Групповое кольцо

Множество функций с конечным носителем из группы в кольцо

В алгебре групповое кольцо — это свободный модуль и в то же время кольцо , построенное естественным образом из любого данного кольца и любой данной группы . Как свободный модуль, его кольцо скаляров — это данное кольцо, а его базис — множество элементов данной группы. Как кольцо, его закон сложения — это закон свободного модуля, а его умножение расширяет «по линейности» данный групповой закон на базис. Менее формально, групповое кольцо — это обобщение данной группы, путем присоединения к каждому элементу группы «весового множителя» из данного кольца.

Если кольцо коммутативно, то групповое кольцо также называется групповой алгеброй , поскольку оно действительно является алгеброй над данным кольцом. Групповая алгебра над полем имеет дальнейшую структуру алгебры Хопфа ; в этом случае она называется групповой алгеброй Хопфа .

Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп .

Определение

Пусть будет группой, записанной мультипликативно, и пусть будет кольцом. Групповое кольцо над , которое мы будем обозначать через , или просто , является множеством отображений конечного носителя ( отлично от нуля только для конечного числа элементов ), где модульное скалярное произведение скаляра в и отображения определяется как отображение , а модульная групповая сумма двух отображений и определяется как отображение . Чтобы превратить аддитивную группу в кольцо, мы определяем произведение и как отображение ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle f\colon G\to R}$ ${\displaystyle f(g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha \cdot f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x\mapsto f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle x\mapsto \sum _{uv=x}f(u)g(v)=\sum _{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).}$

Суммирование является законным, поскольку и имеют конечный носитель, а аксиомы кольца легко проверяются. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Некоторые вариации в обозначениях и терминологии используются. В частности, отображения, такие как иногда ^[1], записываются как то, что называется «формальными линейными комбинациями элементов с коэффициентами в »: ${\displaystyle f:G\to R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)g,}$

или просто

${\displaystyle \sum _{g\in G}f_{g}g.}$^[2]

Обратите внимание, что если кольцо на самом деле является полем , то модульная структура группового кольца на самом деле является векторным пространством над . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle K}$

Примеры

1. Пусть G = C ₃ , циклическая группа порядка 3, с образующим и единичным элементом 1 _G . Элемент r из C [ G ] можно записать как ${\displaystyle a}$

${\displaystyle r=z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}\,}$

где z ₀ , z ₁ и z ₂ находятся в C , комплексных числах . Это то же самое, что и кольцо полиномов от переменной, такое, что C [ G ] изоморфно кольцу C [ ]/ . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{3}=a^{0}=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a^{3}-1)}$

Записывая другой элемент s как , их сумма равна ${\displaystyle s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}}$

${\displaystyle r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}\,}$

и их продукт -

${\displaystyle rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}+(z_{0}w_{1}+z_{1}w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{2}w_{0}+z_{1}w_{1})a^{2}.}$

Обратите внимание, что единичный элемент 1 _G из G индуцирует каноническое вложение кольца коэффициентов (в данном случае C ) в C [ G ]; однако, строго говоря, мультипликативный единичный элемент C [ G ] равен 1⋅1 _G , где первая 1 исходит из C , а вторая из G . Аддитивный единичный элемент равен нулю.

Если G — некоммутативная группа, то при умножении членов необходимо соблюдать осторожность, чтобы сохранить порядок элементов группы (и случайно не коммутировать их).

2. Кольцо многочленов Лорана над кольцом R является групповым кольцом бесконечной циклической группы Z над R.

