Группа Штейнберга (К-теория)

В алгебраической K-теории , области математики , группа Стейнберга кольца является универсальным центральным расширением коммутанта стабильной общей линейной группы кольца . ${\displaystyle \operatorname {St} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Он назван в честь Роберта Стейнберга и связан с низшими -группами ${\displaystyle K}$ , в частности и . ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle K_{3}}$

Определение

Абстрактно, если задано кольцо , группа Стейнберга является универсальным центральным расширением коммутанта стабильной общей линейной группы (коммутант совершенен и, следовательно, имеет универсальное центральное расширение). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {St} (A)}$

Презентация с использованием генераторов и отношений

Конкретное представление с использованием генераторов и отношений выглядит следующим образом. Элементарные матрицы — т.е. матрицы вида , где — единичная матрица, — матрица с в -элементе и нулями в остальных местах, и — удовлетворяют следующим соотношениям, называемым соотношениями Стейнберга : ${\displaystyle {e_{pq}}(\lambda ):=\mathbf {1} +{a_{pq}}(\lambda )}$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle {a_{pq}}(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle p\neq q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{ij}(\lambda )e_{ij}(\mu )&=e_{ij}(\lambda +\mu );&&\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{jk}(\mu )\right]&=e_{ik}(\lambda \mu ),&&{\text{for }}i\neq k;\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{kl}(\mu )\right]&=\mathbf {1} ,&&{\text{for }}i\neq l{\text{ and }}j\neq k.\end{aligned}}}$

Нестабильная группа Стейнберга порядка над , обозначаемая , определяется генераторами , где и , причем эти генераторы подчиняются соотношениям Стейнберга. Стабильная группа Стейнберга , обозначаемая , является прямым пределом системы . Ее также можно рассматривать как группу Стейнберга бесконечного порядка. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\operatorname {St} _{r}}(A)}$ ${\displaystyle {x_{ij}}(\lambda )}$ ${\displaystyle 1\leq i\neq j\leq r}$ ${\displaystyle \lambda \in A}$ ${\displaystyle \operatorname {St} (A)}$ ${\displaystyle {\operatorname {St} _{r}}(A)\to {\operatorname {St} _{r+1}}(A)}$

Отображение дает гомоморфизм групп . Поскольку элементарные матрицы порождают подгруппу коммутатора , это отображение сюръективно на подгруппу коммутатора. ${\displaystyle {x_{ij}}(\lambda )\mapsto {e_{ij}}(\lambda )}$ ${\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}$

Интерпретация как фундаментальная группа

Группа Стейнберга — фундаментальная группа пространства Володина , представляющего собой объединение классифицирующих пространств унипотентных подгрупп . ${\displaystyle \operatorname {GL} (A)}$

Отношение кК-теория

К1

${\displaystyle {K_{1}}(A)}$является коядром отображения , как и абелианизация , и отображение сюръективно на подгруппу коммутатора. ${\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}$ ${\displaystyle \varphi }$

К2

${\displaystyle {K_{2}}(A)}$является центром группы Стейнберга. Это определение Милнора, и оно также следует из более общих определений высших -групп. ${\displaystyle K}$

Это также ядро ​​отображения . Действительно, существует точная последовательность ${\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}$

${\displaystyle 1\to {K_{2}}(A)\to \operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)\to {K_{1}}(A)\to 1.}$

Эквивалентно, это множитель Шура группы элементарных матриц , поэтому это также группа гомологий : . ${\displaystyle {K_{2}}(A)={H_{2}}(E(A);\mathbb {Z} )}$

К3

Герстен (1973) показал, что . ${\displaystyle {K_{3}}(A)={H_{3}}(\operatorname {St} (A);\mathbb {Z} )}$

Ссылки

• Герстен, SM (1973), « кольца принадлежат группе Стейнберга», Труды Американского математического общества , 37 (2), Американское математическое общество: 366–368, doi :10.2307/2039440, JSTOR  2039440 ${\displaystyle K_{3}}$ ${\displaystyle H_{3}}$
• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую теорию ${\displaystyle K}$ , Annals of Mathematics Studies, т. 72, Princeton University Press , MR  0349811
• Стейнберг, Роберт (1968), Лекции о группах Шевалле, Йельский университет, Нью-Хейвен, Коннектикут, MR  0466335, архивировано с оригинала 10 сентября 2012 г.