополнением группы Гротендика A .

Смотрите также

• Поле дробей
• Локализация
• Топологическая К-теория
• Спектральная последовательность Атьи–Хирцебруха для вычисления топологической K-теории

Ссылки

1. Брунс, Винфрид; Губеладзе, Джозеф (2009). Многогранники, кольца и K-теория . Springer. стр. 50. ISBN 978-0-387-76355-2.

• Майкл Ф. Атья , K-теория , (Заметки, составленные Д. У. Андерсоном осенью 1964 г.), опубликовано в 1967 г., WA Benjamin Inc., Нью-Йорк.
• Ачар, Прамод Н.; Строппель, Катарина (2013), «Пополнения групп Гротендика», Бюллетень Лондонского математического общества , 45 (1): 200–212, arXiv : 1105.2715 , doi : 10.1112/blms/bds079, MR  3033967, S2CID  260493607.
• «Группа Гротендика», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Группа Гротендика». PlanetMath .
• Группа Гротендика алгебраических векторных расслоений; вычисления аффинного и проективного пространства
• Группа Гротендика гладкой проективной комплексной кривой