3. Пусть Q — группа кватернионов с элементами . Рассмотрим групповое кольцо R Q , где R — множество действительных чисел. Произвольный элемент этого группового кольца имеет вид ${\displaystyle \{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}}$

${\displaystyle x_{1}\cdot e+x_{2}\cdot {\bar {e}}+x_{3}\cdot i+x_{4}\cdot {\bar {i}}+x_{5}\cdot j+x_{6}\cdot {\bar {j}}+x_{7}\cdot k+x_{8}\cdot {\bar {k}}}$

где - действительное число. ${\displaystyle x_{i}}$

Умножение, как и в любом другом групповом кольце, определяется на основе групповой операции. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}3\cdot e+{\sqrt {2}}\cdot i{\big )}\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)&=(3\cdot e)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)+({\sqrt {2}}\cdot i)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\big (}(e)({\bar {j}}){\big )}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\big (}(i)({\bar {j}}){\big )}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\bar {j}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\bar {k}}\end{aligned}}.}$

Обратите внимание, что R Q не то же самое, что тело кватернионов над R . Это связано с тем, что тело кватернионов удовлетворяет дополнительным соотношениям в кольце, таким как , тогда как в групповом кольце R Q не равно . Если говорить точнее, групповое кольцо R Q имеет размерность 8 как действительное векторное пространство , в то время как тело кватернионов имеет размерность 4 как действительное векторное пространство . ${\displaystyle -1\cdot i=-i}$ ${\displaystyle -1\cdot i}$ ${\displaystyle 1\cdot {\bar {i}}}$

4. Другим примером неабелева группового кольца является , где — симметрическая группа из 3 букв. Это не область целостности, поскольку у нас есть , где элемент — это транспозиция , которая меняет местами 1 и 2. Поэтому групповое кольцо не обязательно должно быть областью целостности, даже если базовое кольцо является областью целостности. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\mathbb {S} _{3}]}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{3}}$ ${\displaystyle [1-(12)]*[1+(12)]=1-(12)+(12)-(12)(12)=1-1=0}$ ${\displaystyle (12)\in \mathbb {S} _{3}}$

Некоторые основные свойства

Используя 1 для обозначения мультипликативного тождества кольца R и обозначая групповую единицу через 1 _G , кольцо R [ G ] содержит подкольцо, изоморфное R , а его группа обратимых элементов содержит подгруппу, изоморфную G . Для рассмотрения индикаторной функции {1 _G }, которая является вектором f , определяемым формулой

${\displaystyle f(g)=1\cdot 1_{G}+\sum _{g\not =1_{G}}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{1_{G}\}}(g)={\begin{cases}1&g=1_{G}\\0&g\neq 1_{G}\end{cases}},}$

множество всех скалярных кратных f является подкольцом R [ G ], изоморфным R. И если мы отобразим каждый элемент s из G в индикаторную функцию { s }, которая является вектором f, определяемым как

${\displaystyle f(g)=1\cdot s+\sum _{g\not =s}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{s\}}(g)={\begin{cases}1&g=s\\0&g\neq s\end{cases}}}$

Полученное отображение является инъективным групповым гомоморфизмом (относительно умножения, а не сложения в R [ G ]).

Если R и G оба коммутативны (т. е. R коммутативен, а G — абелева группа ), то R [ G ] коммутативен.

Если H является подгруппой G , то R [ H ] является подкольцом R [ G ]. Аналогично, если S является подкольцом R , то S [ G ] является подкольцом R [ G ].

Если G — конечная группа порядка больше 1, то R [ G ] всегда имеет делители нуля . Например, рассмотрим элемент g из G порядка | g | = m > 1. Тогда 1 — g — делитель нуля:

${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{m-1})=1-g^{m}=1-1=0.}$

Например, рассмотрим групповое кольцо Z [ S ₃ ] и элемент порядка 3 g =(123). В этом случае

${\displaystyle (1-(123))(1+(123)+(132))=1-(123)^{3}=1-1=0.}$

Связанный результат: если групповое кольцо первично , то G не имеет неединичной конечной нормальной подгруппы (в частности, G должна быть бесконечной). ${\displaystyle K[G]}$

Доказательство: Рассматривая контрапозицию , предположим, что — нетождественная конечная нормальная подгруппа группы . Возьмем . Так как для любого , мы знаем , следовательно . Взяв , имеем . По нормальности , коммутирует с базисом группы , и поэтому ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a=\sum _{h\in H}h}$ ${\displaystyle hH=H}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle ha=a}$ ${\displaystyle a^{2}=\sum _{h\in H}ha=|H|a}$ ${\displaystyle b=|H|\,1-a}$ ${\displaystyle ab=0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K[G]}$

${\displaystyle aK[G]b=K[G]ab=0}$.

