Группоид

Категория, в которой каждый морфизм обратим; обобщение группы

В математике , особенно в теории категорий и теории гомотопий , группоид (реже группоид Брандта или виртуальная группа ) обобщает понятие группы несколькими эквивалентными способами. Группоид можно рассматривать как:

• Группа с частичной функцией, заменяющей бинарную операцию ;
• Категория , в которой каждый морфизм обратим. Категорию такого рода можно рассматривать как дополненную унарной операцией над морфизмами, называемой обратной по аналогии с теорией групп . ^[1] Группоид, в котором есть только один объект, является обычной группой.

При наличии зависимой типизации , категория в целом может рассматриваться как типизированный моноид , и аналогично, группоид может рассматриваться как просто типизированная группа. Морфизмы переносят один объект в другой и образуют зависимое семейство типов, таким образом, морфизмы могут быть типизированы , , скажем. Композиция тогда является тотальной функцией: , так что . ${\displaystyle g:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle h:B\rightarrow C}$ ${\displaystyle \circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C}$ ${\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C}$

К особым случаям относятся:

• Сетоиды : множества , имеющие отношение эквивалентности ,
• G-наборы : наборы, оснащенные действием группы. ${\displaystyle G}$

Группоиды часто используются для рассуждений о геометрических объектах, таких как многообразия . Генрих Брандт  (1927) ввел группоиды неявно через полугруппы Брандта . ^[2]

Определения

Алгебраический

Группоид можно рассматривать как алгебраическую структуру, состоящую из множества с бинарной частичной функцией ^{[ требуется ссылка ]} . Точнее, это непустое множество с унарной операцией и частичной функцией . Здесь * не является бинарной операцией , поскольку она не обязательно определена для всех пар элементов . Точные условия, при которых определяется, здесь не сформулированы и различаются в зависимости от ситуации. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}^{-1}:G\to G,}$ ${\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle *}$

Операции и ⁻¹ обладают следующими аксиоматическими свойствами: Для всех , и в , ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$

1. Ассоциативность : Еслииопределены, тоиопределены и равны. Наоборот, если определен один изили, то они оба определены (и равны друг другу), иитакже определены. ${\displaystyle a*b}$ ${\displaystyle b*c}$ ${\displaystyle (a*b)*c}$ ${\displaystyle a*(b*c)}$ ${\displaystyle (a*b)*c}$ ${\displaystyle a*(b*c)}$ ${\displaystyle a*b}$ ${\displaystyle b*c}$
2. Обратные :ивсегда определены. ${\displaystyle a^{-1}*a}$ ${\displaystyle a*{a^{-1}}}$
3. Тождество : Еслиопределено, то, и. (Предыдущие две аксиомы уже показывают, что эти выражения определены и однозначны.) ${\displaystyle a*b}$ ${\displaystyle a*b*{b^{-1}}=a}$ ${\displaystyle {a^{-1}}*a*b=b}$

Из этих аксиом вытекают два простых и удобных свойства:

• ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$,
• Если определено, то . ^[3] ${\displaystyle a*b}$ ${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$

Теоретическая категория

Группоид — это малая категория , в которой каждый морфизм является изоморфизмом , т.е. обратимым. ^[1] Более конкретно, группоид G — это множество G ₀ объектов с

• для каждой пары объектов x и y (возможно, пустое) множество G ( x , y ) морфизмов (или стрелок ) из x в y ; мы пишем f  : x → y , чтобы указать, что f является элементом G ( x , y );
• для каждого объекта x обозначен элемент G ( x , x ); ${\displaystyle \mathrm {id} _{x}}$
• для каждой тройки объектов x , y и z функция ; ${\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf}$
• для каждой пары объектов x , y функция , удовлетворяющая для любых f  : x → y , g  : y → z и h  : z → w : ${\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1}}$
  • ${\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f}$и ; ${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f}$
  • ${\displaystyle (hg)f=h(gf)}$;
  • ${\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}}$и . ${\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}}$

Если f является элементом G ( x , y ), то x называется источником f и обозначается s ( f ), а y называется целью f и обозначается t ( f ).

Группоид G иногда обозначается как , где — множество всех морфизмов, а две стрелки представляют источник и цель. ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{1}\to G_{0}}$

В более общем смысле можно рассматривать группоидный объект в произвольной категории, допускающей конечные волокнистые произведения.

