спорадическая группа Маклафлина

Спорадическая простая группа

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Маклафлина McL представляет собой спорадическую простую группу порядка

   2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898 128 000

≈ 9 × 10⁸ .

История и свойства

McL — одна из 26 спорадических групп, открытая Джеком Маклафлином (1969) как подгруппа индекса 2 группы перестановок ранга 3, действующей на графе Маклафлина с 275 = 1 + 112 + 162 вершинами. Она фиксирует треугольник 2-2-3 в решетке Лича и, таким образом, является подгруппой групп Конвея , , и . Ее множитель Шура имеет порядок 3, а ее внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2. Группа 3.McL:2 является максимальной подгруппой группы Лайонса . ${\displaystyle \mathrm {Co} _{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {Co} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Co} _{3}}$

McL имеет один класс сопряженности инволюции (элемент порядка 2), централизатор которого является максимальной подгруппой типа 2.A ₈ . Он имеет центр порядка 2; частное по модулю центра изоморфно знакопеременной группе A ₈ .

Представления

В группе Конвея Co ₃ McL имеет нормализатор McL:2, который максимален в Co ₃ .

McL имеет 2 класса максимальных подгрупп, изоморфных группе Матье M ₂₂ . Внешний автоморфизм меняет местами два класса групп M ₂₂ . Этот внешний автоморфизм реализуется на McL, вложенном как подгруппа Co ₃ .

Удобное представление M ₂₂ находится в матрицах перестановок на последних 22 координатах; оно фиксирует треугольник 2-2-3 с вершинами в начале координат и точками типа 2 x = (−3, 1 ²³ ) и y = (−4,-4,0 ²² ) '. Ребро треугольника x - y = (1, 5, 1 ²² ) имеет тип 3 ; оно фиксируется Co ₃ . Это M ₂₂ является мономом и максимальной подгруппой представления McL.

Wilson (2009) (стр. 207) показывает, что подгруппа McL хорошо определена. В решетке Лича предположим, что точка v типа 3 зафиксирована экземпляром . Подсчитайте точки w типа 2 , такие, что скалярное произведение v · w = 3 (и, таким образом, v - w имеет тип 2). Он показывает, что их число равно 552 = 2 ³ ⋅3⋅23 и что этот Co ₃ транзитивен на этих w . ${\displaystyle \mathrm {Co} _{3}}$

|McL| = |Co3|/552 = 898 128 000.

McL — единственная спорадическая группа, допускающая неприводимые представления кватернионного типа . Она имеет 2 таких представления, одно размерности 3520 и одно размерности 4752.

Максимальные подгруппы

Финкельштейн (1973) нашел 12 классов сопряженности максимальных подгрупп McL следующим образом:

• U ₄ (3) порядок 3,265,920 индекс 275 – точка стабилизатора его действия на графе Маклафлина
• M 22 порядок 443 520 индекс 2 025 (два класса, объединенные внешним автоморфизмом)
• U ₃ (5) заказ 126 000 индекс 7 128
• 3 ¹⁺⁴ :2.S ₅ заказ 58,320 индекс 15,400
• 3 ⁴ : М 10 заказ 58,320 индекс 15,400
• L ₃ (4):2 ₂ заказ 40,320 индекс 22,275
• 2.A ₈ порядок 40,320 индекс 22,275 – централизатор инволюции
• 2 ⁴ :A ₇ порядок 40,320 индекс 22,275 (два класса, объединенные под внешним автоморфизмом)
• М 11 заказ 7,920 индекс 113,400
• 5 ₊ ¹⁺² :3:8 заказ 3000 индекс 299 376

Классы сопряженности

Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении McL. ^[1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп. ^[2]

Показаны структуры циклов в представлении перестановки ранга 3, степени 275, McL. ^[3]

Обобщенный чудовищный лунный свет

Конвей и Нортон предположили в своей статье 1979 года, что чудовищный лунный свет не ограничивается монстром. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для групп Конвея соответствующий ряд Маккея–Томпсона — это и . ${\displaystyle T_{2A}(\tau )}$ ${\displaystyle T_{4A}(\tau )}$

Ссылки

1. Конвей и др. (1985)
2. "ATLAS: MCL — Представление перестановки по 275 точкам".
3. "ATLAS: MCL — Представление перестановки по 275 точкам".

• Конвей, Дж. Х .; Кертис, Р. Т.; Нортон, С. П.; Паркер, Р. А.; и Уилсон, Р. А .: « Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп ». Оксфорд, Англия, 1985.
• Финкельштейн, Ларри (1973), «Максимальные подгруппы группы Конвея C ₃ и группы Маклафлина», Журнал алгебры , 25 : 58–89, doi : 10.1016/0021-8693(73)90075-6 , ISSN  0021-8693, MR  0346046
• Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, г-н  1707296
• Маклафлин, Джек (1969), «Простая группа порядка 898 128 000», в Brauer, R .; Sah, Chih-han (ред.), Theory of Finite Groups (симпозиум, Гарвардский университет, Кембридж, Массачусетс, 1968) , Benjamin, Нью-Йорк, стр. 109–111, MR  0242941
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Graduate Texts in Mathematics 251, т. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, ЗБЛ  1203.20012

Внешние ссылки

• MathWorld: группа Маклафлина
• Атлас представлений конечных групп: группа Маклафлина