И мы видим, что не ноль, что показывает, что не является простым. Это показывает исходное утверждение. ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle K[G]}$

Групповая алгебра над конечной группой

Групповые алгебры естественным образом возникают в теории групповых представлений конечных групп . Групповая алгебра K [ G ] над полем K по сути является групповым кольцом, причем поле K занимает место кольца. Как множество и векторное пространство, это свободное векторное пространство на G над полем K . То есть, для x в K [ G ],

${\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g.}$

Структура алгебры на векторном пространстве определяется с помощью умножения в группе:

${\displaystyle g\cdot h=gh,}$

где слева g и h обозначают элементы групповой алгебры, а умножение справа — групповая операция (обозначается сопоставлением).

Поскольку приведенное выше умножение может сбивать с толку, можно также записать базисные векторы K [ G ] как e _g (вместо g ), и в этом случае умножение записывается как:

${\displaystyle e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}.}$

Интерпретация как функции

Если рассматривать свободное векторное пространство как K -значные функции на G , то алгебраическое умножение представляет собой свертку функций.

В то время как групповая алгебра конечной группы может быть отождествлена ​​с пространством функций на группе, для бесконечной группы они различны. Групповая алгебра, состоящая из конечных сумм, соответствует функциям на группе, которые обращаются в нуль для конечного числа точек; топологически (используя дискретную топологию ) они соответствуют функциям с компактным носителем .

Однако групповая алгебра K [ G ] и пространство функций K ^G  := Hom( G , K ) являются двойственными: для данного элемента групповой алгебры

${\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g}$

и функция на группе f  : G → K эти пары дают элемент K посредством

${\displaystyle (x,f)=\sum _{g\in G}a_{g}f(g),}$

что является четко определенной суммой, поскольку она конечна.

Представления групповой алгебры

Принимая K [ G ] за абстрактную алгебру, можно задаться вопросом о представлениях алгебры, действующих на K- векторном пространстве V размерности d . Такое представление

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V)}$

является гомоморфизмом алгебры из групповой алгебры в алгебру эндоморфизмов V , которая изоморфна кольцу матриц размера d × d : . Эквивалентно, это левый K [ G ]-модуль над абелевой группой V . ${\displaystyle \mathrm {End} (V)\cong M_{d}(K)}$

Соответственно, групповое представительство

${\displaystyle \rho :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(V),}$

является групповым гомоморфизмом из G в группу линейных автоморфизмов V , которая изоморфна общей линейной группе обратимых матриц: . Любое такое представление индуцирует представление алгебры ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V)\cong \mathrm {GL} _{d}(K)}$

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V),}$

просто позволяя и расширяя линейно. Таким образом, представления группы точно соответствуют представлениям алгебры, и две теории по сути эквивалентны. ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(e_{g})=\rho (g)}$

Регулярное представительство

Групповая алгебра является алгеброй над собой; при соответствии представлений над модулями R и R [ G ] она является регулярным представлением группы.

Записанное в виде представления, это представление g ↦ ρ _g с действием, заданным как , или ${\displaystyle \rho (g)\cdot e_{h}=e_{gh}}$

${\displaystyle \rho (g)\cdot r=\sum _{h\in G}k_{h}\rho (g)\cdot e_{h}=\sum _{h\in G}k_{h}e_{gh}.}$

Полупростое разложение

Размерность векторного пространства K [ G ] как раз равна числу элементов в группе. Поле K обычно принимается за комплексные числа C или действительные числа R , так что обсуждаются групповые алгебры C [ G ] или R [ G ].