Сравнение определений

Алгебраические и категориальные определения эквивалентны, как мы сейчас покажем. Для заданного группоида в категориально-теоретическом смысле пусть G будет дизъюнктным объединением всех множеств G ( x , y ) (т. е. множеств морфизмов из x в y ). Тогда и станут частичными операциями на G , и фактически будут определены везде. Мы определяем ∗ как , а ⁻¹ как , что дает группоид в алгебраическом смысле. Явную ссылку на G ₀ (и, следовательно, на ) можно опустить. ${\displaystyle \mathrm {comp} }$ ${\displaystyle \mathrm {inv} }$ ${\displaystyle \mathrm {inv} }$ ${\displaystyle \mathrm {comp} }$ ${\displaystyle \mathrm {inv} }$ ${\displaystyle \mathrm {id} }$

Обратно, для заданного группоида G в алгебраическом смысле определим отношение эквивалентности на его элементах с помощью тогда и только тогда, когда a ∗ a ⁻¹ = b ∗ b ⁻¹ . Пусть G ₀ — множество классов эквивалентности , т.е. . Обозначим a ∗ a ⁻¹ через , если с . ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$ ${\displaystyle 1_{x}}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle x\in G_{0}}$

Теперь определим как множество всех элементов f таких, что существует. Даны и их композиция определяется как . Чтобы увидеть, что это правильно определено, заметим, что поскольку и существуют, то существует и . Тождественный морфизм по x тогда равен , а теоретико-категорная инверсия f равна f ⁻¹ . ${\displaystyle G(x,y)}$ ${\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}}$ ${\displaystyle f\in G(x,y)}$ ${\displaystyle g\in G(y,z),}$ ${\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z)}$ ${\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}$ ${\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}$ ${\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}$ ${\displaystyle 1_{x}}$

Множества в определениях выше можно заменить классами , как это обычно бывает в теории категорий.

Группы вершин и орбиты

Если задан группоид G , то группы вершин или группы изотропии или группы объектов в G являются подмножествами формы G ( x , x ), где x — любой объект из G . Из приведенных выше аксиом легко следует, что это действительно группы, поскольку каждая пара элементов является составной, а обратные элементы находятся в одной и той же группе вершин.

Орбита группоида G в точке задается множеством, содержащим каждую точку, которая может быть соединена с x посредством морфизма в G. Если две точки и находятся в одних и тех же орбитах, их вершинные группы и изоморфны : если — любой морфизм из в , то изоморфизм задается отображением . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s(t^{-1}(x))\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle G(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g\to fgf^{-1}}$

Орбиты образуют разбиение множества X, и группоид называется транзитивным , если он имеет только одну орбиту (эквивалентно, если он связан как категория). В этом случае все группы вершин изоморфны (с другой стороны, это не является достаточным условием транзитивности; см. раздел ниже для контрпримеров).

Подгруппоиды и морфизмы

Подгруппоид — это подкатегория , которая сама является группоидом. Она называется широкой или полной , если она широкая или полная как подкатегория, т.е., соответственно, если или для каждого . ${\displaystyle G\rightrightarrows X}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle G(x,y)=H(x,y)}$ ${\displaystyle x,y\in Y}$

Морфизм группоидов — это просто функтор между двумя (теоретико-категорными) группоидами.

Конкретные виды морфизмов группоидов представляют интерес. Морфизм группоидов называется расслоением , если для каждого объекта и каждого морфизма , начинающегося с , существует морфизм , начинающийся с , такой что . Расслоение называется морфизмом покрытия или покрытием группоидов, если и такое является единственным. Морфизмы покрытия группоидов особенно полезны, поскольку их можно использовать для моделирования отображений покрытия пространств. ^[4] ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p(e)=b}$ ${\displaystyle e}$

Верно также, что категория накрывающих морфизмов данного группоида эквивалентна категории действий группоида на множествах. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Примеры

Топология

Для данного топологического пространства , пусть будет множеством . Морфизмы из точки в точку являются классами эквивалентности непрерывных путей из в , причем два пути эквивалентны, если они гомотопны . Два таких морфизма составляются путем следования сначала по первому пути, затем по второму; гомотопическая эквивалентность гарантирует, что эта композиция ассоциативна . Этот группоид называется фундаментальным группоидом , обозначаемым (или иногда ). ^[5] Обычная фундаментальная группа тогда является вершинной группой для точки . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle x}$

Орбиты фундаментального группоида являются компонентами линейной связности . Соответственно, фундаментальный группоид линейно-связного пространства транзитивен, и мы восстанавливаем известный факт, что фундаментальные группы в любой базовой точке изоморфны. Более того, в этом случае фундаментальный группоид и фундаментальные группы эквивалентны как категории (см. раздел ниже для общей теории). ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$

Важным расширением этой идеи является рассмотрение фундаментального группоида , где — выбранный набор «базовых точек». Здесь представлен (широкий) подгруппоид , где рассматриваются только пути, конечные точки которых принадлежат . Набор может быть выбран в соответствии с геометрией рассматриваемой ситуации. ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Отношение эквивалентности

Если — сетоид , т.е. множество с отношением эквивалентности , то группоид, «представляющий» это отношение эквивалентности, может быть сформирован следующим образом: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$

• Объектами группоида являются элементы ; ${\displaystyle X}$
• Для любых двух элементов и в существует единственный морфизм из в (обозначим через ) тогда и только тогда, когда ; ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (y,x)}$ ${\displaystyle x\sim y}$
• Состав и есть . ${\displaystyle (z,y)}$ ${\displaystyle (y,x)}$ ${\displaystyle (z,x)}$

Вершинные группы этого группоида всегда тривиальны; более того, этот группоид в общем случае не транзитивен, а его орбиты — это в точности классы эквивалентности. Есть два крайних примера:

• Если каждый элемент из находится в связи с каждым другим элементом из , мы получаем парный группоид из , который имеет весь набор стрелок и который является транзитивным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$
• Если каждый элемент находится в отношении только с самим собой, то получается единичный группоид , имеющий в качестве набора стрелок , и который полностью нетранзитивен (каждый синглетон является орбитой). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s=t=id_{X}}$ ${\displaystyle \{x\}}$

Примеры

• Если — гладкое сюръективное погружение гладких многообразий , то — отношение эквивалентности ^[6], поскольку имеет топологию, изоморфную фактор-топологии относительно сюръективного отображения топологических пространств. Если записать, то получим группоид ${\displaystyle f:X_{0}\to Y}$ ${\displaystyle X_{0}\times _{Y}X_{0}\subset X_{0}\times X_{0}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{1}=X_{0}\times _{Y}X_{0}}$

  ${\displaystyle X_{1}\rightrightarrows X_{0}}$

  который иногда называют банальным группоидом сюръективного погружения гладких многообразий.
• Если мы ослабим требование рефлексивности и рассмотрим частичные отношения эквивалентности , то станет возможным рассмотреть полуразрешимые понятия эквивалентности на вычислимых реализаторах для множеств. Это позволяет использовать группоиды в качестве вычислимого приближения к теории множеств, называемого моделями PER . Рассматриваемые как категория, модели PER являются декартовой замкнутой категорией с натуральными числами объектного и подобъектного классификатора, что приводит к эффективному топосу, введенному Мартином Хайлендом .

Чешский группоид

Группоид Чеха ^{[6] с. 5} — это особый вид группоида, связанный с отношением эквивалентности, заданным открытым покрытием некоторого многообразия . Его объекты задаются дизъюнктным объединением ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i}}$,

и его стрелки - это пересечения

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}}$.

Исходные и целевые карты затем задаются индуцированными картами.

${\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}}$

и карта включения

${\displaystyle \varepsilon :U_{i}\to U_{ii}}$

давая структуру группоида. Фактически, это можно расширить, установив

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}}$

как -итерированное волокнистое произведение, где представляет -кортежи составных стрелок. Структурная карта волокнистого произведения неявно является целевой картой, поскольку ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}}$

является декартовой диаграммой, где отображения в являются целевыми отображениями. Эту конструкцию можно рассматривать как модель для некоторых ∞-группоидов . Также, еще одним артефактом этой конструкции являются k-коциклы ${\displaystyle U_{i}}$

${\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})}$

для некоторого постоянного пучка абелевых групп можно представить как функцию

${\displaystyle \sigma :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A}$

дающий явное представление классов когомологий.