Групповая алгебра C [ G ] конечной группы над комплексными числами является полупростым кольцом . Этот результат, теорема Машке , позволяет нам понимать C [ G ] как конечное произведение матричных колец с элементами в C . Действительно, если мы перечислим комплексные неприводимые представления G как V k для k = 1, . . . , m , они соответствуют гомоморфизмам групп и, следовательно, гомоморфизмам алгебр _. Сборка этих отображений дает изоморфизм алгебр ${\displaystyle \rho _{k}:G\to \mathrm {Aut} (V_{k})}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}_{k}:\mathbb {C} [G]\to \mathrm {End} (V_{k})}$

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:\mathbb {C} [G]\to \bigoplus _{k=1}^{m}\mathrm {End} (V_{k})\cong \bigoplus _{k=1}^{m}M_{d_{k}}(\mathbb {C} ),}$

где d _k — размерность V _k . Подалгебра C [ G ], соответствующая End( V _k ), — это двусторонний идеал, порожденный идемпотентом

${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {d_{k}}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{k}(g^{-1})\,g,}$

где — характер V _k . Они образуют полную систему ортогональных идемпотентов, так что , для j ≠ k , и . Изоморфизм тесно связан с преобразованием Фурье на конечных группах . ${\displaystyle \chi _{k}(g)=\mathrm {tr} \,\rho _{k}(g)}$ ${\displaystyle \epsilon _{k}^{2}=\epsilon _{k}}$ ${\displaystyle \epsilon _{j}\epsilon _{k}=0}$ ${\displaystyle 1=\epsilon _{1}+\cdots +\epsilon _{m}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$

Для более общего поля K, всякий раз, когда характеристика K не делит порядок группы G , то K [ G ] полупроста. Когда G — конечная абелева группа , групповое кольцо K [ G] коммутативно, и его структуру легко выразить в терминах корней из единицы .

Когда K — поле характеристики p, которое делит порядок G , групповое кольцо не является полупростым: оно имеет ненулевой радикал Джекобсона , и это придает соответствующему предмету теории модулярных представлений собственный, более глубокий характер.

Центр групповой алгебры

Центр групповой алгебры — это множество элементов, коммутирующих со всеми элементами групповой алгебры :

${\displaystyle \mathrm {Z} (K[G]):=\left\{z\in K[G]:\forall r\in K[G],zr=rz\right\}.}$

Центр равен множеству функций класса , то есть множеству элементов, которые постоянны в каждом классе сопряженности.

${\displaystyle \mathrm {Z} (K[G])=\left\{\sum _{g\in G}a_{g}g:\forall g,h\in G,a_{g}=a_{h^{-1}gh}\right\}.}$

Если K = C , то множество неприводимых характеров группы G образует ортонормированный базис Z( K [ G ]) относительно скалярного произведения

${\displaystyle \left\langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{g\in G}b_{g}g\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}{\bar {a}}_{g}b_{g}.}$

Групповые кольца над бесконечной группой

Гораздо меньше известно о случае, когда G счетно бесконечно или несчетно, и это область активных исследований. ^[3] Случай, когда R является полем комплексных чисел, вероятно, изучен лучше всего. В этом случае Ирвинг Капланский доказал, что если a и b являются элементами C [ G ] с ab = 1 , то ba = 1 . Верно ли это, если R является полем положительной характеристики, остается неизвестным.

Давняя гипотеза Капланского (~1940) гласит, что если G — группа без кручения , а K — поле, то групповое кольцо K [ G ] не имеет нетривиальных делителей нуля . Эта гипотеза эквивалентна тому, что K [ G ] не имеет нетривиальных нильпотентов при тех же самых предположениях для K и G .

На самом деле условие, что K является полем, можно ослабить до любого кольца, которое можно вложить в область целостности .

Гипотеза остается открытой в полной общности, однако было показано, что некоторые особые случаи групп без кручения удовлетворяют гипотезе о делителях нуля. К ним относятся:

• Уникальные группы продуктов (например, заказываемые группы , в частности бесплатные группы )
• Элементарные аменабельные группы (например, виртуально абелевы группы )
• Диффузные группы – в частности, группы, действующие свободно изометрически на R -деревьях, и фундаментальные группы поверхностных групп, за исключением фундаментальных групп прямых сумм одной, двух или трех копий проективной плоскости.