Групповые действия

Если группа действует на множестве , то мы можем образовать группоид действия (или группоид преобразования ), представляющий это групповое действие следующим образом: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

• Объекты являются элементами ; ${\displaystyle X}$
• Для любых двух элементов и в морфизмы из в соответствуют элементам из таким, что ; ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gx=y}$
• Композиция морфизмов интерпретирует бинарную операцию . ${\displaystyle G}$

Более явно, группоид действия — это небольшая категория с и и с исходными и целевыми картами и . Часто обозначается (или для правильного действия). Умножение (или композиция) в группоиде — это тогда, что определяется при условии . ${\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}$ ${\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}$ ${\displaystyle s(g,x)=x}$ ${\displaystyle t(g,x)=gx}$ ${\displaystyle G\ltimes X}$ ${\displaystyle X\rtimes G}$ ${\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}$ ${\displaystyle y=gx}$

Для в вершинная группа состоит из тех , у которых , что является просто подгруппой изотропии при для данного действия (именно поэтому вершинные группы также называются группами изотропии). Аналогично, орбиты группоида действия являются орбитами действия группы, и группоид транзитивен тогда и только тогда, когда действие группы транзитивно . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (g,x)}$ ${\displaystyle gx=x}$ ${\displaystyle x}$

Другим способом описания -множеств является категория функторов , где — группоид (категория) с одним элементом и изоморфный группе . Действительно, каждый функтор этой категории определяет множество и для каждого в (т.е. для каждого морфизма в ) индуцирует биекцию  : . Категорическая структура функтора гарантирует нам, что определяет -действие на множестве . (Единственный) представимый функтор  : является представлением Кэли . Фактически, этот функтор изоморфен и, таким образом, отправляет в множество , которое по определению является «множеством» , а морфизм (т.е. элемент ) — в перестановку множества . Из вложения Йонеды мы выводим , что группа изоморфна группе , подгруппе группы перестановок . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ${\displaystyle F_{g}}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} \to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}$ ${\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{g}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}}$ ${\displaystyle G}$

Конечное множество

Рассмотрим действие группы на конечном множестве , которое переводит каждое число в его отрицательное значение, поэтому и . Факторгруппоид — это множество классов эквивалентности из этого действия группы и имеет действие группы на нем. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}$ ${\displaystyle -2\mapsto 2}$ ${\displaystyle 1\mapsto -1}$ ${\displaystyle [X/G]}$ ${\displaystyle \{[0],[1],[2]\}}$ ${\displaystyle [0]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

Фактор разнообразия

Любая конечная группа , которая отображается в , дает групповое действие на аффинном пространстве (так как это группа автоморфизмов). Тогда факторгруппоид может иметь вид , который имеет одну точку со стабилизатором в начале координат. Примеры, подобные этим, составляют основу теории орбифолдов . Другое часто изучаемое семейство орбифолдов — это взвешенные проективные пространства и их подпространства, такие как орбифолды Калаби–Яу . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})}$

Волокнистый продукт группоидов

Дана диаграмма группоидов с группоидными морфизмами

${\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}$

где и , мы можем образовать группоид , объектами которого являются тройки , где , , и в . Морфизмы можно определить как пару морфизмов , где и , таких, что для троек , существует коммутативная диаграмма в из , и . ^[7] ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$ ${\displaystyle (x,\phi ,y)}$ ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X)}$ ${\displaystyle y\in {\text{Ob}}(Y)}$ ${\displaystyle \phi :f(x)\to g(y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha :x\to x'}$ ${\displaystyle \beta :y\to y'}$ ${\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y')}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x')}$ ${\displaystyle g(\beta ):g(y)\to g(y')}$ ${\displaystyle \phi ,\phi '}$

Гомологическая алгебра

Двухчленный комплекс

${\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}}$

объектов в конкретной абелевой категории можно использовать для формирования группоида. Он имеет в качестве объектов множество и в качестве стрелок множество ; исходный морфизм — это просто проекция на , в то время как целевой морфизм — это добавление проекции на , составленной с и проекции на . То есть, учитывая , мы имеем ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}$

${\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.}$

Конечно, если абелева категория является категорией когерентных пучков на схеме, то эту конструкцию можно использовать для формирования предпучка группоидов.

Пазлы

Хотя такие головоломки, как кубик Рубика, можно моделировать с помощью теории групп (см. Группа кубика Рубика ), некоторые головоломки лучше моделировать с помощью группоидов. ^[8]

Преобразования головоломки «пятнадцать» образуют группоид (не группу, поскольку не все ходы могут быть составлены). ^{[9] [10] [11]} Этот группоид действует на конфигурации.

Группоид Матье

Группоид Матье — это группоид, введенный Джоном Хортоном Конвеем, действующий на 13 точек таким образом, что элементы, фиксирующие точку, образуют копию группы Матье M ₁₂ .

Отношение к группам

Если группоид имеет только один объект, то множество его морфизмов образует группу . Используя алгебраическое определение, такой группоид буквально является просто группой. ^[12] Многие концепции теории групп обобщаются на группоиды, при этом понятие функтора заменяет понятие гомоморфизма группы .

Каждый транзитивный/связанный группоид - то есть, как объяснялось выше, тот, в котором любые два объекта связаны хотя бы одним морфизмом - изоморфен группоиду действия (как определено выше) . По транзитивности, под действием будет только одна орбита . ${\displaystyle (G,X)}$

Обратите внимание, что только что упомянутый изоморфизм не является единственным, и естественного выбора нет . Выбор такого изоморфизма для транзитивного группоида по сути сводится к выбору одного объекта , группового изоморфизма из в , и для каждого , кроме , морфизма в из в . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G(x_{0})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x}$

Если группоид не является транзитивным, то он изоморфен несвязному объединению группоидов указанного выше типа, также называемых его связными компонентами (возможно, с различными группами и множествами для каждой связной компоненты). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

В терминах теории категорий каждый связный компонент группоида эквивалентен ( но не изоморфен ) группоиду с одним объектом, то есть одной группой. Таким образом, любой группоид эквивалентен мультимножеству неродственных групп. Другими словами, для эквивалентности вместо изоморфизма не нужно указывать множества , а только группы Например, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G.}$

• Фундаментальный группоид эквивалентен набору фундаментальных групп каждого линейно связного компонента , но изоморфизм требует указания множества точек в каждом компоненте; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Множество с отношением эквивалентности эквивалентно (как группоид) одной копии тривиальной группы для каждого класса эквивалентности , но изоморфизм требует указания того, что такое каждый класс эквивалентности: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$
• Множество, снабженное действием группы, эквивалентно (как группоид) одной копии для каждой орбиты действия, но изоморфизм требует указания того, каким набором является каждая орбита. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Сворачивание группоида в простую коллекцию групп теряет некоторую информацию, даже с точки зрения теории категорий, поскольку это неестественно . Таким образом, когда группоиды возникают в терминах других структур, как в приведенных выше примерах, может быть полезно сохранить весь группоид. В противном случае необходимо выбрать способ рассмотрения каждого в терминах одной группы, и этот выбор может быть произвольным. В примере из топологии необходимо сделать согласованный выбор путей (или классов эквивалентности путей) из каждой точки в каждую точку в одном и том же компоненте путевой связи. ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

В качестве более наглядного примера, классификация группоидов с одним эндоморфизмом не сводится к чисто групповым теоретико-групповым соображениям. Это аналогично тому, что классификация векторных пространств с одним эндоморфизмом нетривиальна.

Морфизмы группоидов бывают большего количества видов, чем у групп: у нас есть, например, расслоения , морфизмы покрытия, универсальные морфизмы и морфизмы факторизации. Таким образом, подгруппа группы дает действие на множестве смежных классов в и, следовательно, морфизм покрытия из, скажем, в , где — группоид с группами вершин, изоморфными . Таким образом, представления группы могут быть «подняты» до представлений группоида , и это полезный способ получения информации о представлениях подгруппы . Для получения дополнительной информации см. книги Хиггинса и Брауна в разделе «Ссылки». ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$

Категория группоидов

Категория, объектами которой являются группоиды, а морфизмами — морфизмы группоидов, называется категорией группоидов или категорией группоидов и обозначается Grpd .

Категория Grpd , как и категория малых категорий, декартово замкнута : для любых группоидов мы можем построить группоид , чьи объекты — морфизмы , а стрелки — естественные эквивалентности морфизмов. Таким образом, если — просто группы, то такие стрелки — сопряжения морфизмов. Главный результат заключается в том, что для любых группоидов существует естественная биекция ${\displaystyle H,K}$ ${\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)}$ ${\displaystyle H\to K}$ ${\displaystyle H,K}$ ${\displaystyle G,H,K}$

${\displaystyle \operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).}$

Этот результат представляет интерес даже в том случае, если все группоиды являются просто группами. ${\displaystyle G,H,K}$

Другим важным свойством Grpd является то, что он является одновременно полным и сополным .