Случай, когда G — топологическая группа, более подробно обсуждается в статье Групповая алгебра локально компактной группы .

Теория категорий

Примыкающий

Категорически конструкция группового кольца лево сопряжена к « группе единиц »; следующие функторы являются сопряженной парой :

${\displaystyle R[-]\colon \mathbf {Grp} \to R\mathbf {{\text{-}}Alg} }$

${\displaystyle (-)^{\times }\colon R\mathbf {{\text{-}}Alg} \to \mathbf {Grp} }$

где переводит группу в ее групповое кольцо над R , а переводит R -алгебру в ее группу единиц. ${\displaystyle R[-]}$ ${\displaystyle (-)^{\times }}$

Когда R = Z , это дает присоединение между категорией групп и категорией колец , а единица присоединения переводит группу G в группу, содержащую тривиальные единицы: G × {±1} = {± g }. В общем случае групповые кольца содержат нетривиальные единицы. Если G содержит элементы a и b такие, что и b не нормализуется, то квадрат ${\displaystyle a^{n}=1}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$

${\displaystyle x=(a-1)b\left(1+a+a^{2}+...+a^{n-1}\right)}$

равен нулю, следовательно . Элемент 1 + x является единицей бесконечного порядка. ${\displaystyle (1+x)(1-x)=1}$

Универсальная собственность

Вышеуказанное присоединение выражает универсальное свойство групповых колец. ^{[2] [4]} Пусть R — (коммутативное) кольцо, G — группа, S — R -алгебра. Для любого гомоморфизма групп существует единственный гомоморфизм R -алгебры такой, что где i — включение ${\displaystyle f:G\to S^{\times }}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:R[G]\to S}$ ${\displaystyle {\overline {f}}^{\times }\circ i=f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i:G&\longrightarrow R[G]\\g&\longmapsto 1_{R}g\end{aligned}}}$

Другими словами, является ли единственный гомоморфизм, делающий следующую диаграмму коммутативной: ${\displaystyle {\overline {f}}}$

Любое другое кольцо, удовлетворяющее этому свойству, канонически изоморфно групповому кольцу.

алгебра Хопфа

Групповая алгебра K [ G ] имеет естественную структуру алгебры Хопфа . Коумножение определяется как , расширенное линейно, а антипод — это , снова расширенное линейно. ${\displaystyle \Delta (g)=g\otimes g}$ ${\displaystyle S(g)=g^{-1}}$

Обобщения

Групповая алгебра обобщается до моноидного кольца и, следовательно, до алгебры категорий , другим примером которой является алгебра инцидентности .

Фильтрация

Если группа имеет функцию длины — например, если есть выбор генераторов и берется слово метрика , как в группах Кокстера , — то групповое кольцо становится фильтрованной алгеброй .

Смотрите также

• Групповая алгебра локально компактной группы
• Моноидное кольцо
• Догадки Капланского

Теория представления

• Групповое представительство
• Регулярное представительство

Теория категорий

• Категориальная алгебра
• Группа единиц
• Алгебра инцидентности
• Колчанная алгебра

Примечания

1. Милис и Сехгал (2002), стр. 129 и 131.
2. Milies & Sehgal (2002), с. 131.
3. Пассман, Дональд С. (1976). «Что такое групповое кольцо?». Amer. Math. Monthly . 83 (3): 173–185. doi :10.2307/2977018. JSTOR  2977018.
4. "групповая алгебра в nLab". ncatlab.org . Получено 2017-11-01 .

Ссылки

• А.А. Бовди (2001) [1994], "Групповая алгебра", Энциклопедия математики , EMS Press
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. Введение в групповые кольца . Алгебры и приложения, том 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0 
• Чарльз В. Кертис , Ирвинг Райнер . Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, Interscience (1962)
• Д.С. Пассман, Алгебраическая структура групповых колец, Wiley (1977)