Отношение кКот

Включение имеет как левый, так и правый сопряженный элемент : ${\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat} }$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))}$

Здесь обозначает локализацию категории , которая инвертирует каждый морфизм, а обозначает подкатегорию всех изоморфизмов. ${\displaystyle C[C^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathrm {Core} (C)}$

Отношение кsУстановить

Функтор нерва вкладывает Grpd как полную подкатегорию категории симплициальных множеств. Нерв группоида всегда является комплексом Кана . ${\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} }$

Нерв имеет левое прилежащее

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))}$

Здесь обозначает фундаментальный группоид симплициального множества X. ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Группоиды в Grpd

Существует дополнительная структура, которая может быть выведена из группоидов, внутренних по отношению к категории группоидов, двойных группоидов . ^{[13] [14]} Поскольку Grpd является 2-категорией, эти объекты образуют 2-категорию вместо 1-категории, поскольку есть дополнительная структура. По сути, это группоиды с функторами ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}}$

${\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}$

и вложение, заданное тождественным функтором

${\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}$

Один из способов думать об этих 2-группоидах заключается в том, что они содержат объекты, морфизмы и квадраты, которые могут составляться вместе вертикально и горизонтально. Например, данные квадраты

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}}$и ${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

с тем же морфизмом, их можно вертикально соединить, получив диаграмму ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

который может быть преобразован в другой квадрат путем составления вертикальных стрелок. Существует аналогичный закон композиции для горизонтальных присоединений квадратов.

Группоиды с геометрическими структурами

При изучении геометрических объектов возникающие группоиды часто несут топологию , превращающую их в топологические группоиды , или даже некоторую дифференцируемую структуру , превращающую их в группоиды Ли . Эти последние объекты также могут изучаться в терминах связанных с ними алгеброидов Ли , по аналогии с отношением между группами Ли и алгебрами Ли .

Группоиды, возникающие из геометрии, часто обладают дополнительными структурами, которые взаимодействуют с умножением группоидов. Например, в геометрии Пуассона есть понятие симплектического группоида , который является группоидом Ли, наделенным совместимой симплектической формой . Аналогично, можно иметь группоиды с совместимой римановой метрикой или комплексной структурой и т. д.

Смотрите также

• ∞-группоид
• 2-группа
• Теория гомотопического типа
• Обратная категория
• Группоидная алгебра (не путать с алгебраическим группоидом)
• R-алгеброид

Примечания

1. Dicks & Ventura (1996). Группа, фиксированная семейством инъективных эндоморфизмов свободной группы. стр. 6.
2. "Полугруппа Брандта", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994], ISBN 1-4020-0609-8
3. Доказательство первого свойства: из 2. и 3. получаем a ⁻¹ = a ⁻¹ * a * a ⁻¹ и ( a ⁻¹ ) ⁻¹ = ( a ⁻¹ ) ⁻¹ * a ⁻¹ * ( a ⁻¹ ) ⁻¹ . Подставляя первое во второе и применяя 3. еще два раза, получаем ( a ⁻¹ ) ⁻¹ = ( a ⁻¹ ) ⁻¹ * a ⁻¹ * a * a ⁻¹ * ( a ⁻¹ ) ⁻¹ = ( a ⁻¹ ) ⁻¹ * a ⁻¹ * a = a . ✓
   Доказательство второго свойства: поскольку a * b определено, то и ( a * b ) ⁻¹ * a * b . Следовательно, ( a * b ) ⁻¹ * a * b * b ⁻¹ = ( a * b ) ⁻¹ * a также определено. Более того, поскольку a * b определено, то и a * b * b ⁻¹ = a . Следовательно, a * b * b ⁻¹ * a ⁻¹ также определено. Из 3. получаем ( a * b ) ⁻¹ = ( a * b ) ⁻¹ * a * b * b ⁻¹ = ( a * b ) ⁻¹ * a * b * b ⁻¹ * a ⁻¹ = b ⁻¹ * a ⁻¹ . ✓
4. Дж. П. Мэй, Краткий курс алгебраической топологии , 1999, Издательство Чикагского университета ISBN 0-226-51183-9 ( см. главу 2 ) 
5. "фундаментальный группоид в nLab". ncatlab.org . Получено 2017-09-17 .
6. Block, Jonathan; Daenzer, Calder (2009-01-09). "Двойственность Мукаи для гербов со связью". arXiv : 0803.1529 [math.QA].
7. "Локализация и инварианты Громова-Виттена" (PDF) . стр. 9. Архивировано (PDF) из оригинала 12 февраля 2020 г.
8. Введение в группы, группоиды и их представления: Введение; Альберто Иборт, Мигель А. Родригес; CRC Press, 2019.
9. Джим Белк (2008) Головоломки, группы и группоиды, семинар «Всё»
10. Группоид из 15 головоломок (1) Архивировано 25.12.2015 в Wayback Machine , Never Ending Books
11. Группоид из 15 головоломок (2) Архивировано 25.12.2015 в Wayback Machine , Never Ending Books
12. Отображение группы в соответствующий группоид с одним объектом иногда называется расцеплением, особенно в контексте теории гомотопий , см. «расцепление в nLab». ncatlab.org . Получено 31.10.2017 ..
13. Сегарра, Антонио М.; Эредиа, Бенхамин А.; Ремедиос, Хосуэ (19 марта 2010 г.). «Двойные группоиды и гомотопические 2-типы». arXiv : 1003.3820 [math.AT].
14. Эресманн, Чарльз (1964). «Категории и структуры: дополнительные сведения». Семинар Эресманн. Топология и дифференциальная геометрия . 6 : 1–31.

Ссылки

• Брандт, Х. (1927), «Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes», Mathematische Annalen , 96 (1): 360–366, doi : 10.1007/BF01209171, S2CID  119597988
• Браун, Рональд, 1987, "От групп к группоидам: краткий обзор", Bull. London Math. Soc. 19 : 113–34. Рассматривает историю группоидов до 1987 года, начиная с работы Брандта о квадратичных формах. Загружаемая версия обновляет множество ссылок.
• —, 2006. Топология и группоиды. Booksurge. Переработанное и расширенное издание книги, ранее опубликованной в 1968 и 1988 годах. Группоиды представлены в контексте их топологического применения.
• —, Теория групп более высокой размерности. Объясняет, как концепция группоида привела к гомотопическим группоидам более высокой размерности, имеющим приложения в теории гомотопии и когомологии групп . Множество ссылок.
• Дикс, Уоррен; Вентура, Энрик (1996), Группа, фиксированная семейством инъективных эндоморфизмов свободной группы , Математические обзоры и монографии, т. 195, AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-0564-0
• Докучаев, М.; Эксель, Р.; Пиччоне, П. (2000). «Частичные представления и частичные групповые алгебры». Журнал алгебры . 226. Elsevier: 505–532. arXiv : math/9903129 . doi :10.1006/jabr.1999.8204. ISSN  0021-8693. S2CID  14622598.
• Ф. Борсо, Г. Джанелидзе, 2001, Теории Галуа. Cambridge Univ. Press. Показывает, как обобщения теории Галуа приводят к группоидам Галуа.
• Каннас да Силва, А. и А. Вайнштейн , Геометрические модели некоммутативных алгебр. Особенно часть VI.
• Голубицкий, М. , Ян Стюарт, 2006, «Нелинейная динамика сетей: группоидный формализм», Bull. Amer. Math. Soc. 43 : 305–64
• «Группоид», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Хиггинс, П. Дж., «Фундаментальный группоид графа групп », J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145–149.
• Хиггинс, П. Дж. и Тейлор, Дж., «Фундаментальный группоид и гомотопически скрещенный комплекс пространства орбит », в Теория категорий (Гуммерсбах, 1981), Lecture Notes in Math., том 962. Springer, Берлин (1982), 115–122.
• Higgins, PJ, 1971. Категории и группоиды. Van Nostrand Notes in Mathematics. Переиздано в Reprints in Theory and Applications of Categories , № 7 (2005) стр. 1–195; доступно для свободного скачивания. Содержательное введение в теорию категорий с особым акцентом на группоиды. Представлены приложения группоидов в теории групп, например, к обобщению теоремы Грушко , и в топологии, например, фундаментальный группоид .
• Mackenzie, KCH, 2005. Общая теория группоидов и алгеброидов Ли. Cambridge Univ. Press.
• Вайнштейн, Алан, «Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии — Обзор некоторых примеров». Также доступно в Postscript., Notices of the AMS, июль 1996 г., стр. 744–752.
• Вайнштейн, Алан, «Геометрия импульса» (2002)
• RT Zivaljevic. "Группоиды в комбинаторике — приложения теории локальных симметрий". В Algebraic and geometric combinatorics , том 423 Contemp. Math ., 305–324. Amer. Math. Soc., Providence, RI (2006)
• фундаментальный группоид в n Lab
• ядро в n Lab